2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--7.3　正切函数的图象与性质(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第一章　三角函数
7.3　正切函数的图象与性质
基础过关练
题组一　正切(型)函数的图象及应用
1.函数y=tan在一个周期内的图象是(　　)
A B
C D
2.(2022上海华东师范大学第二附属中学期末)直线y=a与函数f(x)=tan ωx(ω>0,ω为常数)的两个相邻交点间的距离是　　　　.
3.根据正切函数的图象,写出使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合.
题组二　正切(型)函数的性质及应用
4.已知x∈[0,2π],则函数y=的定义域为(　　)
A. 　　　B.
C.　　　D.
5.函数y=tanx+,x∈R且x≠+kπ,k∈Z的图象的一个对称中心是(　　)
A.(0,0)　　　B.　　　C.　　　D.(π,0)
6.(多选题)(2022黑龙江双鸭山一中期末)下列函数中,以2π为最小正周期的函数有(　　)
A.y=cos|2x|　　　B.y=
C.y=|sin 2x|　　　D.y=tan
7.下列各式中正确的是(　　)
A.tan 735°>tan 800°　　　B.tan 1>-tan 2
C.tan 8.(2021重庆第八中学适应性考试)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,且f(π)=-1,则f =(　　)
A.　　　B.　　　C.2-　　　D.
9.(2022北京石景山期末)函数y=tan x在区间(0,a)上单调递增,则实数a的一个取值可以为　　　　.
10.(2022湖南长沙雅礼中学期末)函数f(x)=tan的单调递增区间是　　　　　.
能力提升练
题组一　正切(型)函数的图象及其应用
1.(2022河南南阳联考)函数f(x)=tan x+sin x+|tan x-sin x|在区间上的图象是(　　)
2.(2021江西南昌新建一中期末)函数f(x)=tan(π+ωx)(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2 021所得的线段长为,则f的值是(　　)
A.0　　　B.　　　
C.1　　　D.
3.设函数f(x)=(k∈Z),g(x)=sin|x|,则方程f(x)-g(x)=0在区间[-3π,3π]上的解的个数是(　　)
A.7　　　B.8　　　
C.9　　　D.10
题组二　正切(型)函数的性质及其应用
4.函数f(x)=tan(sin x)的值域是(　　)
A.　　　B.
C.[-tan 1,tan 1]　　　D.[-1,1]
5.(2023重庆实验外国语学校期末)已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在定义域内是增函数
B.f(x)的最小正周期是π
C.f(x)图象的对称中心是,k∈Z
D.f(x)图象的对称轴是直线x=,k∈Z
6.(2022广东广州期中)已知函数f(x)=tan x+sin x,若对任意x∈, f(x)>a恒成立,则a的取值范围是(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
7.若函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为π,则(　　)
A. f(2)>f(0)>f
B. f(0)>f(2)>f
C. f(0)>f>f(2)
D. f>f(0)>f(2)
8.(2021宁夏中卫第一次联考)已知直线y=a与函数f(x)=tan(ω>0)的图象的相邻两个交点间的距离为2π,若函数f(x)在区间
(-m,m)(m>0)上是增函数,则实数m的取值范围是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
9.(2023河北衡水二中月考)已知f(x)=2tan(ωx+φ),周期T∈是f(x)图象的一个对称中心,则
f 的值为(　　)
A.-　　　B.　　　C.　　　D.-
10.(2023河南濮阳第一高级中学期末)函数f(x)=a-tan 2x在x∈上的最大值为7,最小值为3,则ab的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
11.(2022广东广州华南师大附中期中)已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的最小正周期T和单调递减区间;
(2)试比较f(π)与f 的大小.
12.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的取值集合;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上单调的θ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
§7　正切函数
7.3　正切函数的图象与性质
基础过关练
1.A 4.C 5.C 6.BD 7.D 8.A
1.A　当x=时,tan=0,
故排除C,D;
当x=时,tan=tan ,无意义,
故排除B.故选A.
2.答案　
解析　根据题意,在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)的大致图象及直线y=a,
由图可知,这两个相邻交点间的距离等于函数f(x)的最小正周期,即.
3.解析　由3+tan 2x≥0得tan 2x≥-.如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan x,x∈的图象和直线y=-.
由图得,在区间内,不等式tan x≥-,
∴在函数y=tan x的定义域xx≠kπ+,k∈Z内,不等式tan x≥-的解集是xkπ-≤x令kπ-≤2x∴使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合是.
4.C　由题意知解得π≤x<,
∴函数的定义域为,故选C.
5.C　函数y=tan,x∈R且x≠+kπ,k∈Z的图象的对称中心是,k∈Z,结合选项知C正确.
6.BD　y=cos|2x|=cos 2x,其最小正周期为=π;
y=sin的最小正周期为4π,所以y=的最小正周期为2π;
y=sin 2x的最小正周期为π,所以y=|sin 2x|的最小正周期为;
y=tan =2π.故选BD.
