2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--第二章　平面向量及其应用(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第二章　平面向量及其应用
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图,在四边形ABCD中,向量=a,=b,=c,则向量可以表示为(　　)
A.a+b-c　　　　B.a-b+c
C.b-a+c　　　　D.b-a-c
2.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=4,cos C=,则△ABC的周长为(　　)
A.9　　　　B.10　　　　C.12　　　　D.14
3.已知等腰梯形ABCD中,,E,F分别为AD,BC的中点,G为EF的中点,若记=a,=b,则=(　　)
A.a+b　　　　B.a+b C.a+b　　　　D.a+b
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin A∶sin B=3∶5,c=2b-a,则cos B=(　　)
A.
5.已知向量a,b不共线,且c=xa+b,d=a+(2x-1)b,若c与d共线,则实数x的值为(　　)
A.1　　　　B.-　　　　C.1或-　　　　D.-1或-
6.如图所示,在△ABC中,O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若(m,n>0),则的最小值为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.　　　　D.56
7.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点,此时测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为(　　)
A.500 m　　　　B.200 m　　　　C.1 000 m　　　　D.1 000 m
8.在△ABC中,AB=5,AC=4,(0<λ<1),且·=16,则·的最小值等于(　　)
A.-
C.-　　　　D.-21
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知点A(4,6),B,则下列向量中与平行的向量是(　　)
A.a=　　　　B.b=
C.c=　　　　D.d=(-7,9)
10.在△ABC中,=c,=a,=b,在下列命题中,是真命题的有　(　　)
A.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形
B.若a·b=0,则△ABC为直角三角形
C.若a·b=c·b,则△ABC为等腰三角形
D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则△ABC为直角三角形
11.如图所示,已知正八边形ABCDEFGH,其中OA=1,则下列结论正确的是(　　)
A.·
C.在方向上的投影数量为-
12.一物体同时受到3个力的作用,其中重力G的大小为2 N,水平拉力F1的大小为1 N,力F2的大小及方向均未知,则(　　)
A.当该物体处于平衡状态时,|F2|= N
B.当该物体所受合力为F1时,|F2|= N
C.当|F2|=1 N时,(-1)N≤|F1+F2+G|≤(+2)N
D.当|F2|=1 N时,必存在实数λ,使得G=F2+λF1
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知平面向量a=(2,3),b=(x,4),若a⊥(a-b),则x=　　　　.
14.在△ABC中,AB=AC,tan C=,H为△ABC的垂心,且满足,则m+n=　　　　.
15.在锐角△ABC中,D是线段BC的中点,若AD=2,BD=,∠BAD=30°,则角B=　　　　,AC=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,,则△ABC的面积的最大值为　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)若=2a+b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值;
(2)当k为何值时,ka-b与a+2b共线
18.(本小题满分12分)已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=.
(1)求向量a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|.
19.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,已知∠B=30°,D是BC边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3.
(1)求△ADC的面积;
(2)求边AB的长.
20.(本小题满分12分)在①bcosccos B;②2S△ABC=·这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
问题:在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且　　　　.
(1)求角B;
(2)在△ABC中,b=2,求△ABC周长的最大值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
21.(本小题满分12分)如图,位于海岸边A点处的观测站发现在南偏西30°方向上,距离A点20千米的C处有一艘走私船,于是立刻通知停在A点的正东方向上,且距离A点10(-1)千米的B处的缉私艇前往追截,缉私艇立刻奉命以10千米/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10千米/小时的速度从C处沿南偏东15°方向逃窜.
(1)刚发现走私船时,走私船距离缉私艇多远 在缉私艇的什么方向
(2)缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船
22.(本小题满分12分)如图所示,点E是△ABC的重心,过点E的直线与边AB,AC分别交于P,Q两点,设=μ ,λ,μ>0.
(1)求的值;
(2)设△ABC的面积为S1,△APQ的面积为S2,求的最大值.
答案全解全析
第二章　平面向量及其应用
1.C 2.B 3.B 4.A 5.C 6.C
7.D 8.C 9.ABC 10.BCD 11.BC 12.AD
1.C　=b-a+c,故选C.
2.B　在△ABC中,由余弦定理的推论得cos C=,
又a=2,b=4,cos C=,
∴c2=16,解得c=4(负值舍去).∴△ABC的周长为2+4+4=10.
