2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--第2课时　用余弦定理、正弦定理解三角形(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第二章　平面向量及其应用
§6　平面向量的应用
6.1　余弦定理与正弦定理
第2课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
基础过关练
题组一　用余弦定理、正弦定理解三角形
1.(2023四川内江模考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且B=,bcsin A=8sin B,a=4,则b=(　　)
A.4　　　B.2　　　C.2　　　D.2
2.在△ABC中,∠B=45°,D是BC边上一点,如图,∠BAD=75°,DC=1,AC=,则AB=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　　B.　　　C.2　　　D.3
3.(2023陕西省联盟学校联考)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则b的值为　　　　.
4.(2023云南昆明第一中学月考)在平面四边形ABCD中,∠ABD=,对角线AC与BD交于点E,且AE=2EC,DE=EB.
(1)求BD的长;
(2)求cos∠ADC的值.
.
5.(2022福建厦门松柏中学月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a2-b2-c2+bc=0,2bsin A=a,BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小;
(2)求△ABC的面积.
6.(2021江西新余期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2bsin Ccos A+asin A=2csin B.
(1)证明:△ABC为等腰三角形;
(2)若D为BC边上的点,BD=2DC,且∠ADB=2∠ACD,a=3,求b的长.
题组二　解三角形的实际应用
7.(2021四川乐山十校期中)一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向上,之后该船继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°方向上,且与它相距8海里,则此船的航速是(　　)
A.24海里/小时　　　B.30海里/小时
C.32海里/小时　　　D.40海里/小时
8.(2021陕西咸阳实验中学月考)如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是β,α(α<β),则A点离地面的高度AB等于(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
9.(2022四川绵阳科学城一中月考)如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD上、下两端的视角为(　　)
A.30°　　　B.45°　　　
C.60°　　　D.75°
10.(2022福建龙岩联考)两座灯塔A和B到观察站C的距离分别为5 km,8 km,灯塔A在观察站C的北偏东70°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东50°方向上,则灯塔A与B间的距离为　　　　km.
11.(2021河南豫西名校联考)如图,一热气球在海拔60 m的高度沿垂直于河岸的方向飞行,即将从河流两岸B,C处的正上方飞过,在空中A处测得B,C处的俯角分别为75°,30°,则河流的宽度BC等于　　　　m.参考数据:sin 75°=
12.(2023河北衡水中学调研)据气象部门报道某台风将影响我国东南沿海一带,经测定,台风中心位于某市南偏东60°方向,距离该市400千米的位置,台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动,距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响,则该市从受到台风影响到影响结束,持续的时间为　　　　小时.
13.(2023山东济宁期末)如图所示,A,B,C为山脚两侧共线的三点,现计划沿直线AC开通穿山隧道,在山顶P处测得A,B,C三点的俯角分别为α=60°,β=45°,γ=30°,在地面上测得AD=5千米,BE=1千米,BC=10(3-)千米.求隧道DE的长度.
能力提升练
题组一　用余弦定理、正弦定理解三角形
1.(2022陕西二模)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=60°,a=3,S△ABC=,则AB边上的中线长为(　　)
A.49　　　B.7　　　C.　　　D.
2.(2021四川成都第十二中学考前模拟)如图,△ABC中,∠ACB的平分线CD交边AB于点D,∠BAC=,则BC=(　　)
A.3　　　B.4　　　C.4　　　D.6
3.(2021福建泉州第五中学期中)△ABC中,cos A=-,AB=6,D,E在BC上,且满足BD=2DC,∠BAE=∠EAC,AD=,则AC=　　　　,AE=　　　　.
4.(2023广东揭阳普宁国贤学校开学考试)记△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acos=bsin(A+C)+(c-b)sin(π-C).
(1)求A;
(2)若AD平分∠BAC且AD=,求b+c的最小值.
5.(2022浙江衢温“51”联盟期中)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin B=bcos A.
(1)求角A的大小;
(2)若D是BC边上靠近B的三等分点,且AD=,c=2,求△ABC的面积.