7.D　tan 735°=tan(720°+15°)=tan 15°,tan 800°=tan(720°+80°)=tan 80°,∵tan 15°∵<π,∴tan >tan ,故C错;
tan =tan 故选D.
方法总结　利用正切函数的单调性比较大小时,要注意利用诱导公式使自变量的值在同一个单调区间内.
8.A　由题中图象可知,函数f(x)的最小正周期为2π,
所以ω=,则f(x)=Atan.
由f =0,得tan=0,
所以φ=-+kπ(k∈Z),
则f(x)=Atan,
又f(π)=-1,所以Atan=-1,所以A=-1,
故f(x)=-tan,
所以f .故选A.
9.答案　(答案不唯一)
解析　易知正切函数y=tan x的单调递增区间为,k∈Z,
因为函数y=tan x在区间(0,a)上单调递增,
所以0故实数a的一个取值可以为,此答案不唯一.
10.答案　,k∈Z
解析　令kπ-,k∈Z,解得-+2k,k∈Z,所以函数的单调递增区间为,k∈Z.
能力提升练
1.A 2.C 3.A 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B
9.D 10.B
1.A　函数f(x)=tan x+sin x+|tan x-sin x|=
当x=时,sin x=,tan x=-,
所以tan x0,故排除C、D;
当x=时,sin x=-,tan x=,
所以tan x>sin x,所以f(x)=2tan x=2>2,故排除B.故选A.
2.C　依题意可得,函数f(x)=tan(π+ωx)的周期为,所以T=,解得ω=3,则f(x)=tan(π+3x),
故f =tanπ+=tan=1.故选C.
3.A　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与g(x)在区间[-3π,3π]上的图象,如图所示.由图知方程f(x)-g(x)=0在[-3π,3π]上解的个数为7,故选A.
易错警示当04.C　易得sin x∈[-1,1],因为-,且y=tan x在上单调递增,所以f(x)min=tan(-1)=-tan 1, f(x)max=tan 1.故函数f(x)=tan(sin x)的值域为[-tan 1,tan 1].
5.C　令kπ-,k∈Z,解得,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z,f(x)在定义域的每一个单调区间上单调递增,但在整个定义域内没有单调性,故A错误;
函数f(x)的最小正周期T=,故B错误;
令2x+,k∈Z,得x=,k∈Z,故C正确;
结合正切函数的性质可知,函数f(x)的图象没有对称轴,故D错误.
6.A　因为函数y=tan x和y=sin x在上都单调递增,所以函数f(x)=tan x+sin x在上单调递增,所以f(x)>f ,若对任意x∈, f(x)>a恒成立,则a≤-.故选A.
7.C　由函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为π,可得=π,解得ω=1,
故f(x)=tan,
令-+kπ,k∈Z,
得-+kπ,k∈Z,
当k=1时,,即函数f(x)在上单调递增,
又f(0)=f(π), f =f ,
且,
所以f(0)>f>f(2).故选C.
8.B　因为直线y=a与函数f(x)=tanωx+(ω>0)的图象的相邻两个交点间的距离为2π,所以T==2π,所以ω=,则f(x)=tan.
令kπ-,k∈Z,可得2kπ-,k∈Z,
当k=0时,可得f(x)在上单调递增.
因为函数f(x)在区间(-m,m)(m>0)上是增函数,所以(-m,m) ,所以09.D　由题知f(0)=2tan φ=,∴tan φ=,
又∵|φ|<.
∵T=<ω<4.
又是f(x)图象的一个对称中心,
∴,k∈Z,∴ω=3k-1,k∈Z,
∴ω=2,f(x)=2tan=2tan =-2tan .故选D.
10.B　∵x∈,2x∈,
∵函数f(x)在x∈上的最大值为7,最小值为3,∴2b<,即b<,
又正切函数y=tan x在上单调递增,
∴f(x)=a-tan 2x在上单调递减,
∴f=a+3=7,解得a=4,∴f(b)=4-tan 2b=3,则tan 2b=,
∵2b∈,
∴ab=4×,故选B.
11.解析　(1)由题知函数f(x)=3tan,
所以f(x)的最小正周期T==4π.
由kπ-,k∈Z,
解得4kπ-,k∈Z,
所以函数f(x)=3tan,k∈Z.
(2)结合(1)可知f =f =f ,
因为-,函数f(x)在上单调递减,
所以f(π)>f ,
即f(π)>f .
12.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-.
∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,
∴当x=时, f(x)min=-;
当x=-1时,f(x)max=.
(2)由题可知g(x)=x-+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,
∴g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ=0,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
故θ的取值集合为{θ|θ=kπ,k∈Z}.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上单调,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1,
∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是,k∈Z.
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