2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--第1课时　余弦定理与正弦定理(含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台
2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第二章　平面向量及其应用
§6　平面向量的应用
6.1　余弦定理与正弦定理
第1课时　余弦定理与正弦定理
基础过关练
题组一　余弦定理
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cos A=,则a=(　　)
A.　　　B.　　　C.2　　　D.3
2.(2022黑龙江哈尔滨期末)已知△ABC的周长为9,且a∶b∶c=3∶2∶4,则cos C的值为　(　　)
A.-　　　B.　　　C.-　　　D.
3.(2022上海格致中学月考)满足条件a=4,b=3,A=45°的△ABC的个数为(　　)
A.1　　　B.2　　　
C.0　　　D.无法判断
4.(多选题)(2021江苏南京师范大学第二附属中学月考)在△ABC中,AB=,则角A的可能取值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
5.(2021江苏扬中第二高级中学期中)已知锐角△ABC的三边长分别为x,,x+1,则实数x的取值范围为(　　)
A.(1,2)　　　B.(2,3)　　　C.　　　D.(2,5)
6.(2023上海新川中学月考)边长分别为10,14,16的三角形中最大角与最小角的和为　　　　.
7.(2021广东深圳高级中学期中)在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足,则A的取值范围是　　　　.
8.(2021江西南昌东湖期中)在△ABC中,已知a=,B=45°,解这个三角形.
题组二　正弦定理
9.(2022广东名校联盟联考)在△ABC中,A=105°,B=45°,AC=2,则AB=(　　)
A.　　　B.2　　　C.　　　D.2
10.(2023甘肃兰州西北中学期末)在△ABC中,a=,b=2,A=45°,则B=(　　)
A.30°或150°　　　B.30°　　　
C.60°　　　D.90°
11.(2023河南郑州外国语学校月考)在△ABC中,已知a=3,A=,b=x,满足此条件的三角形只有一个,则x满足(　　)
A.x=2　　　B.x∈(0,3)　　　
C.x∈{2}∪(0,3)　　　D.x∈{2}∪(0,3]
12.(2022四川雅安中学月考)在△ABC中,A=,b=6,则使△ABC有两组解的a的值可以为(　　)
A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.3
13.(多选题)(2021福建福州期中)下列说法正确的有(　　)
A.在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则△ABC为等腰三角形
C.在△ABC中,“sin A>sin B”是“A>B”的充要条件
D.在△ABC中,若sin A=,则A=
14.(2021江西吉安期中)根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是(　　)
A.a=8,b=16,A=30°,有两解
B.b=18,c=20,B=60°,有一解
C.a=5,c=2,A=90°,无解
D.a=30,b=25,A=150°,有一解
15.(1)在△ABC中,a=2,A=30°,B=45°,解此三角形;
(2)在△ABC中,a=2,b=6,A=30°,解此三角形.
题组三　三角形的面积及形状
16.(2022安徽合肥肥东综合高中月考)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,c=2,A=,sin B=2sin C,则△ABC的面积为(　　)
A.　　　B.2　　　C.2　　　D.4
17.(2023湖北襄阳东风中学月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin Bsin C=sin2A,则△ABC是(　　)
A.等腰且非等边三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
18.(2022河南驻马店环际大联考)已知在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一个内角是30°的直角三角形
19.在△ABC中,若sin A=2sin Ccos B,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形　　　B.钝角三角形
C.等腰三角形　　　D.直角三角形
20.(2023江西五市九校协作体联考)在△ABC中,C=30°,a+b=1,则△ABC的面积S的取值范围是　　　　.
21.(2023湖南长沙雅礼中学月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求角C的余弦值;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
能力提升练
题组一　求角
1.(2022贵州“三新”改革联盟校三联)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则A+B的大小为　(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.(2022辽宁沈阳东北育才学校期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若≥1,则角A的取值范围是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　　)
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角的余弦值是最小内角的余弦值的
D.cos A∶cos B∶cos C=12∶9∶2
4.如图,在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD=BD,BC=2BD,则sin C=　　　　.
5.(2021北京师范大学第三附属中学月考)如图,在△ABC中,D,E是BC的两个三等分点,··,则cos∠ADE的最小值为　　　　.
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(sin A+sin B)(a-b)=c(sin C+sin B).
(1)求角A的大小;
(2)若D为BC边上一点,且AD⊥BC,BC=2AD,求sin B.
