2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--6.3　球的表面积和体积(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第六章　立体几何初步
§6　简单几何体的再认识
6.3　球的表面积和体积
基础过关练
题组一　球的表面积和体积
1.(2022安徽蚌埠质检)如图,扇形OAB的圆心角为90°,半径为1,则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为(　　)
A.　　　B.2π　　　C.3π　　　D.4π
2.(2023甘肃高考诊断)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1=2,其外接球的体积为36π,则此长方体的表面积为(　　)
A.34　　　B.64　　　
C.4+17　　　D.8+34
3.等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是(　　)
A.S正方体>S球　　　B.S正方体C.S正方体=S球　　　D.无法确定
4.(2022山东潍坊期末)牙雕套球又称“鬼工球”,取鬼斧神工的意思,制作相当繁复,工艺要求极高.现有某“鬼工球”,由外及里的两层是表面积分别为64π cm2和36π cm2的同心球(球壁的厚度忽略不计),在外球表面上有一点A,在内球表面上有一点B,连接AB,则线段AB长度的最小值是(　　)
A.1 cm　　　B.2 cm　　　C.3 cm　　　D. cm
5.(2022黑龙江大庆实验中学期中)如图,某种水箱用的“浮球”是由两个相同的半球和一个圆柱组成的.已知半球的直径是6 cm,圆柱的高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少
(2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需涂胶多少克
题组二　球的截面问题
6.(2022山西长治二中期中)球心到过球面上A,B,C三点的截面的距离是球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球的体积为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
7.(2022广东汕头澄海中学段考)球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切,点M为棱DD1的中点,则平面ACM截球O所得截面圆的面积为(　　)
A.　　　B.π　　　C.　　　D.
8.(2023上海曹杨第二中学月考)已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球得到圆M,若圆M的面积为9π,则球O的表面积为　　　　.
题组三　球的切、接问题
9.(2021广西来宾、玉林、梧州等4月联考)已知在高为2的正四棱锥P-ABCD中,AB=2,则正四棱锥P-ABCD外接球的体积为(　　)
A.4π　　　B.　　　
C.　　　D.
10.(2023天津南开监测)用底面半径为3 cm的圆柱形木料车出7个球形木珠,木珠的直径与圆柱形木料的高相等.下料方法:相邻的木珠相切,与圆柱侧面接触的6个木珠均与侧面相切,下图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面,则7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积的比值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
11.(2021吉林长春东北师大附中期中)如图,已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径,圆柱的表面积为54π,则球的体积为(　　)
A.27π　　　B.36π　　　C.54π　　　D.108π
12.(2023陕西榆林二模)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的表面上,△ABC是边长为4的等边三角形,若三棱锥P-ABC体积的最大值是32,则球O的表面积是(　　)
A.100π　　　B.160π　　　C.200π　　　D.320π
13.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则其表面积为　　　　,其内切球的体积为　　　　.
14.(2023辽宁朝阳北票高级中学月考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图中,B,C是线段AD的三等分点,且AD=3.若该三棱柱的外接球O的表面积为12π,则AA1=　　　　.
15.(2022陕西咸阳实验中学月考)已知一圆锥的母线长为10 cm,底面的半径为6 cm.
(1)求圆锥的高;
(2)若圆锥内有一球,球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切,求球的表面积.
能力提升练
题组一　球的表面积和体积
1.(2023山东齐鲁名校大联考)已知一个竖直放在水平地面上的圆柱形容器中盛有20 cm高的水,若将一半径与圆柱底面半径相同的实心钢球缓缓放入该容器中,最后水面恰好到达钢球顶部,则该钢球的表面积为(　　)
A.2 700π cm2　　　B.3 600π cm2
C.4 800π cm2　　　D.6 400π cm2
2.(2022云南保山期中)如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分(其中∠BAC=30°)以直径AB所在直线为旋转轴,旋转一周得到一几何体,则该几何体的表面积(包括内壁面积)为　　　.
题组二　球的截面问题
3.(2022广东梅州联考)某同学在参加实践课时制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合,截面均是圆面),若其中一个截面圆的周长为2π,则被截前球的表面积为　(　　)
A.20π　　　B.16π　　　C.12π　　　D.8π
4.(2023江西金溪第一中学月考)已知圆柱O1O2的轴截面是边长为4的正方形,底面圆O2的圆周在球O的表面上,且底面圆O1所在平面截球O所得的是半径为2的圆面,若点O在圆柱O1O2内,则球O的表面积与圆柱O1O2的表面积的比值为(　　)
A.2　　　B.　　　C.　　　D.
