2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--第2课时　基本事实4与等角定理(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第六章　立体几何初步
§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识
3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第2课时　基本事实4与等角定理
基础过关练
题组一　空间两条直线的位置关系的判定
1.(2022安徽合肥六中期中)异面直线是指(　　)
A.不同在任何一个平面内的两条直线
B.平面内的一条直线与平面外的一条直线
C.分别位于两个不同平面内的两条直线
D.空间中两条不相交的直线
2.(2023上海控江中学期中)下列命题中,正确的是(　　)
A.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则必和另一条也相交
B.一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面,则必和另一条也确定一个平面
C.一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点,则当它和其中一条是异面直线时,它和另一条也必是异面直线
D.一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点,则这三条直线平行
　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　
3.(2021江苏苏州中学月考)设直线a,b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b(　　)
A.共面　　　B.相交
C.异面　　　D.异面或相交
4.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列说法正确的是(　　)
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线BN与MB1是异面直线
C.直线AM与BN是平行直线
D.直线AM与DD1是异面直线
5.(多选题)(2022安徽淮南一中月考)下列关于异面直线的说法错误的是(　　)
A.若a α,b β,则a与b是异面直线
B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面
D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面
6.(2022上海长宁期末)下图是一个棱长为2的正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列说法正确的序号是　　　　.
①直线AF与直线CN垂直;
②直线BM与直线CN相交;
③直线ME与直线CN平行;
④直线AB与直线CN异面.
题组二　基本事实4及等角定理的应用
7.(2021山西运城期中)已知空间中两个角α,β的两边分别平行,若α=30°,则β=(　　)
A.30°　　　B.150°
C.30°或150°　　　D.60°或120°
8.(多选题)(2022山东潍坊期中)下列说法中,正确的是(　　)
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
9.已知∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则AC与A1C1的位置关系是(　　)
A.相交　　　B.异面
C.平行　　　D.以上均有可能
10.(2021江苏南京十三中期中)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中不正确的是　(　　)
A.M,N,P,Q四点共面　　　
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ　　　
D.四边形MNPQ为梯形
11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,CC1的中点.求证:EB1 DF.
12.如图,已知在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,M,N分别是棱CD,AD的中点.
求证:(1)四边形MNA1C1是梯形;
(2)∠DNM=∠D1A1C1.
题组三　异面直线的夹角
13.(2021福建宁德期末)在正四面体A-BCD中,E,F,G,H分别是AC,BC,BD,CD的中点,则EF与GH的夹角为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
14.(2022江苏海安实验中学期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AC的夹角为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
15.(2022河南南阳期末)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD所成角的正弦值为(　　)
A.1　　　B.　　　C.　　　D.
16.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1.
(1)正方体ABCD-A'B'C'D'中哪些棱所在直线与直线A'B是异面直线
(2)若M,N分别是A'B,BC'的中点,求异面直线MN与BC的夹角.
能力提升练
题组一　直线位置关系的判定
1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是正方形BB1C1C与DD1C1C的中心,则直线AF与DE的位置关系为(　　)
A.平行　　　B.相交
C.异面　　　D.相交或异面
2.(2021贵州适应性测试)如图,G,H,M,N分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点,则在下列图形中,GH∥MN成立的是(　　)
3.(2022福建福州质检)在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2,E是BC的中点,F是AB的中点,则(　　)
A.AE=CF,AC与EF是共面直线
B.AE≠CF,AC与EF是共面直线
C.AE=CF,AC与EF是异面直线
D.AE≠CF,AC与EF是异面直线
题组二　基本事实4及等角定理的应用
4.(2021广东连平忠信中学段考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD,A1D1的中点.求证:
(1)四边形BB1M1M是平行四边形;
(2)∠BMC=∠B1M1C1.
5.如图,四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面 为什么
题组三　异面直线的夹角
6.(2023河北定州第二中学月考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AA1与底面ABCD垂直,M,N分别在BD,B1D1上,且BD=3BM,B1D1=3D1N,AB=3,AA1=4,则异面直线MN与AD1夹角的余弦值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
7.(多选题)(2022四川攀枝花统考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,A1D1的中点,O为正方形A1B1C1D1的中心,则下列说法错误的是(　　)
A.直线EF,AO是异面直线
B.直线EF,BB1是相交直线
C.直线EF与BC1的夹角为30°
D.直线EF与BB1夹角的余弦值为
8.(2022江苏如皋中学、丹阳高级中学、泗阳致远中学联考)如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=2,AC与BD的夹角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为　　　　.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为A1B1,BB1的中点.
