2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--6.2　柱、锥、台的体积(含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台
2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第六章　立体几何初步
§6　简单几何体的再认识
6.2　柱、锥、台的体积
基础过关练
题组一　柱、锥、台的体积
1.(2022四川乐山期末)已知圆锥的表面积为12π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为(　　)
A.4π　　　B.π　　　C.8π　　　D.π
2.(2023广东广州天河中学期中)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为(　　)
A.20+12　　　B.28　　　
C.　　　D.
3.将若干毫升水倒入足够大的底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6 cm,若将这些水倒入足够大的轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是(　　)
A.6 cm　　　B.6 cm　　　
C.2 cm　　　D.3 cm
4.(2023广西柳州第三次模拟)沙漏是我国古代的一种计时工具,是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的(如图).在一个圆锥中装满沙子,放在上方,沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中,假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏的沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中所需总时长为1小时,当上方圆锥中沙子漏至其高度的时,所需时间为(　　)
A.小时　　　B.小时　　　C.小时　　　D.小时
5.(多选题)(2022浙江宁波咸祥中学期中)正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为2,则下列叙述正确的是(　　)
A.正三棱锥的高为3
B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为
D.正三棱锥的侧面积为
6.已知正六棱柱的侧面积为72 cm2,高为6 cm,那么它的体积为（）　cm3.
7.(2023上海宝山月考)已知一个圆锥的底面半径为1 cm,侧面积为2π cm2,则该圆锥的体积为　　　　cm3.
8.(2022湖北部分市期末联考)已知一个圆台的上、下底面半径之比为1∶2,母线长为2,母线与底面的夹角为45°,则这个圆台的体积为　　　　.
9.正三棱台ABC-A1B1C1中,O1,O分别是上底面A1B1C1、下底面ABC的中心,已知A1B1=O1O=.
(1)求正三棱台ABC-A1B1C1的体积;
(2)求正三棱台ABC-A1B1C1的侧面积.
10.(2022福建南安第六中学段考)如图所示,正六棱锥S-ABCDEF的底面周长为24,H是BC的中点,O为底面中心,∠SHO=60°.
(1)求正六棱锥的高、斜高、侧棱长;
(2)求正六棱锥的表面积和体积.
题组二　组合体的体积
11.(2022福建厦门一中段测)如图,一个几何体的上半部分是一个圆柱,下半部分是一个圆锥,圆柱的高为1 m,圆锥的高为2 m,公共的底面是半径为1 m的圆形,那么这个几何体的体积为　　　　m3,表面积为　　　　m2.
12.(2023天津河东一模)有一个由圆锥和圆柱组成的玻璃容器,其中间连通(玻璃壁厚度忽略不计),容器中装有一定体积的水,圆柱高为10,底面半径为3,圆锥高为h,底面半径大于圆柱,图1中,圆柱在下面,液面保持水平,高度为h,将容器倒置如图2所示,若水恰好充满圆锥,则圆锥的底面半径为　　　　.
13.(2022山西运城联考)为了给热爱朗读的师生提供一个安静、独立的环境,某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示,该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体,过正六棱柱两条相对侧棱的截面为正方形,若正六棱锥的侧棱长为,正六棱柱的高为2,则此组合体的体积为　　　　.
14.(2021安徽合肥六校期末)如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为　　　　.
15.如图所示的几何体的上部分是圆柱,其底面直径为6 cm,高为3 cm,下部分是正六棱柱,其底面边长为4 cm,高为2 cm,现从中间挖去一个直径为2 cm,高为上、下两部分高之和的圆柱,求剩余部分形成的几何体的体积.
能力提升练
题组一　柱、锥、台的体积
1.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱D'C'上,则三棱锥A'-EFQ的体积(　　)
A.与点E,F的位置有关
B.与点Q的位置有关
C.与点E,F,Q的位置都有关
D.与点E,F,Q的位置均无关,是定值
2.(2023江苏南京第十三中学月考)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB夹角的余弦值为,SA与圆锥底面的夹角为60°,若△SAB的面积为2,则该圆锥的体积为　　　　.
3.(2022河北邢台一中月考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4,D是棱AA1的中点.
(1)证明:平面BCD⊥平面ACC1A1;
(2)求三棱锥C-BDC1的体积.
题组二　组合体的体积
4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,如果AB=AC=,
BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,那么
多面体BB1C1CEF的体积为　　　　.
5.(2022湖南长沙一中月考)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AB,BC,CD,DA的中点,将该正方体挖去两个四分之一圆锥,得到如图所示的几何体,则该几何体的体积为　　　　.
6.(2023广东揭阳三校联考)如图,一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱ABC-A1B1C1(该棱柱的各个顶点均在圆锥的侧面上),且棱柱的侧面ABB1A1落在圆锥的底面上,已知该正三棱柱的底面边长为6,高为8.
(1)求挖掉的正三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
(2)求剩余几何体的体积和表面积.
7.(2022福建宁德同心顺联盟期中联考)如图所示的四边形O'A'B'C'为四边形OABC的斜二测直观图,其中O'A'=3,O'C'=1,B'C'=1.