题组三　球的切、接问题
5.(2021广西玉林五校联考)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(　　)
A.4π　　　B.　　　C.6π　　　D.
6.(2023山西适应性考试)一圆锥的高为4,该圆锥体积与其内切球体积之比为2∶1,则其内切球的半径是(　　)
A.　　　B.1　　　C.　　　D.
7.(2023四川成都简阳阳安中学月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=,BC=3,在该三角形内挖去一个半圆,半圆的圆心O在边BC上,且半圆与AC,AB分别相切于点C,M,与BC交于另一点N,将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.
(1)求该旋转体中间空心球的表面积;
(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.
答案与分层梯度式解析
第六章　立体几何初步
§6　简单几何体的再认识
6.3　球的表面积和体积
基础过关练
1.C 2.B 3.A 4.A 6.D 7.D 9.B 10.D
11.B 12.A
1.C　由题可得,以OB所在直线为轴旋转一周所得的几何体是一个半球,其半径r=1,故半球的表面积为2πr2+πr2=2π+π=3π.故选C.
2.B　设外接球的半径为R,因为外接球的体积为36π,所以πR3=36π,解得R=3.
设底面正方形ABCD的边长为a,易知长方体外接球的直径等于长方体体对角线的长,所以=2R=6,解得a=4(负值舍去),
所以此长方体的表面积为2×(4×4+2×4+2×4)=64,故选B.
3.A　设正方体的棱长为a,球的半径为R.
由题意得V=πR3=a3,所以a=.所以S正方体=6a2=,S球=4πR2=,所以S正方体>S球.
4.A　设外球和内球的半径分别为R cm和r cm,则4πR2=64π,4πr2=36π,解得R=4,r=3,
易知当A,B与球心在同一直线上,且B在A与球心之间时,线段AB的长度最小,
∴线段AB长度的最小值是R-r=1(cm).故选A.
5.解析　(1)因为半球的直径是6 cm,所以其半径R=3 cm,所以两个半球的体积之和为V球=πR3=36π(cm3).
又V圆柱=πR2×2=18π(cm3),
所以这种“浮球”的体积V=V球+V圆柱=36π+18π=54π(cm3).
(2)根据题意,上、下两个半球的表面积之和是S球=4πR2=36π(cm2),
又S圆柱侧=2πR×2=12π(cm2),
所以1个这种“浮球”的表面积S=S球+S圆柱侧=36π+12π=48π(cm2).
所以2 500个这种“浮球”的表面积之和为2 500S=2 500×48π=120 000π(cm2)=12π(m2).
所以共需涂胶100×12π=1 200π(克).
6.D　因为AB=BC=CA=2,所以△ABC外接圆的半径r=.设球的半径为R,则R2-,所以R=,所以球的体积V=.
7.D　易知球O的半径为1,设球心到截面圆的距离为d,截面圆的半径为r,连接OA,OC,OM,则V三棱锥O-ACM=V三棱锥M-AOC,即S△ACM·d=S△AOC,易得S△ACM=,S△AOC=.又d2+r2=1,∴r=,∴截面圆的面积为π×.故选D.
8.答案　48π
解析　设圆M的半径为r,球O的半径为R,
根据题意作出球O的轴截面,如图:
则πr2=9π,解得r=3(负值舍去),
在Rt△OBM中,OB2=OM2+BM2,即R2=+r2,
即R2=R2+9,解得R2=12,
所以球O的表面积S=4πR2=48π.
9.B　设正四棱锥P-ABCD的底面中心为O,正四棱锥P-ABCD外接球的半径为R,则OA=,易知球心在OP上,则R2=(2-R)2+()2,解得R=,则正四棱锥P-ABCD外接球的体积为.故选B.
10.D　设球形木珠的半径为r,圆柱形木料的底面半径为R,
由题图可知,2R=6r,∴R=3r,又木珠的直径与圆柱形木料的高相等,故圆柱形木料的高为2r,
故7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积的比值为.故选D.