题组二　解三角形的实际应用
6.如图,有四座城市A,B,C,D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机与城市B间的距离为(　　)
A.120 km　　　B.60 km　　　
C.60 km　　　D.60 km
7.(2021湖北鄂州期末)鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交会处,至今已有四百六十多年的历史.该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点A、B、C处分别测塔顶的仰角为30°、45°、60°,且AB=BC= m,则文星塔高为(　　)
A.20 m　　　B. m　　　
C. m　　　D.30 m
8.如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在山脚一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从C点行驶到B点历时14 s,则这辆汽车的速度为　　　　m/s.(精确到0.1 m/s,参考数据:≈1.414,≈2.236)
9.如图所示,为了测量A,B两岛屿间的距离,小海在D处进行观测,A,B分别在D处的北偏西15°方向和北偏东45°方向上,再往正东方向行驶20海里至C处,此时观测到B在C处的正北方向上,A在C处的北偏西45°方向上,则A,B两岛屿间的距离为　　　　海里.
10.(2022湖北随州一中月考)某市一棚户区改造用地平面示意图如图所示.该区域是半径为R的圆形,圆的内接四边形ABCD内是原棚户区建筑用地,测量可知AB=AD=4 km,BC=6 km,CD=2 km.
(1)求原棚户区建筑用地ABCD的对角线AC的长度;
(2)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积.
11.湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行,某一时刻,甲船在最前面的A处,乙船在中间B处,丙船在最后面的C处,且BC∶AB=3∶1.一架无人机在空中的P处对它们进行数据测量,在同一时刻测得∠APB=30°,∠BPC=90°.(船只与无人机的大小及其他因素忽略不计)
(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比;
(2)若此时甲、乙两船相距100米,求无人机到丙船的距离.(精确到1米,参考数据:≈4.359)
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§6　平面向量的应用
6.1　余弦定理与正弦定理
第2课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
基础过关练
1.B 2.B 7.C 8.A 9.B
1.B　由正弦定理及已知得bca=8b,∴ca=8,
又a=4,∴c=2,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=16+4-2×4×2×.
2.B　∠ADC=∠B+∠BAD=45°+75°=120°,故∠ADB=60°.
在△ACD中,根据余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos 120°,即7=AD2+1-2AD×1×,
所以AD2+AD-6=0,所以AD=2,
在△ABD中,根据正弦定理得,
则AB=.
3.答案　
解析　由余弦定理的推论和正弦定理得,
,即a2+c2-b2+a2+b2-c2=a2b,故2a2=a2b,故b=.
4.解析　(1)在△ABD中,由正弦定理得,即,解得sin∠ADB=1,
又因为0<∠ADB<π,所以∠ADB=,
所以BD==2.
(2)在△ADE中,DE=BD=1,∠ADE=,
所以AE=,cos∠DAE=,
在△ACD中,AC=,cos∠DAC=cos∠DAE=,
由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠DAC=,所以CD=,
所以cos∠ADC=.
5.解析　(1)由a2-b2-c2+bc=0,得b2+c2-a2=bc,
所以cos∠BAC=,
又因为∠BAC∈(0,π),所以∠BAC=.
因为2bsin∠BAC=a,所以2sin Bsin∠BAC=sin∠BAC,
因为sin∠BAC≠0,所以sin B=,
因为B∈,所以B=.
(2)由(1)可得C=,所以sin C=,cos C=-.
设AC=BC=x,则CM=,在△ACM中,由余弦定理得AM2=x2+-2x·=7,
所以x=2(负值舍去),
所以S△ABC=AC·BC·sin C=.
6.解析　(1)证明:∵2bsin Ccos A+asin A=2csin B,
∴2bccos A+a2=2cb,
∴2bc·+a2=2bc,
化简得b2+c2=2bc,∴(b-c)2=0,即b=c,
故△ABC为等腰三角形.
(2)如图,
由已知得BD=2,DC=1,
∵∠ADB=2∠ACD=∠ACD+∠DAC,
∴∠ACD=∠DAC,∴AD=CD=1,
又∵cos∠ADB=-cos∠ADC,
∴,
即,
可得2b2+c2=9,由(1)可知b=c,∴b=.
