2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第一章　三角函数
§6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
基础过关练
题组一　图象变换和作法
1.(2021北京房山期末)要得到函数y=cos 3x(x∈R)的图象,只需将函数y=cos x(x∈R)的图象上的所有点(　　)
A.横坐标变为原来的(纵坐标不变)
B.横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)
C.纵坐标变为原来的(横坐标不变)
D.纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)
2.(2023天津第二新华中学期末)为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=sin的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
3.将函数y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,则所得图象对应的解析式为(　　)
A.y=sin　　　B.y=sin
C.y=sin　　　D.y=sin2x+
4.(2021安徽江淮名校开学联考)为了得到函数y=2sin的图象,只需将函数y=2cos x的图象上所有点的(　　)
A.纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位长度
B.纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移个单位长度
C.纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度
D.纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,再向右平移个单位长度
5. (2022河南郑州二检)已知函数f(x)=2cos,现将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则g=　　　.
6.已知函数f(x)=3sin,x∈R.
(1)列表并在下面的坐标系内画出函数f(x)在一个周期内的简图;
(2)将函数y=sin x的图象进行怎样的变换可得到函数f(x)的图象
题组二　由图象求解析式
7.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别为(　　)
A.2,-　　　B.2,-　　　
C.4,-　　　D.4,
8.(2021江西南昌二模)函数f(x)=sinωx+(ω>0)的部分图象如图所示,若△ABC的面积为,则ω=(　　)
A.　　　B.2　　　C.　　　D.2π
9.(2023湖北部分省重点中学期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　.
10.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象如图所示, f,则f(0)=　　　.
11.函数f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设α∈,f =2,求α的值.
题组三　函数y=Asin(ωx+φ)的性质
12.(2023甘肃庆阳期末)下列条件中,可以是函数f(x)=cos(2x+φ)为奇函数的充要条件的是(　　)
A.φ=π　　　B.φ=
C.φ=+kπ,k∈Z　　　D.φ=+2kπ,k∈Z
13.函数f(x)=sin的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
14.将函数y=2sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)
A.函数g(x)的图象的一条对称轴是直线x=
B.函数g(x)的图象的一个对称中心是
C.函数g(x)的图象的一条对称轴是直线x=
D.函数g(x)的图象的一个对称中心是
15.函数y=3sin的振幅是　　　　,频率是　　　　,相位是　　　　,初相是　　　　.
16.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,1).
(1)求函数f(x)的最小正周期T及φ的值;
(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合;
(3)求函数f(x)的单调递增区间.
17.(2023浙江温州期末)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间和图象的对称中心;
(2)求函数f(x)在上的值域.
能力提升练
题组一　函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、周期性与图象的对称性
1.(2021四川资阳适应性考试)若函数f(x)=sin的图象关于直线x=对称,则f(x)的最小正周期(　　)
A.存在最大值,且最大值为2π
B.存在最小值,且最小值为2π
C.存在最大值,且最大值为π
D.存在最小值,且最小值为π
2.(2023湖南衡阳第八中学期末)函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则f(π)=(　　)
A.-　　　B.-　　　
C.　　　D.
3.(多选题)(2023吉林长春实验中学期末)下列关于函数f(x)=2sin的描述正确的是(　　)
A.图象关于直线x=对称
B.图象关于点对称
C.图象向右平移个单位长度后关于原点对称
D.在x∈[-1,0]上单调递增
4.(多选题)(2023广东广州第五中学线上模拟)把函数y=cos 2x的图象先向左平移个单位长度,然后将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再向上平移个单位长度后得到函数f(x)的图象,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的解析式为f(x)=2cos
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f(x)在区间上单调递减
D.函数f(x)在区间上的最小值为-2
5.(2022湖南湘潭重点高中期末联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,将y=f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度后,所得函数图象关于y轴对称,则φ的最小正值为　　　　.
6.在函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,其中A>0,ω>0,0<φ<的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.
(1)当x∈时,求f(x)的值域;
(2)若函数g(x)与f(x)的图象关于直线x=对称,试求g(x)图象的对称轴和对称中心.
题组二　函数y=Asin(ωx+φ)的单调性与最值
7.(2022四川泸州期末)函数f(x)=在[4,6]上的值域为(　　)
A.[-1,1]　　　B.[-2,2]
C.[-4,4]　　　D.[-8,8]
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<,A为f(x)图象的对称中心,B,C分别是该图象上相邻的最高点和最低点,若BC=4,则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
9.(2022四川成都蓉城名校联盟联考)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递减,则ω的取值范围是(　　)
A.　　　B.
C.[1,3]　　　D.(0,3]
10.已知函数f(x)=sin(ω>0)在x=θ处取得最大值,则f(2θ)-f(4θ)=　　　　.
11.(2023湖北孝感开学考试)已知函数f(x)=,x∈R.
(1)求f(x)的最大值和对应的x的取值;
(2)求f(x)在上的单调递增区间.
12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的部分图象如图所示.