11.B　设球的半径为R,
则圆柱的表面积为2πR2+2πR·2R=6πR2,
所以6πR2=54π,所以R=3,
所以球的体积为π×27=36π.故选B.
12.A　设△ABC外接圆的半径为r,则r==4,
设球O的半径为R,则当三棱锥P-ABC的高h最大时,体积取得最大值,而hmax=+R,
所以,
即+R=8,解得R=5.
故球O的表面积是4πR2=100π.
13.答案　6;
解析　易得正方体的表面积S=6×12=6,因为球内切于棱长为1的正方体,所以球的直径等于正方体的棱长,所以球的半径为,所以该正方体内切球的体积为.
14.答案　2
解析　设球O的半径为r,则4πr2=12π,解得r=(负值舍去),
根据题意,分别取直三棱柱上、下底面的中心E,F,连接EF,则EF的中点即为直三棱柱外接球的球心O,作图如下:
连接OC,CF,
则OC=r=,EF⊥平面ABC,EF=AA1=2OF.
∵CF 平面ABC,
∴OF⊥CF,
在等边△ABC中,CF=·BC·sin 60°=1,
在Rt△OFC中,OF=,
则AA1=2OF=2.
15.解析　(1)圆锥的高h==8(cm).
(2)如图,设圆锥内切球的半径为R cm.
由题意得AB=AO=6 cm,在Rt△PBO1中,由勾股定理可得PB2+O1B2=O1P2,即(10-6)2+R2=(8-R)2,所以R=3,
所以球的表面积S=4πR2=4π×32=36π(cm2).方法总结　解决与球有关的切、接问题时,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆与平面图形相接、切的问题.解题时要注意借助球的半径、截面圆的半径、球心到截面的垂线段构成的直角三角形.
能力提升练
1.B 3.A 4.C 5.B 6.B
1.B　设钢球的半径为r cm,则圆柱的底面半径也为r cm,
由题意得,πr2·2r-πr3=πr2·20,所以r=30,
故钢球的表面积S=4πr2=4π×900=3 600π(cm2).
2.答案　πR2
解析　所得几何体如图所示,
过点C作CO1⊥AB于点O1.
∵∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC=R,
∴πR2,
πR2,又S球=4πR2,
∴S几何体表=S球+
=4πR2+πR2.
故所得几何体的表面积为πR2.
3.A　设截面圆的半径为r,球的半径为R,则球心到截面的距离为正方体棱长的一半,即为2,根据截面圆的周长可得2π=2πr,则r=1,由题意知R2=r2+22=12+22=5,∴被截前球的表面积为4πR2=20π.
4.C　由题意得,圆柱O1O2的底面半径为2,高为4,
作出圆柱O1O2和球O的轴截面如图所示,
则O2P=2,O1Q=2,设球O的半径为R,连接OP,OQ,
则O1O2=O1O+OO2==4,解得R=(负值舍去),
则球O的表面积与圆柱O1O2的表面积的比值为 .
5.B　易得AC=10.设△ABC的内切圆的半径为r,则×(6+8+10)×r,所以r=2,因为2r=4>3,所以当球与该直三棱柱的上、下底面相切时,体积最大,此时球的直径为3,则半径R=,所以球的体积V=.故选B.
解题反思　要使本题中球的体积取最大值,则该球的半径应取最大值,即该球应与该直三棱柱内切,因此需要讨论底面三角形内切圆直径与该直三棱柱高的大小关系,从而确定球的半径的最大值.
6.B　设圆锥的体积为V1,底面半径为R,其内切球体积为V2,半径为r,
由题意可得,则R2=2r3①,
根据题意作出大致图形,如图:
易知△POD∽△PBC,所以,即,
两边平方得②,
将①代入②,化简并整理,得r2-2r+1=0,所以r=1.
7.解析　(1)连接OM,则OM为半圆O的半径,则OM⊥AB,
即∠OMB=90°.
在△ABC中,∠ACB=90°,AC=,BC=3,
所以∠ABC=30°,
则OC+OB=OC+2OM=3,则OM=1,
所以该旋转体中间空心球的表面积为4π·12=4π.
(2)将题图中阴影部分绕直线BC旋转一周,得到的几何体是一个圆锥挖去其内切球,
∴所求体积V=V圆锥-V球=π·AC2·BC-π·OM3=3π-.
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