(1)求直线AP与CQ夹角的余弦值;
(2)求直线AP与BD夹角的余弦值;
(3)连接BC1,A1D,证明BC1与A1D垂直.
题组四　空间四边形
10.(2023青海海南藏族自治州中学月考)如图所示,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,若BD=2,AC=4,则四边形EFGH的周长为　　　　.
11.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且有AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.
(1)证明:E,F,G,H四点共面;
(2)当m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形
12.如图,空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的夹角为θ,AC=a,BD=b,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,当θ为何值时,四边形EFGH的面积最大 最大值是多少
答案与分层梯度式解析
第六章　立体几何初步
§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识
3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第2课时　基本事实4与等角定理
基础过关练
1.A 2.C 3.D 4.BD 5.ABC 7.C 8.BD 9.D
10.D 13.C 14.A 15.B
1.A　
2.C　一条直线和两条平行直线中的一条相交,则和另一条相交或异面,故A错误;
设空间中的三条直线分别为a,b,l,其中a∥b,若l与a确定一个平面,则l与a平行或相交,当l与a相交时,l与b相交或异面,故l与b不一定确定一个平面,故B错误;
一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点,当它和其中一条是异面直线时,若它和另一条不是异面直线,则它和另一条平行,从而由平行线的传递性知,三条直线互相平行,与题设矛盾,故C正确;
一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点,则这三条直线平行或这条直线与两平行直线都异面,故D错误.
3.D　如图,长方体ABCD-A'B'C'D'中,
当A'B所在直线为a,BC'所在直线为b时,a与b相交;
当A'B所在直线为a,B'C所在直线为b时,a与b异面.故选D.
4.BD　∵A,M,C,C1四点不共面,∴直线AM与CC1是异面直线,故A中说法错误;
直线BN与MB1不同在任何一个平面内,是异面直线,故B中说法正确;
直线AM与BN不同在任何一个平面内,是异面直线,故C中说法错误;
直线AM与DD1不同在任何一个平面内,是异面直线,故D中说法正确.
5.ABC　对于A,如图①,此时a与b相交,A中说法错误;对于B,如图②,此时a与c平行,B中说法错误;对于C,如图①,此时a与b相交,C中说法错误;对于D,根据异面直线的定义知,D中说法正确.
6.答案　①④
解析　把展开图还原为正方体,如图所示,
连接BE,易知CN∥BE,AF⊥BE,故AF⊥CN,①正确;
若直线BM与直线CN相交,则B,M,C,N四点共面,即点B在平面CMN内,不成立,②错误;
CN∥BE,BE与ME相交,故直线ME与直线CN不平行,③错误;
若AB与CN共面,则A,B,C,N四点共面,N在平面ABC内,不成立,故直线AB与直线CN异面,④正确.
故答案为①④.
7.C　
8.BD　由等角定理可知,A错误,B正确;
由基本事实4可知,D正确;对于C,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,这两个角的关系不确定,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B,C1D1⊥C1B,但∠A1D1C1=,∠A1BC1=.故选BD.
9.D　如图所示,∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则AC与A1C1可能平行、相交或异面.故选D.
10.D　由三角形中位线定理易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,由基本事实4易得MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A中说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B中说法正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C中说法正确;易得MQNP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D中说法不正确.故选D.
11.证明　如图,取DD1的中点G,连接EG,GC1.
易知EGA1D1,B1C1A1D1,∴EGB1C1,
∴四边形EB1C1G是平行四边形,
∴EB1GC1 .
∵GDC1F,∴四边形GDFC1是平行四边形,
∴DFGC1 ,∴EB1DF.
12.证明　(1)如图,连接AC,在△ACD中,
∵M,N分别是CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线,
∴MN∥AC,MN=AC.
由正方体的性质得AC∥A1C1,AC=A1C1,
∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,∴MN≠A1C1,
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又ND∥A1D1,
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
13.C　因为E,F,G,H分别是AC,BC,BD,CD的中点,所以AB∥EF,BC∥GH,因此EF与GH的夹角为AB与BC的夹角.
