2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--8　三角函数的简单应用(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第一章　三角函数
§8　三角函数的简单应用
基础过关练
题组一　三角函数模型在物理中的应用
1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动,已知它们在时间t时离开平衡位置的位移s1和s2分别由下列两式确定:s1=5sin,s2=10cos 2t.当t=时,s1与s2的大小关系是(　　)
A.s1>s2　　　B.s1C.s1=s2　　　D.不能确定
2.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6sin2πt+,则单摆完成1次完整摆动所需的时间为(　　)
A.2π s　　　B.π s　　　C.0.5 s　　　D.1 s
3.如图所示,弹簧下挂着的小球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2 cm处,然后小球向上运动,小球的最高点和最低点到平衡位置的距离都是4 cm,每经过π s小球往复振动一次,则小球离开平衡位置的位移y(cm)(假设向上为正)与振动时间x(s)的关系式可以是　　　　　　.
题组二　三角函数模型在生活中的应用
4.人的血压在不断地变化,血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设甲某的血压满足函数式p(t)=102+24sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),对于甲某而言,下列说法正确的是(　　)
A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C.收缩压高于标准值,舒张压低于标准值
D.收缩压低于标准值,舒张压高于标准值
5.(2022山东烟台期末)水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,其工作示意图如图所示.设水车(即圆周)的直径为8 m,其中心(即圆心)O到水面的距离为2 m,水车逆时针匀速旋转,旋转一周的时间是120 s.当水车上的一个水筒A从水中浮现时(即A在A0处时)开始计时,经过t s后水筒A距离水面的高度为f(t)(在水面以下时高度取为负数),则f(140)=　　(　　)
A.3 m　　　B.4 m　　　C.5 m　　　D.6 m
6.(2023吉林长春第六中学期末)在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花,其花开花谢非常有规律.有研究表明,时钟花开花规律与温度密切相关,时钟花开花所需要的温度约为20 ℃,但当气温上升到31 ℃时,时钟花基本都会凋谢.在花期内,时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区,且该景区6时~14时的气温T(单位:℃)与时间t(单位:时)近似满足函数关系式T=25+10sin,则在6时~14时中,观花的最佳时段约为(　　)
A.6.7时~11.6时　　　B.6.7时~12.2时
C.8.7时~11.6时　　　D.8.7时~12.2时
7.国际油价在某段时间内呈现正弦波动规律:P=Asin+60(单位:美元/桶,t为天数,A>0,ω>0).现收集到下列信息:最高油价为80美元/桶,当t=150时,油价最低,则A的值为　　　　,ω的最小值为　　　　　.
8.下图为2022年某市某天6时至14时的气温变化曲线,其近似为函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,则这一天8时的气温大约为　　　　.(精确到1 ℃)
题组三　三角函数模型的建立及其应用
9.将自行车支起来,使后轮能平稳地匀速转动,观察后轮气针的运动规律,若将后轮(看作一个圆)放入如图所示的坐标系中,后轮以ω rad/s的角速度逆时针做圆周运动,P0是气针的初始位置,气针(看作一个点P)到原点O的距离为r.
(1)求气针P的纵坐标y关于时间t(s)的函数解析式,并求出P的运动周期;
(2)当φ=,r=ω=1时,作出其图象.
10.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆逆时针匀速爬行,已知圆的半径为1米,圆心O距离地面的高度为1.5米,蚂蚁爬行一圈需要4分钟,且蚂蚁的起始位置在最低点P0处.