7.C　设航速为x海里/小时,则AB=x海里,由题意得∠BAS=30°,
∠BSA=75°-30°=45°,BS=8海里,
由正弦定理得,解得x=32,
即此船的航速为32海里/小时.
8.A　在△ADC中,由正弦定理得,
则AC=,
在△ABC中,AB=ACsin β=.
故选A.
9.B　依题意可得AD=20 m,AC=30 m,CD=50 m,
所以cos∠CAD=
=,
又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°.
10.答案　7
解析　如图,AC=5 km,BC=8 km,∠ACB=180°-70°-50°=60°,
在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 60°=25+64-2×5×8×=49,所以AB=7 km.
11.答案　120(-1)
解析　在△ABC中,∠ACB=30°,所以AC=120 m.
又∠BAC=75°-30°=45°,所以∠ABC=105°,
所以由正弦定理得BC=-1)(m).
即河流的宽BC等于120(-1)m.
12.答案　
解析　如图,A点为该市的位置,B点是台风中心向正北方向移动前的位置,台风移动t小时后的位置为C.
则BC=40t千米.
由题可知∠ABC=60°,AB=400千米,
在△ABC中,AC=
=
=(千米),
由AC≤350千米可得,1 600t2-16 000t+160 000≤3502,
整理可得,16t2-160t+375≤0,解得≤t≤,
又,所以该市从受到台风影响到影响结束,持续的时间为小时.
13.解析　∵在山顶P处测得A,B,C三点的俯角分别为α=60°,β=45°,γ=30°,
∴∠C=30°,∠BPC=15°,∠PBC=135°,∠PAC=60°,∠APC=90°.
在△PBC中,由正弦定理可得,
即,解得PC=20千米.
在Rt△PAC中,sin∠PAC=,得AC=,即AC==40(千米),
所以DE=AC-AD-BE-BC=40-5-1-10(3-)千米.
所以隧道DE的长度为(4+10)千米.
能力提升练
1.D 2.D 6.D 7.B
1.D　因为S△ABC=absin C=,所以b=5,
根据余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=19,
故c=,
记AB的中点为M,则),
故|
=,
即AB边上的中线长为.
2.D　在△ACD中,根据正弦定理得sin∠ADC=,
又因为∠ADC为锐角,
所以∠ADC=,所以∠ACD=π-,
所以∠ACB=,则∠ABC==∠ACB,
所以AB=AC=2,
在△ABC中,由余弦定理得BC2=(2=36,所以BC=6.故选D.
3.答案　9;
解析　设DC=x,AC=y,则BD=2x,
则cos∠BAC=,
∴9x2=y2+3y+36,即x2=y+4.
cos∠ABD=,
即,化简得3x2-y2=-33,
即3-y2=-33,化简得2y2-3y-135=0,解得y=9或y=-(舍去),即AC=9.
∴x2=×9+4=16,∴x=4,即CD=4,
∴BD=2x=8.
在△ABE中,由正弦定理得,即BE=,
在△ACE中,由正弦定理得,即CE=,
又∵∠BAE=∠EAC,∠AEB+∠AEC=π,
∴sin∠BAE=sin∠EAC,sin∠AEB=sin∠AEC,
∴,又∵BE+CE=BC=12,∴BE=.
又cos∠ABC=,
∴,
解得AE=(负值舍去).
4.解析　(1)由题意得asin A=bsin B+(c-b)sin C,
由正弦定理得a2=b2+(c-b)c=b2+c2-bc.
由余弦定理的推论得cos A=.
又A∈(0,π),所以A=.
(2)由(1)知A=,因为AD平分∠BAC,
所以∠BAD=∠CAD=,
又S△ABD+S△ACD=S△ABC,
所以·c·AD·sin∠BAD+b·AD·sin∠CAD=bcsin∠BAC,
即,
所以b+c=bc.
又bc≤,当且仅当即b=c=2时取等号,
所以b+c≤,即(b+c)2≥4(b+c),所以b+c≥4,
所以b+c的最小值为4.