因为在正四面体A-BCD中,∠ABC=,所以EF与GH的夹角为.故选C.
14.A　连接A1C1,BA1,BC1,易得P为A1C1的中点,
由A1A∥CC1且A1A=CC1,得四边形A1ACC1为平行四边形,所以A1C1∥CA,所以∠BPA1(或其补角)即为异面直线PB与AC的夹角,显然A1C1=BA1=BC1,即△A1BC1为等边三角形,所以BP⊥PA1,即∠BPA1=,故直线PB与AC的夹角为.
15.B　连接B1C,取B1C的中点E,连接DE,BE,
∵D是AC的中点,∴DE是△ACB1的中位线,∴AB1∥DE,
∴∠EDB(或其补角)为异面直线AB1与BD所成的角.
设AB=m(m>0),则BD=m,由勾股定理得AB1=B1C=m,
∴△BDE为等边三角形,∴∠EDB=,
∴sin∠EDB=.
16.解析　(1)由异面直线的定义结合题图可知,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱AD,B'C',CD,CC',DD',C'D'所在直线与直线A'B是异面直线.
(2)连接A'C'.因为M,N分别是A'B,BC'的中点,
所以MN∥A'C'.
又因为B'C'∥BC,
所以∠A'C'B'(或其补角)为异面直线MN与BC的夹角,
易知∠A'C'B'=,
故异面直线MN与BC的夹角为.
能力提升练
1.C 2.D 3.A 6.B 7.ABD
1.C　如图,连接BD,BC1,C1D,则E,F分别为BC1,C1D的中点,
由图可知DE 平面BC1D.
易知点A不在平面BC1D内,故AF 平面BC1D,又AF∩平面BC1D=F,F DE,因此,直线AF与DE异面.故选C.
2.D　由异面直线的定义可得A,B,C中的两直线GH,MN为异面直线;
对于D,连接NH,由N,H分别为所在棱的中点结合棱柱的性质,可得NH∥MG,且NH=MG,则四边形MGHN为平行四边形,故GH∥MN.故选D.
3.A　由题意知,圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形,因为E是BC的中点,F是AB的中点,所以AC∥EF,所以AC与EF是共面直线,易知AE=CF=.
4.证明　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,ADA1D1.
∵M,M1分别是棱AD,A1D1的中点,∴AMA1M1,
∴四边形AMM1A1是平行四边形,
∴MM1AA1,
又AA1BB1,∴MM1BB1,
∴四边形BB1M1M是平行四边形.
(2)证法一:由(1)知四边形BB1M1M是平行四边形,∴B1M1∥BM,
同理可得四边形CC1M1M是平行四边形,
∴C1M1∥CM,
∵∠BMC和∠B1M1C1的两条边分别平行,并且方向相同,
∴∠BMC=∠B1M1C1.
证法二:由(1)知四边形BB1M1M是平行四边形,
∴B1M1=BM,
同理可得四边形CC1M1M是平行四边形,
∴C1M1=CM,
又∵B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1(SSS),
∴∠BMC=∠B1M1C1.
方法归纳　证明两个角相等的常用方法:(1)三角形相似;(2)三角形全等;(3)等角定理.
5.解析　(1)证明:因为G,H分别为FA,FD的中点,
所以GH∥AD,GH=AD.
又BC∥AD,BC=AD,所以GH∥BC,GH=BC,
所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)C,D,F,E四点共面.理由如下:
连接CE,由BE∥FA,BE=FA,G为FA的中点,知BE∥FG,BE=FG,
所以四边形BEFG为平行四边形,
所以EF∥BG,EF=BG.
由(1)知BG∥CH,BG=CH,所以EF∥CH,EF=CH,
所以四边形EFHC是平行四边形,
所以CE与HF共面.
又D∈直线FH,所以C,D,F,E四点共面.
6.B　取DM的中点K,连接D1K,AK,
易知D1N=KM=DB,D1N∥KM,所以四边形D1NMK为平行四边形,
所以D1K∥MN,所以异面直线MN与AD1的夹角为∠AD1K或其补角.