3.B　由题意得,=a,=b,∴b+a.故选B.
4.A　∵sin A∶sin B=3∶5,
∴由正弦定理可得,可得a=b,
∴cos B=.故选A.
5.C　因为c与d共线,所以存在k∈R,使得d=kc,即a+(2x-1)b=kxa+kb,
因为向量a,b不共线,所以整理可得x(2x-1)=1,即2x2-x-1=0,解得x=-或x=1.故选C.
6.C　由题意得,,
∵M,O,N三点共线,∴=1,
∴≥≥,当且仅当,即n=2m=时,等号成立.故选C.
7.D　由题图可知,∠BSA=360°-75°-150°=135°,∠SAB=45°-30°=15°,AS=1 000 m,∴∠ABS=180°-135°-15°=30°,
在△ABS中,,
∴AB==1 000(m),
∴BC=AB·sin∠BAC=1 000·sin 45°=1 000(m).
8.C　由(0<λ<1),且·=16,
可得点D在边BC上,且||·||·cos∠DAC=16,
所以||cos∠DAC=4=||,所以∠BCA=90°,即BC⊥AC,
所以△ABC是以C为直角的直角三角形,所以BC=3.
如图,以D为坐标原点,建立平面直角坐标系,设A(x,4)(0则B(x-3,0),=(x-3,0),
则·=x(x-3)(0易知当x=时,·的值最小,最小值为-.故选C.
9.ABC　由已知得.
对于A,因为-7×3-=-21+21=0,所以a∥;
对于B,因为-7×=0,所以b∥;
对于C,因为-7×(-3)-=21-21=0,所以c∥;
对于D,因为-7×9-×(-7)≠0,所以d与不平行.
故选ABC.
知识补充　在平面直角坐标系中,a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.
10.BCD　若a·b>0,则cos(π-C)>0,即cos C<0,即角C是钝角,
所以△ABC是钝角三角形,故A为假命题;
若a·b=0,则⊥,即BC⊥CA,所以△ABC为直角三角形,故B为真命题;
若a·b=c·b,则b·(a-c)=0,即·()=0,即·()=0,
取AC的中点D,则·=0,所以BA=BC,即△ABC为等腰三角形,故C为真命题;
若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则a2=(c-b)2,即b2+c2-a2=2b·c,
所以cos A==-cos A,所以cos A=0,即A=,
所以△ABC为直角三角形,故D为真命题.故选BCD.
11.BC　对于A,||=1,故A错误;
对于B,的夹角为135°,
所以·|cos 135°=-,故B正确;
对于C,(·=2,所以|,
又|-,所以||,
利用向量加法的平行四边形法则,结合题图可知,的方向与的方向相反,所以,故C正确;
对于D,在方向上的投影数量为||cos 135°,
因为||≠1,所以||cos 135°≠-,故D错误.故选BC.
12.AD 　对于A,当该物体处于平衡状态时,如图1所示,此时F1,F2的合力大小为2 N,方向与重力方向相反,故|F2|= N,A正确;
对于B,当该物体所受合力为F1时,力F2与重力G大小相等,方向相反,如图2所示,故|F2|=2 N,B错误;
对于C,当|F2|=1 N时,设重力G与水平拉力F1的合力为F,则|F|= N,如图3所示,当F2与F方向相同时,|F1+F2+G|取得最大值,为(+1)N,当F2与F方向相反时,|F1+F2+G|取得最小值,为(-1)N,故(-1)N≤|F1+F2+G|≤(+1)N,C错误;
对于D,当|F2|=1 N时,若存在实数λ,使得G=F2+λF1,
则λ2=(G-F2)2=4+1-2×2×1×cos θ=5-4cos θ∈[1,9],
其中θ为力G,F2的夹角,所以必存在实数λ,使得G=F2+λF1,故D正确.
13.答案　
解析　由题意得a-b=(2-x,-1),因为a⊥(a-b),
所以a·(a-b)=2(2-x)-3=0,解得x=.
14.答案　
解析　如图所示,延长AH,交BC于点D,连接BH并延长,交AC于点E.
∵H为△ABC的垂心,∴BE⊥AC,AD⊥BC,
∵AB=AC,∴D为BC的中点,在Rt△ADC中,tan C=,
不妨设AD=4x(x>0),则BD=CD=3x.