(1)画出四边形OABC的平面图形且标出各边长,并求平面四边形OABC的面积;
(2)若将四边形OABC绕OA所在直线旋转一周,求旋转形成的几何体的体积及表面积.
题组三　与体积有关的应用性问题
8.(2023江苏南京天印高级中学一模)某中学开展劳动实习,学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片,如图所示,裁掉阴影部分,然后按虚线将其折成高为的正六棱柱无盖包装盒,则此包装盒的体积为(　　)
A.144　　　B.72　　　C.36　　　D.24
9.(2021江苏南通模拟)中国气象局规定:一天24 h内的降雨的深度当作日降水量,通常用毫米作单位,1 mm的降水量是指单位面积上水深1 mm.下图是一个雨量筒,其下部是直径为20 cm,高为60 cm的圆柱,上部承水口的直径为30 cm.某同学将该雨量筒放在雨中,雨水从圆形容器口进入容器中,24 h后,测得容器中水深为40 cm,则该同学测得的日降水量约为(　　)
A.17.8 mm　　　B.26.7 mm　　　
C.178 mm　　　D.267 mm
10.(2021上海模拟)如图,一个圆锥形量杯的高为12厘米,其母线与轴的夹角为30°.
(1)求该量杯的侧面积;
(2)若要在该圆锥形量杯的一条母线PA上刻上刻度,表示液面到达这个刻度时,量杯里的液体的体积是多少,当液体体积是100立方厘米时,刻度的位置B与顶点P之间的距离是多少厘米 (精确到0.1厘米)
答案与分层梯度式解析
第六章　立体几何初步
§6　简单几何体的再认识
6.2　柱、锥、台的体积
基础过关练
1.D 2.D 3.B 4.C 5.ABD
1.D　设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则πl=2πr,即l=2r,
∵圆锥的表面积为12π,∴πr2+πrl=12π,∴r=2,l=4,
∴圆锥的高h=,
∴圆锥的体积V=π.故选D.
2.D　如图,几何体ABCD-A1B1C1D1为正四棱台,AB=2,A1B1=4,AA1=2.
在等腰梯形A1B1BA中,过点A作AE⊥A1B1,垂足为E,则A1E=.
连接AC,A1C1,
易得AC=,
过点A作AG⊥A1C1,垂足为G,则AG的长为该正四棱台的高,
则A1G=,
∴正四棱台的体积V=.
3.B　设倒圆锥形器皿中水面的高度为h cm,水面半径为r cm,则母线(含水部分)l=2r cm,h=r cm,
即r= cm,
由题意得πr2×h=π×22×6,
∴×h=24π,
∴h3=216,解得h=6.
4.C　设沙漏中每个圆锥的底面半径为R,高为h,则圆锥的体积V=πR2h.
当上方圆锥中沙子漏至其高度的时,上方圆锥中剩余沙子的底面半径为,高为,则剩余沙子的体积V'=πR2h,
则剩余沙子漏至另一个圆锥中还需用时(小时),则上方圆锥中沙子漏至其高度的时所需时间为1-(小时).
5.ABD　如图,设E为正三棱锥P-ACD的底面ADC的中心,F为CD的中点,连接PF,EF,PE,则PE为正三棱锥的高,PF为正三棱锥的斜高.
因为CD=3,PC=2,所以PF=,故PE==3,故A,B正确.正三棱锥的体积为,侧面积为3×,故C错误,D正确.故选ABD.
6.答案　36
解析　设正六棱柱的底面边长为x cm,由题意得6x×6=72,所以x=2,所以该正六棱柱的体积V=(cm3).
7.答案　π
解析　设圆锥的底面半径为r cm,高为h cm,母线长为l cm.
由题意得,πrl=2π,即π×1×l=2π,所以l=2,
所以h=.
故该圆锥的体积V=·πr2·h=π(cm3).
8.答案　π
解析　圆台的轴截面是等腰梯形,如图,其中BC=2,∠CBA=45°,过点C作CE⊥AB,垂足为E,则在Rt△BCE中,CE=BE=2,因为圆台的上、下底面半径之比为1∶2,所以O2B=2O1C=2BE=4,即圆台的上底面半径为2,下底面半径为4,高为2,所以圆台的体积V=(S上+S下+π.
9.解析　(1)由题意得,正三棱台ABC-A1B1C1的上底面面积为,下底面面积为,所以正三棱台ABC-A1B1C1的体积为.
(2)设A1B1,AB的中点分别为M1,M,
易得O1M1=,OM=1,
所以正三棱台ABC-A1B1C1的斜高M1M=,所以正三棱台ABC-A1B1C1的侧面积为3×.
10.解析　(1)因为正六棱锥的底面周长为24,所以正六棱锥的底面边长为4.
在正六棱锥S-ABCDEF中,SB=SC,H为BC的中点,所以SH⊥BC.
因为O是正六边形ABCDEF的中心,所以SO为正六棱锥的高.
易得OH=,在Rt△SOH中,∠SHO=60°,所以SO=OH·tan 60°=6.
在Rt△SOH中,SH=.