题组二　求边
7.(2022湖南衡阳田家炳中学月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,=b,a·b=-2,a=3,b+c=5,则b的值为　(　　)
A.3　　　B.2　　　C.2或3　　　D.1或4
8.(2021江苏响水中学期中)在△ABC中,AC=9,∠BAC=60°,D点满足,AD=
,则BC的长为(　　)
A.3　　　B.3　　　C.3　　　D.6
9.(2022江苏常州联考)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin Bcos A>sin C.
(1)求证:B为钝角;
(2)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个:①cos A=;②sin C=;③a=4;④c=2.试确定这三个条件,并求b的值.
题组三　与面积有关的问题
10.(2021江西抚州部分中学联合体期中)在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=,则= (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.2
11.(2021北京房山二模)在△ABC中,BC=6,A=,sin B=2sin C,则△ABC的面积为(　　)
A.6　　　B.6　　　C.9　　　D.4
12.(2023广西柳州模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D为BC的中点,AD=1,B=,且△ABC的面积为,则c=(　　)
A.　　　B.1　　　C.2　　　D.3
13.(2023广东韶关部分学校开学考试)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=,b3-a2b+ac2-bc2=0.
(1)求角A的大小;
(2)若c=,求BC边上的高.
题组四　最值问题
14.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A为钝角,且c-asin C=0,若∠BAC的平分线交BC于D点,且AD=1,则b+c的最小值为(　　)
A.2　　　B.2　　　C.4　　　D.3
15.在△ABC中,A=60°,a=,则△ABC的面积的最大值为　　　　.
16.在△ABC中,C=60°,BC>2,AC=AB+1,当△ABC的周长最短时,BC的长是　　　　.
17.(2022河南平顶山汝州质检)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin A-bsin B=c(sin C-sin B).
(1)求角A的大小;
(2)若a=,求△ABC周长的最大值.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§6　平面向量的应用
6.1　余弦定理与正弦定理
第1课时　余弦定理与正弦定理
基础过关练
1.D 2.A 3.B 4.AD 5.A 9.C 10.D 11.D
12.C 13.AC 14.D 16.B 17.C 18.C 19.C
1.D　由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=9+4-2×3×2×=9,所以a=3.
2.A　设a=3k,b=2k,c=4k,k>0,则3k+2k+4k=9,
解得k=1,∴a=3,b=2,c=4,
则cos C=.
3.B　由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A,即16=18+c2-6c,解得c=3+或c=3-,经检验均符合题意,所以满足条件的△ABC有两个.
4.AD　由余弦定理,得AC2=BC2+BA2-2BC·BA· cos B,即1=BC2+3-2BC×,
解得BC=1或BC=2.
当BC=1时,BC=AC,所以A=B=;
当BC=2时,AB2+AC2=BC2,此时△ABC是以BC为斜边的直角三角形,所以A=.故选AD.
5.A　因为锐角△ABC的三边长分别为x,,x+1,
所以解得16.答案　
解析　设△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=10,b=14,c=16.由三角形的性质可知,大边对大角,小边对小角,即最大角为角C,最小角为角A.
由余弦定理的推论得cos B=,
因为B∈(0,π),所以B=,则A+C=.
故该三角形中最大角与最小角的和为.
7.答案　
解析　由题意得,
整理得a2=bc,由余弦定理的推论得cos A=,因为,当且仅当b=c时取等号,
所以cos A≥,又A∈(0,π),所以A∈.
8.解析　由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,
则2=3+c2-2××c,即c2-c+1=0,
解得c=或c=.
当c=时,由余弦定理的推论,
得cos A=.
∵0°∴C=180°-(A+B)=180°-(60°+45°)=75°.
当c=时,由余弦定理的推论,
得cos A=.
∵0°∴C=180°-(A+B)=180°-(120°+45°)=15°.
故c=时,A=60°,C=75°;
c=时,A=120°,C=15°.
9.C　在△ABC中,A=105°,B=45°,则C=30°,
由正弦定理得,
即,解得AB=.
10.D　由正弦定理得,,即,解得sin B=1,
因为0°11.D　由正弦定理得,即,则有x=sin B,由A=可知B∈.
∵满足条件的三角形只有一个,即x有唯一的角B与其对应,∴B∈,故x=2sin B∈{2}∪(0,3].
12.C　要使三角形有两组解,则a所以313.AC　设△ABC外接圆的半径为R,则=2R,
可得a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C,
即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C成立,
故A正确;
由sin 2A=sin 2B可得2A=2B或2A+2B=π,
即A=B或A+B=,
则△ABC是等腰三角形或直角三角形,
故B错误;
在△ABC中,结合正弦定理可得,
sin A>sin B a>b A>B,
则“sin A>sin B”是“A>B”的充要条件,
故C正确;
在△ABC中,若sin A=,则A=或A=,
故D错误.
