2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--5.3　利用数量积计算长度与角度(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第二章　平面向量及其应用
§5　从力的做功到向量的数量积
5.3　利用数量积计算长度与角度
基础过关练
题组一　向量长度的计算
1.(2021河南商丘诊断性考试)已知|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为,则|a-b|=(　　)
A.　　　B.2　　　C.2　　　D.4
2.(2023湖南衡阳第四中学开学考试)若平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于(　　)
A.　　　B.2　　　C.4　　　D.12
3.(2021山东淄博三模)已知向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=1,则|2a+b|=(　　)
A.3　　　B.　　　C.7　　　D.
4.(2023湖北宜昌英杰学校月考)已知向量a=(x,1),b=(2,y),c=(-2,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=　　　　.
题组二　向量夹角的计算
5.(2023浙江省名校协作体开学考试)若向量a,b满足|a|=,|b|=2,a⊥(a-b),则a与b的夹角为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.(2022江西部分重点中学联考)已知向量a=(x,1),b=(-2,y),若2a+b=(2,6),则向量a与b的夹角为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
7.(2022北京房山中学月考)若a=(x,2),b=(-3,5),且a与b的夹角是钝角,则实数x的取值范围是(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
8.已知点A(-1,2),B(0,1),C(1,3),则向量与向量的夹角的余弦值为　　　　.
9.(2021江苏泰州中学月考)若向量a与b的夹角为,且a是单位向量,|b|=2,c=2a+b,则向量c与b的夹角为　　　　.
10.(2022江苏盐城田家炳中学期中)已知向量a,b满足a=(1,,且a·(a+b)=7.
(1)求a和b的夹角θ的大小;
(2)在△ABC中,若=b,求||.
11.(2021河南省实验中学期中)已知向量a=(3,2),b=(x,-1),x∈R.
(1)当(a+2b)⊥(2a-b)且x>0时,求|a+b|;
(2)当c=(-8,-1),a∥(b+c)时,求向量a与b的夹角α.
能力提升练
题组一　向量长度的计算
1.(2022湖北十堰丹江口第一中学期中)已知a=(1,n),b=(-1,n).若2a-b与b垂直,则|a|=　　(　　)
A.1　　　B.　　　C.2　　　D.4
2.(2021河南天一大联考)已知菱形ABCD的边长为4,∠BAD=120°,点E为BC的中点,点F为CD的中点,则||=(　　)
A.　　　B.　　　C.4　　　D.2
3.(2022广东名校联盟联考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2AC=2,点M为边BC(不含端点)上一点.
(1)求·的最小值;
(2)延长AM到点P,使得AP=5,且,求CM的长.
题组二　向量夹角的计算
4.(2022北京五中段测)已知向量m,n满足|m|=1,|n|=2,若2m·n=|2m-n|,则向量m,n的夹角θ=(　　)
A.　　　B.　　　C.或π　　　D.或π
5.已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,当两向量的夹角在内变动时,m的取值范围是　　　　　　　　.
6.(2023上海华东师范大学第二附属中学月考)已知平面向量a,b,c满足|a|=1,2a+b=0,2|c-a|=|c-b|,则c-b与a夹角的最大值为　　　　.
题组三　平行与垂直问题
7.(2021福建厦门第一中学模拟)已知非零向量a,b满足a⊥b,且a+2b与a-2b的夹角为120°,则=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
8.(2023上海复旦大学附属中学月考)已知在平面直角坐标系中的非零向量a,b,若向量a,b的线性组合a+3b与7a-5b相互垂直,a-4b与7a-2b相互垂直,则=　　　　.
9.已知a=(2+sin x,1),b=(2,-2),c=(sin x-3,1),d=(1,k)(x,k∈R).
(1)若x∈,且a∥(b+c),求x的值;
(2)是否存在实数k,使(a+d)⊥(b+c) 若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§5　从力的做功到向量的数量积
5.3　利用数量积计算长度与角度
基础过关练
1.A 2.B 3.D 5.A 6.B 7.C
1.A　(a-b)2=a2-2a·b+b2=22-2×2×1×cos+12=3,所以|a-b|=.故选A.
2.B　易得|a|==2,a·b=|a|·|b|cos 60°=2×1×=1,
∴|a+2b|=,故选B.
3.D　由已知可得|a-b|2=a2-2a·b+b2=2-2a·b=1,则a·b=,因此|2a+b|=.故选D.
4.答案　
解析　因为a⊥c,所以a·c=(x,1)·(-2,2)=-2x+2=0,解得x=1.因为b∥c,所以-2y=4,解得y=-2,
所以a=(1,1),b=(2,-2),
所以a+b=(3,-1),所以|a+b|=.
5.A　因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=a2-a·b=2-|a||b|cos=2-2cos=0,
解得cos=,又∈[0,π],
所以=.
6.B　因为a=(x,1),b=(-2,y),2a+b=(2,6),所以所以a=(2,1),b=(-2,4),
则cos==0,
又∈[0,π],所以=.
7.C　由题可得a·b<0,且a与b不共线,
∴解得x>,故选C.
8.答案　
解析　由题意得=(2,1),所以|,故向量.