在Rt△SHB中,SB=.
故该正六棱锥的高为6,斜高为4,侧棱长为2.
(2)连接OB,OC.结合(1)可知,△SBC的面积为BC·SH=,△OBC的面积为BC·OH=,
所以正六棱锥的表面积为6×4,
体积为.
11.答案　π
解析　由题意知,几何体的体积为π×12×1+π(m3).
设圆锥的母线长为l m,则l=,故几何体的表面积为π×12+2π×1×1+π×1×π)m2.
12.答案　3
解析　设圆锥的底面半径为R,
由题意得,V水=π·32·h=·π·R2·h,解得R=3(负值舍去).
13.答案　
解析　由题意得,正六棱锥的底面边长为1,所以正六棱锥的高为=1,正六棱锥的底面面积为6×,所以此组合体的体积为.
14.答案　10π
解析　用一个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×(2+3)=20π,故所求几何体的体积为10π.
15.解析　V下部六棱柱=(cm3),
V上部圆柱=π×32×3=27π(cm3),
V挖去的圆柱=π×12×(3+2)=5π(cm3),
∴所求几何体的体积V=V下部六棱柱+V上部圆柱-V挖去的圆柱=(48+22π)cm3.
能力提升练
1.D 8.B 9.C
1.D　V三棱锥A'-EFQ=V三棱锥Q-A'EF=,所以三棱锥A'-EFQ的体积为定值,与点E,F,Q的位置均无关.
2.答案　π
解析　如图所示,设圆锥的底面中心为O.由题意知,
cos∠ASB=,∴sin∠ASB=,
∴S△SAB=SA·SB·sin∠ASB=SA2=2,解得SA=4(负值舍去),
∴OA=SA·cos 60°=4×=2,SO=SA·sin 60°=4×,
∴该圆锥的体积V=π·OA2·SO=π.
3.解析　(1)证明:∵AA1⊥底面ABC,BC 平面ABC,∴AA1⊥BC.
又∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∵AC∩AA1=A,AC,AA1 平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.
∵BC 平面BCD,∴平面BCD⊥平面ACC1A1.
(2)∵四边形ACC1A1为矩形,AC=2,AA1=4,D是AA1的中点,∴CD=C1D=2,
∴CD2+C1D2=C,即△CDC1为等腰直角三角形,
∴=4.
∴.
4.答案　30
解析　在△ABC中,BC边上的高h==2,
∴×6×2×6=36,
∵EF=3,A1A=B1B=6,
∴V三棱锥E-ABC+=6,
故=36-6=30.
5.答案　8-
解析　∵该几何体由正方体挖去两个四分之一圆锥得到,∴完整圆锥的底面半径为1,高为2.
∴该几何体的体积V=23-.
6.解析　(1)由题意可知,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面积S△ABC=,高AA1=8,
∴.
(2)如图,过点V,C,C1作圆锥的轴截面VEF,分别交AB,A1B1于点M,N,连接A1B.
由题可知☉O是矩形ABB1A1的外接圆,
∵BB1=8,AB=6,
∴A1B==10,即☉O的半径为5.
∵ON=EF=5,∴NF=1,
∵C1N=,且△FC1N与△FVO相似,
∴,即,
∴VF=,
∴V圆锥=π,
则剩余几何体的体积为125.
易得圆锥的侧面积为10π,底面积为25π,
∴剩余几何体的表面积为50.
7.解析　(1)因为在直观图中,O'A'=3,O'C'=1,B'C'=1,
所以在平面四边形OABC中,OA=O'A'=3,OC=2O'C'=2,BC=B'C'=1,OC⊥OA,所以AB=,故平面四边形OABC如图所示:
由图可知,平面四边形OABC为直角梯形,
其面积为=4.
(2)旋转而成的几何体由一个圆柱和一个同底的圆锥组成,
由(1)可知几何体的底面半径r=2,圆柱的高h1=1,圆锥的高h2=2,母线长l=2,
所以几何体的体积V=πr2h1+π,
表面积S=πr2+2πrh1+πrl=4π+4π+4)π.
8.B　易知正六边形的每个内角都为,
如图所示,
由题可知BF==1,
则包装盒的底面边长为AB=6-2×1=4,
则包装盒的底面积S=6×,
则包装盒的体积V=24=72.故选B.
9.C　由题意,得水的体积V=π×102×40=4 000π(cm3),容器口的面积S=π×152=225π(cm2).
∴降水量为≈17.8(cm)=178(mm).
∴该同学测得的日降水量约为178 mm.故选C.
10.解析　(1) 由题意知,圆锥的底面半径r=12×tan 30°=4(厘米),母线长l=(厘米).
则圆锥的侧面积S=πrl=96π(平方厘米).
因此该量杯的侧面积为96π平方厘米.
(2)设BP=x厘米,则过点B且平行于底面的截面圆的半径为厘米,顶点P到该截面的距离为 厘米,
此时液体的体积V=x3(立方厘米),
当V=100立方厘米时,代入可得x≈7.6.
故此时刻度的位置B与顶点P之间的距离约为7.6厘米.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)