2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--第1课时　基本事实1~3(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第六章　立体几何初步
§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识
3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时　基本事实1~3
基础过关练
题组一　点、直线、平面之间的位置关系的三种语言转换
1.如图所示,下列用符号语言表述正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
2.(2023河北唐山月考)基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.可用符号表示为(　　)
A.A l,B l,且A α,B α l∈α
B.A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α
C.A∈l,B∈l,且A α,B α l α
D.A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l∈α
3.(2023上海市西中学期中)点A∈平面α,点A∈平面β,平面α∩平面β=直线l,则点A　　　　直线l.(用集合符号表示)
4.用文字语言和图形表示下列语句:
(1)A∈α,B α;
(2)l α,m∩α=A,A l;
(3)P∈l,P α,Q∈l,Q∈α.
题组二　基本事实1,2,3的应用
5.(多选题)(2022黑龙江哈尔滨宾县第二中学期末)下列说法正确的是(　　)
A.三点可以确定一个平面
B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.若四点不共面,则任意三点一定不共线
D.两条相交直线可以确定一个平面
6.(2022江西南昌二中段测)下列说法正确的是　(　　)
A.三条直线两两相交,可以确定3个平面
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.两个不重合的平面有不在同一条直线上的三个公共点
7.已知平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有(　　)
A.1条或2条　　　B.2条或3条
C.1条或3条　　　D.1条或2条或3条
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试画出平面AB1D1与平面ACC1A1的交线.
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC,BD交于点O,判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)由点A,O,C可以确定一个平面;
(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.
题组三　点、线共面与线共点问题
10.如图所示,已知一条直线a分别与两条平行直线b,c相交.求证:a,b,c三线共面.
11.如图,已知平面α,β,且α∩β=l.若梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
12.如图所示,△ABC的各顶点都在平面α外,且直线AB,BC,AC分别与平面α交于点P,Q,R,试找出Q点的位置.(保留作图痕迹)
能力提升练
题组一　基本事实1,2,3的应用
1.(2022山西晋中平遥二中期中)在空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与GH能相交于点P,那么　(　　)
A.点P不在直线AC上
B.点P必在直线BD上
C.点P必在平面ABC内
D.点P必在平面ABC外
2.(2021宁夏银川一中期末)一条直线和这条直线外不共线的三点,最多可确定平面的个数为(　　)
A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6
题组二　点、线共面与线共点问题
3.(2021山东师范大学附属中学期末)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是(　　)
A.C1,M,O三点共线　　　
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面　　　
D.D1,D,O,M四点共面
4.(多选题)(2022江苏南京金陵中学期中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱A1B1和A1C1上的点(不包括端点),且BE∩CF=P,则下列结论正确的是(　　)
A.B,C,E,F四点共面
B.P∈平面ABB1A1
C.平面AEF与平面BB1C1不相交
D.P,A1,A三点共线
5.(2023广东广州玉岩中学期中)如图,已知正四棱柱ABCP-A'B'C'P',点Q,R分别在棱A'B',B'C'上.
(1)请在正四棱柱ABCP-A'B'C'P'中,画出经过P,Q,R三点的截面(不用证明);
(2)若Q,R分别为A'B',B'C'的中点,证明:AQ,CR,BB'三线共点.
6.(2021山东邹城期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱CC1,AA1的中点.
(1)画出平面BED1F与平面ABCD的交线,并说明理由;
(2)设H为直线B1D与平面BED1F的交点,求证:B,H,D1三点共线.
答案与分层梯度式解析
第六章　立体几何初步
§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识
3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时　基本事实1~3
基础过关练
1.A 2.B 5.CD 6.C 7.D
1.A　根据点、线、面之间的位置关系的符号表示可得α∩β=m,n α,m∩n=A,故选A.
2.B　因为点可以看作元素,直线与平面可以看作集合,所以点与直线、点与平面之间的从属关系用符号“∈”表示,直线与平面之间的从属关系用符号“ ”表示.故选B.
3.答案　∈
解析　因为点A∈平面α,点A∈平面β,
所以点A∈平面α∩平面β,
又平面α∩平面β=直线l,故点A∈直线l.
4.解析　(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.如图(1)所示.
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.如图(2)所示.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.如图(3)所示.
5.CD　不共线的三点可以确定一个平面,故A错误;一条直线和该直线外一点可以确定一个平面,故B错误;假设存在三点共线,则这三点所在的直线和第四点一定共面,这与四点不共面矛盾,故C正确;易知D正确.
6.C　三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以A错误.
四边形可能是空间四边形,不一定是平面图形,所以B错误.
梯形有一组对边平行,所以一定是平面图形,所以C正确.
如果两个不重合的平面有三个公共点,那么这三点在同一条直线上,所以D错误.
7.D　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD和平面A1B1C1D1都与平面BB1D1D相交,这三个平面有两条交线;平面ABB1A1和平面BB1D1D都与平面BB1C1C相交,这三个平面有一条交线;平面ABB1A1和平面AA1D1D都与平面BB1D1D相交,这三个平面有三条交线.故若平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有1条或2条或3条.故选D.