(1)试写出蚂蚁距离地面的高度h(米)关于爬行时间t(分钟)的函数关系式;
(2)在蚂蚁绕圆爬行一圈的时间内,有多长时间蚂蚁距离地面超过1米
能力提升练
题组一　三角函数模型在物理中的应用
1.(2021浙江金华十校期末)智能主动降噪耳机的工作原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声,然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ<2π)的振幅为1,周期为2π,初相为,则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为(　　)
A.y=sin x　　　B.y=cos x
C.y=-sin x　　　D.y=-cos x
2.(多选题)下图是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是(　　)
A.该质点的运动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零
3.(2022吉林一中质检)信息多数是以波的形式进行传递的,其中必然会存在干扰信号形如y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的波,某种“信号净化器”可产生形如y=A0sin(ω0x+φ0)的波,只需要调整参数(A0,ω0,φ0),就可以产生特定的波(与干扰波的波峰相同,方向相反的波)来“对抗”干扰.现有干扰信号的部分图象,如图,想要通过“信号净化器”消除干扰,应将“信号净化器”的参数分别调整为(　　)
A.A0=,ω0=4,φ0=
B.A0=-,ω0=4,φ0=
C.A0=1,ω0=1,φ0=0
D.A0=-1,ω0=1,φ0=0
题组二　三角函数模型在生活中的应用
4.(2023河南郑州实验高级中学期末)某市夏季某一天的气温变化曲线如图所示,若该曲线近似符合函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π)的图象,则下列说法正确的是　　　　.(填序号)
①该函数的最小正周期是16.
②该函数图象的一条对称轴是直线x=14.
③该函数的解析式是y=10sin+20(0≤x<24).
④这一天气温变化的函数关系式也适用于第二天的气温变化.
5.(2023河北邢台第二中学期末)水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,如图1所示.有一个半径为R的水车的示意图如图2所示,一个水斗从点A(1,-)处出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<,则当t∈[0,m)时,恰有3个t使函数f(t)取得最大值,则m的取值范围是　　　　.
　
题组三　三角函数模型的建立及其应用
6.通常情况下,同一地区一天的气温T(℃)随时间t变化的关系式可近似用T=f(t)=Asin(ωt+φ)+b表示.2021年12月下旬某地区连续几天最高气温都出现在14时,最高气温均为14 ℃;最低气温都出现在凌晨2时,最低气温均为零下2 ℃.
(1)求该地区该时段的气温(℃)函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,t∈[0,24))的解析式;
(2)23日上午9时某高中将举行阶段性考试,如果此时气温低于10 ℃(不考虑室内外的温差),教室内就要开空调,请问届时应该开空调吗
7.一个转轮的示意图如图所示,该转轮的半径为4.8 m,转轮上最低点与地面间的距离为0.8 m,转轮每60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面间的距离为h m.
(1)求h与θ之间的函数解析式;
(2)设从OA开始转动,经过t s到达OB,求h与t之间的函数解析式,并计算经过45 s后点A的对应点距离地面的高度.
答案与分层梯度式解析
§8　三角函数的简单应用
基础过关练
1.C 2.D 4.C 5.B 6.C
1.C　当t=时,s1=5sin=5sin =-5,所以s1=s2.
2.D　函数s=6sin的最小正周期T==1,故单摆完成1次完整摆动所需的时间为1 s.
故选D.
3.答案　y=4sin(答案不唯一)
解析　不妨设y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0).由题知A=4,周期T=π,所以ω==2.当x=0时,y=2,且小球开始向上运动,所以φ=2kπ+,k∈Z,不妨取φ=,故所求关系式可以为y=4sin.
4.C　∵p(t)=102+24sin 160πt,∴p(t)min=102-24=78,p(t)max=102+24=126,即甲某血压的收缩压为126 mmHg,舒张压为78 mmHg.
因此,收缩压高于标准值,舒张压低于标准值.
5.B　由题意得,水车旋转的角速度ω= rad/s,
∵水车的直径为8 m,中心O到水面的距离OH为2 m,如图,
∴∠HOA0=,故t s后水筒A距离水面的高度f(t)=m,
∴f(140)=2-4cos=4(m).故选B.
6.C　当t∈[6,14]时,,则T=25+10sin在[6,14]上单调递增.
设花开、花谢的时间分别为t1时,t2时,对应的气温分别为T1℃,T2℃.
由T1=20,得sin,则,解得t1=≈8.7;
由T2=31,得sin=0.6≈sin ,则,解得t2=11.6.
故在6时~14时中,观花的最佳时段约为8.7时~11.6时.故选C.
7.答案　20;
解析　由A+60=80得A=20.
因为当t=150时油价最低,所以150ωπ++2kπ,k∈Z,即ω=(k∈Z),又ω>0,所以当k=1时,ω取得最小值,此时ω=.