(1)求ω,φ的值;
(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调区间;
(3)若对任意x1,x2∈[0,π]都有|f(x1)-f(x2)|答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
§6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
基础过关练
1.A 2.B 3.C 4.D 7.A 8.A 12.C 13.C
14.C
1.A　
2.B　因为y=sin,
所以为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=sin个单位长度.
3.C　y=sin x的图象y=sin的图象y=sin的图象,所以所得图象对应的解析式为y=sin.
4.D　y=2cos x=2sin,将其图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,可得y=2sin的图象,再将所得图象上的所有点向右平移个单位长度,可得y=2sin的图象.
故选D.
方法总结　在三角函数图象的变换中,若变换前与变换后函数名不相同,则应先利用诱导公式将函数化为同名三角函数,再利用相应的变换得到结论.
5.答案　1
解析　将f(x)=2cos个单位长度得到y=f=2cos 2x的图象,
再将y=2cos 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到y=g(x)=2cos x的图象,故g=1.
6.解析　(1)函数f(x)的最小正周期T==4π.
列表如下:
0 π 2π
X
f(x)=3sin 0 3 0 -3 0
描出五个关键点并用光滑的曲线顺次连接,得到f(x)在一个周期内的简图如下.
(2)先把函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,然后把所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再把所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变),即可得到函数f(x)的图象.
7.A　由题中函数图象得T=2×=π,则=π,解得ω=2.
因为点在函数图象上,
所以2sin=2,所以sin=1,所以+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z.
又-,所以φ=-.故选A.
8.A　因为△ABC的面积为,所以S△ABC=.
因为 f(x)=sin(ω>0),
所以f(0)=sin,即 OB=,
所以 AC=π,又 AC=T,
所以 T=π,
所以ω=,故选A.
9.答案　f(x)=2sin
解析　由题图可知,A=2,且,∴T=π,
∵T==π,∴|ω|=2,
又ω>0,∴ω=2.
∴f(x)=2sin(2x+φ)(0≤φ<π).
由题图知,函数图象经过点,且该点位于图象的下降段,
∴+φ=2kπ+π(k∈Z),又0≤φ<π,∴φ=,
则f(x)=2sin.
10.答案　
解析　由题图可知函数f(x)的最小正周期为2×,故ω=3.将代入解析式,得Acos=0,结合“五点法”可得+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2(k-1)π(k∈Z).
令φ=-,则f(x)=Acos,
又f ,故A=.
所以f(x)=,
所以f(0)=.
11.解析　(1)∵函数f(x)的最大值为3,
∴A+1=3,即A=2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,
∴最小正周期T=π,
∴ω=2,
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin+1.
(2)∵f +1=2,
∴sin.
∵0<α<,
∴α-,故α=.
12.C　若f(x)=cos(2x+φ)为奇函数,则f(0)=cos φ=0,解得φ=+kπ(k∈Z).
当φ=+kπ(k∈Z)时,f(x)=cos(2x+φ)=±sin 2x,则函数f(x)为奇函数.
所以函数f(x)=cos(2x+φ)为奇函数的充要条件为φ=+kπ(k∈Z).
13. C　f(x)=sin,则函数f(x)=sin的单调递增区间即函数y=sin的单调递减区间.
令2kπ-≤2x-≤2kπ-,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,
故函数f(x)=sin(k∈Z),故选C.
14.C　将函数y=2sin,纵坐标不变,可得y=2sin的图象,再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)=2sin2=2sin的图象.
令2x++kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,
令,得k= Z,可得直线x=不是函数g(x)的图象的一条对称轴;
令,得k=1∈Z,可得直线x=是函数g(x)的图象的一条对称轴,故A错误,C正确.
令2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,
令-,得k= Z;
令-,得k= Z,可得均不是函数g(x)的图象的对称中心,
故排除B,D.故选C.
15.答案　3;
16.解析　(1)函数f(x)的最小正周期T==π.
因为函数f(x)的图象过点(0,1),
所以f(0)=2sin φ=1,即sin φ=.
又-,所以φ=.
(2)由(1)知, f(x)=2sin,所以函数f(x)的最大值是2.
令2x++2kπ(k∈Z),得x=+kπ(k∈Z),
所以f(x)取得最大值时x的取值集合是.
(3)由(1)知, f(x)=2sin.
令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
17.解析　(1)由函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为π,得ω=2,所以f(x)=2sin,
令-+2kπ≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
整理得-+kπ≤x≤kπ+(k∈Z),
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
令2x+=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z).
故函数f(x)的图象的对称中心为(k∈Z).
(2)由于x∈,所以2x+,
因此-≤sin≤1,
从而-1≤2sin≤2,
故函数f(x)在上的值域为[-1,2].
能力提升练
1.A 2.A 3.BCD 4.BD 7.C 8.C 9.B
1.A　因为f(x)=sin的图象关于直线x=对称,
所以+kπ(k∈Z),即ω=2+3k(k∈Z).
故T==2π,即f(x)的最小正周期存在最大值,且最大值为2π.故选A.
2.A　由题图可得函数f(x)的最小正周期T=2×=π,则ω==2.