8.解析　根据基本事实3,只要找到两平面的两个公共点即可.
如图,设A1C1∩B1D1=O1.
∵O1∈A1C1,A1C1 平面ACC1A1,
∴O1∈平面ACC1A1,
又∵O1∈B1D1,B1D1 平面AB1D1,
∴O1∈平面AB1D1,
∴O1是平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点.
而点A显然也是平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点.
连接AO1,根据基本事实3知AO1是平面AB1D1与平面ACC1A1的交线.
9.解析　(1)不正确.因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面.
(2)正确.因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面.又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.
10.证明　因为b∥c,所以b,c确定一个平面,设为α,如图所示.
令a∩b=A,a∩c=B,所以A∈α,B∈α,
所以AB α,即直线a α.
所以a,b,c三线共面.
11.证明　因为梯形ABCD中,AD∥BC,
所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.
所以AB,CD必相交于一点.
设AB∩CD=M.因为AB α,CD β,
所以M∈α,M∈β,所以M∈α∩β.
又α∩β=l,所以M∈l,
即AB,CD,l共点(相交于一点).
12.解析　因为Q∈BC,BC 平面ABC,所以Q∈平面ABC.
又Q∈平面α,所以点Q在平面ABC与平面α的交线上.
因为P∈AB,AB 平面ABC,R∈AC,AC 平面ABC,所以PR 平面ABC,
因为P∈α,R∈α,所以PR 平面α,
所以平面ABC∩平面α=PR,故Q∈PR,
又Q∈BC,所以PR∩BC=Q.
由此作出Q点的位置,如图所示:
能力提升练
1.C 2.B 3.D 4.ABD
1.C　在空间四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,所以E∈平面ABC,F∈平面ABC,则直线EF 平面ABC,
同理,直线GH 平面ADC.
因为EF∩GH=P,即P∈EF,P∈GH,
所以P∈平面ABC,P∈平面ADC,所以P∈平面ABC∩平面ADC,又平面ABC∩平面ADC=AC,所以P∈AC,故A,D不正确,C正确;因为直线AC与BD没有公共点,所以点P不在直线BD上,故B不正确.
2.B　设直线为a,直线a外不共线的三点为A,B,C,
则A,B,C三点确定一个平面;直线a与A确定一个平面;直线a与B确定一个平面;直线a与C确定一个平面,故最多可确定四个平面.故选B.
3.D　连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,因为AC 平面ACC1A1,BD 平面C1BD,所以O∈平面ACC1A1,O∈平面C1BD.因为A1C∩平面C1BD=M,且A1C 平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1,M∈平面C1BD.又易知C1∈平面ACC1A1,C1∈平面C1BD,所以C1,M,O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以A中结论正确,又由推论1可知B,C中结论均正确,易知D中结论不正确.
4.ABD　对于A,因为BE∩CF=P,所以BE,CF共面,故B,C,E,F四点共面,所以A正确;
对于B,因为P∈BE,BE 平面ABB1A1,所以P∈平面ABB1A1,故B正确,
对于C,因为AE与BB1相交,AE 平面AEF,BB1 平面BB1C1,所以平面AEF与平面BB1C1相交,故C不正确;
对于D,因为P∈CF,CF 平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1,
又P∈平面ABB1A1,平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,所以P∈AA1,所以P,A1,A三点共线,故D正确.
5.解析　(1)作直线QR分别交P'A',P'C'的延长线于点M,N,连接PM交AA'于点S,连接PN交CC'于点T,连接SQ,TR,
如图所示,五边形PSQRT即为所求.
(2)证明:在正四棱柱ABCP-A'B'C'P'中,侧面BCC'B'为矩形,所以BC∥B'C'.
又R为B'C'的中点,所以BB'与CR必相交于一点,设该点为O,易知,
同理,BB'与AQ也相交于一点,设该点为O',易知,
所以O,O'重合,所以AQ,CR,BB'三线共点.
6.解析　(1)如图所示,延长D1F交DA的延长线于点P,连接PB,则直线PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.
理由如下:
∵P∈AD,P∈D1F,DA 平面ABCD,D1F 平面BED1F,
∴P∈平面ABCD,P∈平面BED1F,
即P为平面ABCD和平面BED1F的公共点,
又∵B为平面ABCD和平面BED1F的公共点,
∴直线PB为平面BED1F与平面ABCD的交线.
(2)证明:连接BD,B1D1,
∵BB1∥DD1,且BB1=DD1,∴四边形BB1D1D为平行四边形.
∵H为直线B1D与平面BED1F的交点,∴H∈B1D,
又∵B1D 平面BB1D1D,∴H∈平面BB1D1D,
又∵H∈平面BED1F,平面BED1F∩平面BB1D1D=BD1,∴H∈BD1,
∴B,H,D1三点共线.
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