易得∠BHD=∠C,∴tan∠BHD==tan C=,
∴HD=AD,
即,
又∵.
15.答案　45°;
解析　在三角形ABD中,由正弦定理得,
解得sin B=,又三角形ABC为锐角三角形,故B=45°.
又∠BAD=30°,所以∠ADC=75°,在三角形ADC中,由余弦定理得AC=.
16.答案　
解析　因为,所以由正弦定理可得,
所以sin B=cos B,所以tan B=.
又B为△ABC的内角,所以B∈(0,π),所以B=,
由b2=a2+c2-2accos B可得,4=a2+c2-ac,
即4=a2+c2-ac≥2-ac=ac,当且仅当a=c=2时取等号,即ac≤4,
又S△ABC=acsin B,
所以S△ABC≤,即△ABC的面积的最大值为.
17.解析　(1)=2a+b=(4,1),=a+mb=(2m+1,m),(2分)
∵A,B,C三点共线,∴∥,
∴4m-(2m+1)=0,解得m=.(5分)
(2)ka-b=(k-2,-1),a+2b=(5,2), (7分)
若ka-b与a+2b共线,
则2(k-2)+5=0,解得k=-.(10分)
18.解析　(1)∵(a-b)·(a+b)=,∴a2-b2=,即|a|2-|b|2=,
∵|a|=1,∴|b|2=,∴|b|=.(2分)
∴cos θ=.(4分)
又θ∈[0,π],∴θ=.(6分)
(2)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×,(9分)
∴|a+b|=.(12分)
19.解析　(1)在△ADC中,由余弦定理的推论得
cos∠ADC=,(2分)
∵∠ADC为三角形的内角,
∴∠ADC=120°,∴sin∠ADC=,(4分)
∴S△ADC=AD·DC·sin∠ADC=.(6分)
(2)在△ABD中,∠ADB=60°,
由正弦定理得,
∴AB=5.(12分)
20.解析　(1)选择①:由bcosccos B得bsin C=ccos B,
由正弦定理可知,sin Bsin C=sin Ccos B,(2分)
在△ABC中,B,C∈(0,π),所以sin C≠0,
所以sin B=cos B,(4分)
即tan B=,所以B=.(6分)
选择②:由2S△ABC=·得2×acsin B=cacos B,(2分)
即sin B=cos B,
所以tan B=,(4分)
在△ABC中,B∈(0,π),
所以B=.(6分)
(2)由(1)知B=.
在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos ,
因为b=2,所以12=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,(8分)
所以(a+c)2-12=3ac≤3×,
所以a+c≤4,当且仅当a=c=2时,等号成立.(10分)
所以a+b+c≤6.
所以△ABC周长的最大值为6.(12分)
21.解析　(1)由题意可知AB=10(-1),AC=20,∠BAC=120°.连接BC,在△ABC中,由余弦定理可得BC=.(2分)
由正弦定理得,解得sin∠ABC=,(3分)
所以∠ABC=45°.(4分)
故刚发现走私船时,走私船距离缉私艇10千米,在缉私艇的西南方向上.　(6分)
(2)设t小时后缉私艇在D处追上走私船,连接BD,则CD=10t,BD=10t.
易得∠BCD=45°+75°=120°.
在△BCD中,由正弦定理得,
即,(8分)
解得sin∠CBD=,则∠CBD=30°,
所以∠CDB=180°-∠BCD-∠CBD=30°=∠CBD,(10分)
则CD=BC,即10t=10.(11分)
故缉私艇至少需要小时才能追上走私船.(12分)
22.解析　(1)设=a,=b,连接AE并延长,交BC于点D.
由重心是三角形三条中线的交点可知,点D是BC的中点,
∴(a+b),(1分)
∵,λ,μ>0,
∴,(2分)
∴a=,b=(a+b)=,(4分)
∵P,E,Q三点共线,∴=1,(5分)
∴=1.(6分)
(2)设∠BAC=θ,则结合(1)可知S1=S△ABC=|·||sin θ=·|a||b|sin θ,S2=S△APQ=|·||sin θ.(7分)
又a,b,∴S2=···|a||b|sin θ,
∴·,(9分)
∵λ,μ>0,<1,
∴≤,当且仅当,即λ=2时取等号,(11分)
∴.(12分)
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