故选AC.
14.D　选项A中,由,
得sin B==1,即B=90°,只有一解;
选项B中,csin B=20sin 60°=10,∴c>b>csin B,故有两解;
选项C中,∵A=90°,a=5,c=2,∴b=,有解;
选项D中,∵a>b,A=150°,∴只有一解.故选D.
15.解析　(1)∵,
∴b==4.
∵C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,
∴c=.
(2)由正弦定理得,
∴sin B=,故B=60°或B=120°.
当B=60°时,C=90°,c=;
当B=120°时,C=30°,c=a=2.
所以B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°,c=2.
16.B　由正弦定理及sin B=2sin C,c=2得,b=2c=4,
所以S△ABC=bcsin A=.
17.C　∵b2+c2=a2+bc,∴cos A=,
又A∈(0,π),∴A=.
∵sin Bsin C=sin2A,∴bc=a2,
∴b2+c2=a2+bc=2bc,∴b=c,∴B=C=,从而a=b=c,故△ABC为等边三角形.
18.C　由已知及正弦定理可得=1,即cos A=sin A,cos B=sin B,
故A=B=,则△ABC是等腰直角三角形.
19.C　因为sin A=2sin Ccos B,,所以a=2ccos B,
又cos B=,
所以a=2c·,
所以b2=c2,所以b=c,
所以△ABC是等腰三角形.故选C.
20.答案　
解析　根据题意及基本不等式可得ab≤,当且仅当a=b=时取等号,
故S=absin C≤,又S>0,故S∈.
21.解析　(1)因为2sin C=3sin A,所以由正弦定理可得2c=3a,
又因为b=a+1,c=a+2,所以a=4,b=5,c=6.
在△ABC中,由余弦定理的推论可得cos C=.
(2)存在.因为c>b>a,
所以△ABC为钝角三角形时,C必为钝角,
所以在△ABC中,由余弦定理的推论可得cos C=<0,
所以解得0又因为三角形的任意两边之和大于第三边,
所以a+b>c,即a+a+1>a+2,解得a>1,
所以1因为a为正整数,所以a=2.
能力提升练
1.C 2.C 3.AD 7.C 8.A 10.A 11.A 12.B
14.C
1.C　由已知得a2+b2-c2=-ab,
所以cos C=,
又0所以C=,
所以A+B=π-.
2.C　由≥1,得b2+c2-a2≥bc,
由余弦定理的推论可得cos A=,
由A为三角形的内角,得A∈(0,π),∴A∈.
3.AD　因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,
所以可设其中x>0,解得
所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6①,所以A正确;
由①可知c最大,所以三角形ABC的内角中角C最大,
又cos C=>0,所以角C为锐角,所以B错误;
由①可知a最小,所以三角形ABC的内角中角A最小,
又cos A=≠2×,所以C错误;
cos B=,
所以cos A∶cos B∶cos C==12∶9∶2,所以D正确.
故选AD.
4.答案　
解析　设BD=2x,x>0,则AB=AD=x,BC=4x,
过点A作AE⊥BD(图略),
则DE=BE=x,AE=x,
所以sin∠ADE=,
所以sin∠BDC=sin∠ADE=,
在△BCD中,利用正弦定理得,
即,解得sin C=.
5.答案　
解析　解法一:∵,
∴)
=,①
同理可得,②
由①②得,
∵,
∴(2)·)·,
∴2,
∴2|·||·cos∠DAE=4,
由余弦定理的推论得,
2|·||·,
∴4,
∴),
即AE2=(5AD2-DE2),
∴cos∠ADE=
=
=
≥2,
当且仅当,即AD=2DE时等号成立.
∴cos∠ADE的最小值为.
解法二:由题意得,,
,
,
又∵,
∴()·)·(),
整理,得7,
即7||cos∠ADE=||2,
∴cos∠ADE=
=,
当且仅当,即||时,等号成立.
∴cos∠ADE的最小值为.
6.解析　(1)在△ABC中,由正弦定理及已知可得,
(a+b)(a-b)=c(c+b),即a2=b2+c2+bc.
所以cos A=,
结合0(2)在△ABC中,S△ABC=AB·ACsin∠BAC=BC·AD,即bc=a·AD.
由BC=2AD,可得AD=,
所以,即a2=3bc.
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos ,
即3bc=b2+c2+bc,
整理得(b-c)2=0,所以b=c,
所以B=C=,所以sin B=sin .
7.C　设∠CAB=θ(0<θ<π).