8.答案　13 ℃
解析　由题意得A=×(30+10)=20.
∵周期T=2×(14-6)=16,
∴,
∴y=10sin+20.
将x=6,y=10代入,得10sin+20=10,即sin=-1,
∴+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z.
∵,
∴y=10sin+20,x∈[6,14],
∴当x=8时,y=10sin≈13,
即这一天8时的气温大约为13 ℃.
9.解析　(1)y=rsin(ωt+φ),因此周期T=.
(2)当φ=,r=ω=1时,y=sin,
其图象可由y=sin t的图象向左平移个单位长度得到,如图所示.
10.解析　(1)
如图所示,设t分钟时蚂蚁爬到A点,连接OA,过点A作AB⊥OP0,垂足为B.因为蚂蚁爬行一圈需要4分钟,所以t分钟时蚂蚁所转过的圆心角为∠BOA=t,
在Rt△OBA中,OB=cost(米),
所以h=1.5-cost.
(2)令h=1.5-cost>1,得cos,即,所以,则蚂蚁距离地面超过1米的时长为(分钟).
能力提升练
1.D 2.BC 3.B
1.D　由已知可得ω=,所以噪声的声波曲线的解析式为y=sin=cos x,所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y=-cos x.故选D.
2.BC　由题图可知,运动周期为2×(0.7-0.3)=0.8(s),故A错误;该质点的振幅为5 cm,故B正确;由简谐运动的特点知,质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大,在0.1 s和0.5 s时运动速度为零,故C正确,D错误.故选BC.
3.B　设干扰信号对应的函数解析式为y=Asin(ωx+φ).
由题图得,T(T为干扰信号的周期),解得T==4.
∵函数的最大值为.
将代入y=sin(4x+φ),
得sin=-1,
∴+2kπ,k∈Z,
解得φ=+2kπ,k∈Z,
∵|φ|<.
∴要消除形如y=的波,需要形如y=-的波,
∴A0=-.故选B.
4.答案　①②
解析　该函数的最小正周期T=(14-6)×2=16,故①正确.
由题图可得,当x=14时,函数取得最大值,故该函数图象的一条对称轴是直线x=14,故②正确.
不妨令A>0,则
易得|ω|=,
若ω=,则y=10sin+20,0≤x<24,
将(6,10)代入,得10sin+20=10,因为0<φ<π,所以φ=;若ω=-,则y=10sin+20,0≤x<24,将(6,10)代入,得10sin+20=10,因为0<φ<π,所以φ=,故③错误.
这一天气温变化的函数关系式只适用于当天,不一定适用于第二天的气温变化,故④错误.
5.答案　
解析　由点A(1,-)在圆周上知水车的半径R==2,又旋转一周用时6秒,∴周期T=6,
∵ω>0,∴ω=,
由题知t=0时,f(0)=-,
即f(0)=2sin,又|φ|<,
∴f(t)=2sin,
当t∈[0,m)时,-,
由题可知f(t)在[0,m)内恰有3个最大值,故,解得故m的取值范围为.
6.解析　(1)A=×[14+(-2)]=6,由周期T=24得ω=,
所以f(t)=8sin+6.
又 f(2)=8sin+6=-2,
即sin=-1,故+2kπ,k∈Z.
又|φ|<π,所以φ=-,
所以函数解析式为f(t)=8sin+6,t∈[0,24).
(2)当t=9时,f(t)=f(9)=8sin+6=10,故当天气温低于10 ℃,满足开空调的条件,所以应该开空调.
7.解析　(1)以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则以Ox为始边,OB为终边的角为θ-,
故点B的坐标为4.8cos,
∴h=5.6+4.8sin=5.6-4.8cos θ.
(2)易知点A转动的角速度是 rad/s,
故t s后转过的弧度数为t,
∴h=5.6-4.8cos t,
t∈[0,+∞).当t=45时,h=5.6.
故经过45 s后点A的对应点距离地面的高度为5.6 m.
易错警示　解本题时要注意:在平面直角坐标系中,以Ox为始边,OB为终边的角不是θ,而是θ-.
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