因为底面ABCD是菱形,所以AB=AD,又∠BAD=60°,所以△ABD为等边三角形.
所以AD=DB=AB=3,所以DK=1,
在△ADK中,利用余弦定理得AK=,
又AD1=,
所以在△AD1K中,利用余弦定理的推论得
cos∠AD1K=,
所以异面直线MN与AD1夹角的余弦值为.
故选B.
7.ABD　连接OF,∵O为正方形A1B1C1D1的中心,F是A1D1的中点,∴OF∥A1B1∥AB,∴OF,AE共面,从而EF,AO共面,A中说法错误.
连接B1E,∵F 平面BEB1,BB1 平面BEB1,E BB1,E∈平面BEB1,
∴EF,BB1是异面直线,B中说法错误.
连接OB,易得FO∥EB,且FO=EB,∴四边形EFOB是平行四边形,
∴EF∥OB,
∴∠OBC1(或其补角)是异面直线EF与BC1的夹角.
连接OC1,设正方体的棱长为1,在△BC1O中,BC1=,
∴cos∠OBC1=,
∴∠OBC1=30°,C中说法正确.
同上得∠OBB1是EF与BB1的夹角,
连接OB1,在Rt△OBB1中,易得cos∠OBB1=,D中说法错误.故选ABD.
8.答案　1或
解析　取BC的中点E,连接EM,EN,
∵M,E分别为AB,BC的中点,
∴ME∥AC且ME=AC=1,
同理可得EN∥BD且EN=BD=1,
∴∠MEN(或其补角)为异面直线AC与BD的夹角,
则∠MEN=60°或∠MEN=120°.
在△MEN中,EM=EN=1.
若∠MEN=60°,则△MEN为等边三角形,此时MN=1;
若∠MEN=120°,由余弦定理可得MN=.
综上所述,MN的长为1或.
9.解析　(1)取AB的中点F,FB的中点E,连接B1F,QE,CE,如图,
易知AF∥PB1,AF=PB1,
所以四边形APB1F为平行四边形,所以AP∥B1F.
因为E为FB的中点,Q为BB1的中点,所以EQ∥B1F,所以AP∥EQ,所以∠EQC(或其补角)是直线AP与CQ的夹角.
设正方体的棱长为1,则BE=,所以EQ=,
所以cos∠EQC=,
即直线AP与CQ夹角的余弦值为.
(2)取A1D1的中点M,连接AM,PM,B1D1,如图,
因为BB1与DD1平行且相等,所以四边形BB1D1D为平行四边形,所以BD∥B1D1,
因为M为A1D1的中点,P为A1B1的中点,
所以PM∥B1D1,所以PM∥BD,
所以∠APM(或其补角)是直线AP与BD的夹角.
设正方体的棱长为1,
则A1P=,所以AP=,
所以cos∠APM=,
即直线AP与BD夹角的余弦值为.
(3)证明:连接AD1,如图,
因为AB与D1C1平行且相等,所以四边形AD1C1B为平行四边形,所以BC1∥AD1.
又因为AD1⊥A1D,所以BC1⊥A1D.
10.答案　6
解析　因为E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,
所以根据三角形中位线定理,可得EF∥AC,HG∥AC,EH∥BD,FG∥BD,且EF=AC=2,
EH=BD=1,
所以四边形EFGH的周长为2EH+2HG=6.
11.解析　(1)证明:连接BD,∵AE∶EB=AH∶HD,
∴EH∥BD.
∵CF∶FB=CG∶GD,
∴FG∥BD,∴EH∥FG,
∴E,F,G,H四点共面.
(2)当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.
理由如下:由四边形EFGH为平行四边形,结合(1)可知,只需满足EH=FG即可.
∵BD.
同理,FG=BD,
由EH=FG得m=n.
故当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.
12.解析　∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴EF∥AC∥GH,且EF=GH=a,EH∥BD∥FG,且EH=FG=b,
∴四边形EFGH为平行四边形.
∵AC,BD的夹角为θ,
∴∠EFG=θ或∠EFG=π-θ,∴sin∠EFG=sin θ,
∴四边形EFGH的面积S=EF·FG·sin θ=a··bsin θ=absin θ,
∴当θ=时,四边形EFGH的面积最大,最大值是ab.
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