5.解析　(1)因为asin B=bcos A,
所以sin Asin B=sin Bcos A,又因为sin B≠0,
所以sin A=cos A,故tan A=,
又0(2)解法一:依题意可得,,
两边平方得,
即bccos ,
又c=2,所以b2+4b-5=0,
解得b=1或b=-5(舍去),
故△ABC的面积S=bcsin A=.
解法二:因为∠ADB+∠ADC=π,
所以cos∠ADB+cos∠ADC=0,
所以=0,
又CD=2BD,所以6BD2-1-b2=0,
即6-1-b2=0,整理得2a2-3b2-3=0,
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+4-2b,
所以b2+4b-5=0,解得b=1或b=-5(舍去),
故△ABC的面积S=bcsin A=.
6.D　取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF的长即为所求.
因为E为AB的中点,且AB=120 km,
所以AE=60 km.
又∠DAE=90°-30°=60°,AD=60 km,
所以三角形DAE为等边三角形,
所以DE=60 km,∠ADE=60°.
在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,
所以∠EDB=∠EBD=30°,
所以∠ADB=90°,所以BD=60 km.
因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,
所以∠CBD=90°,
所以CD==240(km),
所以cos∠BDC=,
因为DF=360×=90(km),
所以在三角形BDF中,
BF=
=(km),即此时飞机与城市B间的距离为60 km.
7.B　如图所示:
设文星塔PO的高为h m,
则PA==2h m,PB=h m,PC=h m,
在△PAB中,由余弦定理的推论可得cos∠PBA=,
在△PBC中,由余弦定理的推论得cos∠PBC=.
∵∠PBA+∠PBC=π,
∴cos∠PBA+cos∠PBC=cos∠PBA+cos(π-∠PBA)=0,
即=0,可得h=(m).故选B.
8.答案　22.6
解析　由题意得AB==200 m,AC= m,
在△ABC中,由余弦定理可得
BC=
≈316.2(m),
则这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s).
9.答案　20
解析　在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,
∠ACD=45°,∴∠CAD=30°,
由正弦定理得,
故AD=(海里).
在△BCD中,∠BDC=45°,∠BCD=90°,
∴△BCD是等腰直角三角形,∴BD=20海里.
在△ABD中,AD=BD=20,∠ADB=15°+45°=60°,则△ABD是等边三角形,
∴AB=20海里,即A,B两岛屿间的距离为20海里.
10.信息提取　①圆的内接四边形ABCD内是原棚户区建筑用地;②AB=AD=4 km,BC=6 km,CD=2 km;③求AC的长及四边形ABCD的面积.
数学建模　本题以生活中的棚户区改造为背景构建数学模型,利用正、余弦定理及三角形的面积公式解决问题.对于(1),可在三角形ABC和三角形ADC中直接应用余弦定理求AC的长;对于(2),可求出△ABC和△ADC的面积,再相加即得所求.
解析　(1)由题意得∠ABC+∠ADC=180°,
∴cos∠ABC+cos∠ADC=0,
由余弦定理,得AC2=42+62-2×4×6×cos∠ABC=42+22-2×4×2×cos∠ADC,
∴cos∠ABC=.
∵0°<∠ABC<180°,∴∠ABC=60°,
∴AC2=28,∴AC=2 km.
故原棚户区建筑用地ABCD的对角线AC的长度为2 km.
(2)由(1)知∠ABC=60°,∠ADC=120°
故S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=×4×6×sin 60°+×2×4×sin 120°=8(km2).
即原棚户区建筑用地ABCD的面积为8 km2.
11.解析　(1)在△APB中,由正弦定理得,
,
在△BPC中,由正弦定理得,
,
又BC=3AB,sin∠ABP=sin∠CBP,
所以,
即此时无人机到甲、丙两船的距离之比为2∶3.
(2)由BC∶AB=3∶1,AB=100米,得AC=400米,设AP=2x米,则CP=3x米,
在△APC中,∠APC=∠APB+∠BPC=120°,由余弦定理得160 000=(2x)2+(3x)2-2·(2x)·(3x)·cos 120°,
所以x=,
故无人机到丙船的距离CP=3x=≈275(米).
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