由题图知f=2,
则sin=1,
则,k∈Z,
则φ=2kπ-,k∈Z,
∵|φ|<,
则f(x)=2sin,
∴f(π)=2sin=-2sin .
3.BCD　f,不是f(x)的最值,故A错误;
f=2sin π=0,所以f(x)的图象关于点对称,故B正确;
把函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=2sin=2sin 2x的图象,函数y=2sin 2x为奇函数,其图象关于原点对称,故C正确;
令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为-+kπ,k∈Z,取k=0,得f(x)的单调递增区间为,
所以f(x)在x∈[-1,0]上单调递增,故D正确.
4.BD　由题意得f(x)=2cos,故A错误.
f=2cos π+,为f(x)的最小值,故B正确.
当0≤x≤时,≤2x+,
由余弦函数的性质可知f(x)在区间上不单调,故C错误.
当0≤x≤时,≤2x+,
所以-1≤cos,
即此时f(x)=2cos-2,故D正确.故选BD.
5.答案　
解析　由题意知f(x)的最小正周期T=2×,
∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ),
将y=f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度后,得到y=f的图象,其关于y轴对称,∴-,k∈Z,∴φ=kπ+,k∈Z,
∴φ的最小正值为.
6.解析　(1)由题意得A=2,T==π,则ω=2,从而f(x)=2sin(2x+φ),
把代入f(x)的解析式,得2sin=-2,解得φ=+2kπ,k∈Z.
又0<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin.
由≤x≤≤2x+,
所以-≤sin≤1,
所以-1≤2sin≤2,
故f(x)的值域为[-1,2].
(2)因为g(x)与f(x)的图象关于直线x=对称,
所以g(x)=f(π-x)=2sin
=-2sin.
令2x-+kπ(k∈Z),得x=,k∈Z.
令2x-=kπ(k∈Z),得x=,k∈Z.
故函数g(x)图象的对称轴为直线x=(k∈Z),对称中心为(k∈Z).
7.C　当x∈[0,2)时,f(x)=sin πx;
当x∈[2,4)时, f(x)=2f(x-2),0≤x-2<2,故f(x-2)=sin[π(x-2)],所以f(x)=2sin[π(x-2)];
当x∈[4,6)时,f(x)=2f(x-2),2≤x-2<4,故f(x-2)=2sin[π(x-2-2)]=2sin[π(x-4)],所以f(x)=4sin[π(x-4)].
当x∈[4,6)时,0≤x-4<2,0≤π(x-4)<2π,所以-1≤sin[π(x-4)]≤1,-4≤4sin[π(x-4)]≤4;
当x=6时,f(6)=2f(4)=2×4sin[π(4-4)]=0.
综上所述,当x∈[4,6]时,f(x)∈[-4,4].故选C.
8.C　设函数f(x)的最小正周期为T.
由题意得(2)2+2=42,即12+=16,
∴ω=.
∵A为f(x)图象的对称中心,
∴+φ=kπ,k∈Z,
又-,
∴f(x)=.
令2kπ-≤2kπ+(k∈Z),
得4k-≤x≤4k+(k∈Z),
故f(x)的单调递增区间为,k∈Z,故选C.
9.B　设f(x)的最小正周期为T,则,即,解得ω≤3,又ω>0,所以0<ω≤3.
由+2kπ≤ωx++2kπ(k∈Z),得≤x≤(k∈Z),
即f(x)在区间(k∈Z)上单调递减,
因为0<ω≤3,且f(x)在区间上单调递减,所以k只能取0,所以,由此可得ω∈.
10.答案　
解析　解法一:由已知得sin+2kπ,k∈Z,
∴ωθ=+2kπ,k∈Z,
∴f(2θ)-f(4θ)=sin=sin -sin π=.
解法二:不妨令ω=1,则θ=+2kπ,k∈Z,
∴f(2θ)-f(4θ)=sin -sin π=.
11.解析　(1)令2x++2kπ,k∈Z,可得x=+kπ,k∈Z,
∴当x=+kπ,k∈Z时,函数f(x)取得最大值,最大值为 .
(2)令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
又x∈,∴函数f(x)在 .
12.解析　(1)设函数f(x)的最小正周期为T,
由题图可知,,
所以T=π.
又T=,ω>0,所以ω==2.
又f=2,所以sin=1.
因为-,所以,
所以,所以φ=-.
(2)由(1)知,f(x)=2sin.
当x∈[0,π]时,2x-,
结合正弦函数的性质可知,当2x-,即x∈时,f(x)单调递增;
当2x-,即x∈时,f(x)单调递减;
当2x-,即x∈时,f(x)单调递增.
所以函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间为,单调递减区间为.
(3)结合(2)易知,函数f(x)在[0,π]上的最大值为f =2,最小值为
f =-2,
所以对任意x1,x2∈[0,π],都有|f(x1)-f(x2)|≤|2-(-2)|=4,
因为对任意x1,x2∈[0,π],都有|f(x1)-f(x2)|所以m>4,即m的取值范围是{m|m>4}.
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