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos θ,
即9=b2+c2-2bccos θ.
因为=a,=b,a·b=-2,
所以bccos(π-θ)=-2,即bccos θ=2,
所以9=c2+b2-4,
又b+c=5,所以
8.A　因为,
所以,则,
设AB=x,
则37=×x×9×cos 60°+×92,
即2x2+9x-126=0,解得x=6或x=-,
因为x>0,所以x=6,即AB=6,
所以BC=
=.故选A.
9.解析　(1)证明:因为B∈(0,π),所以sin B>0,
由sin Bcos A>sin C,得cos A>.
由正弦定理得,所以cos A>,
所以cos A=,即a2+c2则cos B=<0,
又B∈(0,π),故B为钝角.
(2)(i)若①②同时满足,
由cos A=,A∈(0,π),得A=.
因为B为钝角,所以C为锐角,
故当sin C=时,C=,
则A+C=,故B=,这与B为钝角相矛盾,故①②不能同时满足.
(ii)若满足条件①③④,
由cos A=,
解得b=±2+2,又b>0,所以b=2+2.
(iii)若满足条件②③④,
易知C=,
又a>c,故A>,所以A+C>,
则B<,这与B为钝角相矛盾,故②③④不能同时满足.
综上,满足题意的三个条件是①③④,此时b=2+2.
10.A　∵S△ABC=bcsin A=,∴c=4.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=1+16-4=13,
∴a=.
∵=2R(R为△ABC外接圆的半径),
∴
=
=2R=.故选A.
11.A　设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
则a2=b2+c2-2bccos A,
∴36=b2+c2-bc.①
∵sin B=2sin C,
∴b=2c.②
由①②解得b=4(负值均舍去),
∴△ABC的面积为bcsin A=.故选A.
12.B　在△ABD中,由余弦定理的推论可得cos B=,即a2+4c2-2ac=4,
因为S△ABC=acsin B=,所以ac=2,代入a2+4c2-2ac=4中,得a2-4ac+4c2=0,即(a-2c)2=0,
所以a=2c,所以c=1.
13.解析　(1)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab,
∴b3-a2b+ac2-bc2=b3-a2b+(a-b)c2=b3-a2b+(a-b)·(a2+b2+ab)=a3-a2b=a2(a-b)=0,
∴a=b,∴A=B,
又∵C=.
(2)由(1)知c2=a2+b2+ab,a=b,∴c2=3a2,
又c=,∴3=3a2,∴a=b=1,
设BC边上的高为h,
则absin C=ha,解得h=,即BC边上的高为.
14.C　由c-asin C=0及正弦定理,
得sin C-sin∠BACsin C=0,
因为0°所以-sin∠BAC=0,即sin∠BAC=,
因为∠BAC为钝角,所以∠BAC=120°.
又S△ABC=S△ABD+S△ACD,
所以bc·sin 120°=c·1·sin 60°+b·1·sin 60°,
所以bc=b+c,即=1,
所以b+c=(b+c)·
=2+≥2+2=4,
当且仅当即c=b=2时,等号成立,
所以b+c的最小值为4.故选C.
15.答案　
解析　在△ABC中,A=60°,a=,
由a2=b2+c2-2bccos A得,b2+c2-bc=3,
又b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取等号),
所以2bc-bc=bc≤3,
所以S△ABC=bcsin A≤,
当且仅当b=c=时取等号,
故△ABC的面积的最大值为.
16.答案　2+
解析　设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
则a>2,b=c+1.
由余弦定理的推论可得=cos C=,所以a2+b2-c2=ab,
将b=c+1代入上式,可得a2+2c+1=ac+a,
整理可得c=,
所以△ABC的周长L=a+b+c=a+2c+1=a+1+2×.
设a-2=t(t>0),则a=t+2,
可得L=t+3+2×
=3t++9≥2,
当且仅当3t=,即t=,即a=2+时取等号,所以当△ABC的周长最短时,BC的长是2+.
17.解析　(1)因为asin A-bsin B=c(sin C-sin B),
所以a2-b2=c2-bc,
即b2+c2-a2=bc,
由余弦定理的推论知,cos A=,
因为0(2)由a=和(1)可知b2+c2-bc=3,
则3=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(当且仅当b=c时取等号),
所以12≥(b+c)2,所以b+c≤2,
所以a+b+c≤3(当且仅当b=c=时取等号),
所以△ABC周长的最大值为3.
方法总结　对于三角形周长或面积的最值问题,常利用正、余弦定理构造等量关系,再利用基本不等式求得相应的最值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)