9.答案　
解析　由已知可得a·b=1×2×cos=1,所以c·b=(2a+b)·b=2a·b+b2=2×1+22=6,|c|=|2a+b|=,设c与b的夹角为θ,则cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=.
10.解析　(1)因为a=(1,),所以|a|==2,又a·(a+b)=a2+a·b=22+a·b=7,
所以a·b=3,则cos θ=,
因为θ∈[0,π],
所以θ=.
(2)在△ABC中,=b-a,由(1)知a·b=3,
所以||2=(b-a)2=b2+a2-2a·b=3+4-6=1.
所以||=1.
11.解析　(1)因为a=(3,2),b=(x,-1),所以a+2b=(3+2x,0),2a-b=(6-x,5).
由(a+2b)⊥(2a-b),可得(a+2b)·(2a-b)=0,
即(3+2x)(6-x)+0×5=0,
解得x=6或x=-.
又x>0,所以x=6,则b=(6,-1),
所以a+b=(9,1),
所以|a+b|=.
(2)由b=(x,-1),c=(-8,-1),得b+c=(x-8,-2),
由a∥(b+c),可得3×(-2)-2×(x-8)=0,解得x=5,则b=(5,-1).
所以cos α=,又α∈[0,π],所以α=.
能力提升练
1.C 2.D 4.B 7.C
1.C　由已知得2a-b=2(1,n)-(-1,n)=(3,n),
因为2a-b与b垂直,
所以(2a-b)·b=(3,n)·(-1,n)=(-1)×3+n2=0,解得n2=3,
所以|a|==2,故选C.
2.D　如图,建立以A为原点的平面直角坐标系,连接EF,交AC于点G,
由题意得,AE=ABsin 60°=2,
所以AG=AEcos 30°=3,EG=AEsin 30°=,
所以E(3,-),
所以),
所以),
所以|.
3.解析　(1)如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(0,1),则=(0,1).
由题可设,0<λ<1,则=λ(2,-1)=(2λ,-λ),
所以=(2λ-2,-λ+1),
所以,因为0<λ<1,所以≥-,故的最小值为-.
(2)设,μ>0,
则,x∈R,
因为,
所以所以μ=,
因为AP=5,所以PM=4,AM=1.
由(1)可得=(2λ,-λ+1),所以(2λ)2+(-λ+1)2=1,解得λ=或λ=0(舍去).
因为|,所以|,故CM的长为.
方法总结　当几何图形中涉及向量数量积的运算时,若相应的几何图形易于建系,则常建立平面直角坐标系来求出相应点的坐标,并利用数量积的坐标运算进行求解.
4.B　由2m·n=|2m-n|,得4(m·n)2=(2m-n)2,
即4|m|2|n|2cos2θ=4|m|2-4|m||n|cos θ+|n|2,
∴16cos2θ=8-8cos θ,
解得cos θ=或cos θ=-1.
∵2m·n=|2m-n|≥0,∴cos θ≥0,∴cos θ=,
又θ∈[0,π],∴θ=.故选B.
5.答案　∪(1,)
解析　设向量a,b的起点均为坐标原点O,终点分别为A,B.由题意可知,=(1,1),即A(1,1).如图所示,当点B位于B1或B2时,a与b的夹角为,即∠AOB1=∠AOB2=,此时∠B1Ox=,∠B2Ox=,故B1),又a与b的夹角不为零,故m≠1.所以m的取值范围是∪(1,).
6.答案　
解析　∵2a+b=0,∴b=-2a,
∵2|c-a|=2|c-b+b-a|=|c-b|,即2|c-b-3a|=|c-b|,∴4[(c-b)2-6a·(c-b)+9a2]=(c-b)2,
又|a|=1,∴(c-b)2-8a·(c-b)+12=0,
∴a·(c-b)=,
∴cos=,
当且仅当(c-b)2=12,即|c-b|=2时取等号,
又∈[0,π],
∴c-b与a夹角的最大值为.
7.C　∵a⊥b,∴a·b=0,
∴(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2,
|a+2b|=,
|a-2b|=,
∴a2-4b2=·cos 120°,
整理,得a2-2b2=0,∴.故选C.
8.答案　
解析　由已知得(a+3b)⊥(7a-5b),(a-4b)⊥(7a-2b),
则(a+3b)·(7a-5b)=7a2+16a·b-15b2=0,①
(a-4b)·(7a-2b)=7a2-30a·b+8b2=0,②
①-②,整理可得a·b=b2,代入①可得a2=b2,
则cos=,
又因为∈[0,π],所以=.
9.解析　(1)因为b=(2,-2),c=(sin x-3,1),
所以b+c=(sin x-1,-1),
因为a∥(b+c),a=(2+sin x,1),
所以-2-sin x-sin x+1=0,所以sin x=-,
又因为x∈-,所以x=-.
(2)假设存在实数k,使(a+d)⊥(b+c),
则(a+d)·(b+c)=0,
即(3+sin x)(sin x-1)-(1+k)=0,
所以k=sin2x+2sin x-4=(sin x+1)2-5,
因为-1≤sin x≤1,所以-5≤k≤-1.
所以存在实数k,使(a+d)⊥(b+c),且k的取值范围为[-5,-1].
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