2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--第二章　平面向量及其应用复习提升(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对向量共线的概念理解不全面致错
1.(2023河南豫北名校大联考)已知A,B,C,D为平面上四点,则“向量∥”是“直线AB∥直线CD”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量共线的单位向量为　　　　　　　　.
易错点2　已知两向量夹角为锐角(钝角)求参数时忽略向量共线致错
3.(2022广东深圳实验学校高中部月考)若向量a=(1,2)与b=的夹角为锐角,则实数t的取值范围为(　　)
A.(4,+∞)　　　B.
C.　　　D.∪(4,+∞)
4.(2023山东济宁邹城阶段考试)已知向量a=(2t,2),b=(-2-t,-5),若向量a与向量a+b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为　 　.
易错点3　解三角形时弄不清解的个数致错
5.(2022河南南阳六校联考)在△ABC中,若a=25,b=30,A=42°,则此三角形解的情况为　(　　)
A.无解　　　B.有两解
C.有一解　　　D.有无数解
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,不解三角形,下列判断正确的是(　　)
A.B=60°,c=4,b=5,有两解
B.B=60°,c=4,b=3.9,有一解
C.B=60°,c=4,b=3,有一解
D.B=60°,c=4,b=2,无解
7.已知△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,求△ABC的面积.
易错点4　忽视三角形中角、边的隐含条件致错
8.(2023河南新乡多校联考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=4,b=3,sin A=,则B=(　　)
A.　　　B.　　
C.　　　D.
9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且4S=a2+b2-c2.
(1)求角C;
(2)若a=1,c=,求角B.
思想方法练
一、分类讨论思想
1.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||,则点P的坐标为　　　　　　　.
2.(2023吉林第一中学检测)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(sin A+sin B-sin C)·(sin B-sin A-sin C)=-sin Bsin C,b=4.若△ABC为直角三角形,则△ABC的面积为　　　　.
二、函数与方程思想
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,△ABC的面积为2,则b+c=(　　)
A.4　　　B.6　　　
C.8　　　D.10
4.已知△ABC中,A=60°,AB=6,AC=4,O为△ABC所在平面内一点,且满足OA=OB=OC.设=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为(　　)
A.2　　　B.1　　　
C.　　　D.
5.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为CD边上的动点,求·的最小值.
三、转化与化归思想
6.在△ABC中,AB=6,AC=4.若点D在BC边上且BD=2DC,AD=BD,则BC的长为　　　　.
四、数形结合思想
7.(2023四川南充适应性考试)已知△ABC中,BC=3,AC=4,AB=5,点P是AC边上的任意一点(包含端点),则·的最小值是(　　)
A.-　　　B.-4　　　
C.-　　　D.0
8.海上某货轮在A处,灯塔B在货轮的北偏东75°方向上,与货轮的距离为12 n mile.灯塔C在货轮的北偏西30°方向上,与货轮的距离为8 n mile.货轮沿正北方向由A处航行到D处,在D处时看灯塔B的方位角为120°.求:
(1)A处与D处之间的距离;
(2)灯塔C与D处之间的距离.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.B 3.D 5.B 6.D 8.B
1.B　若向量,则A,B,C,D四点共线或直线AB∥直线CD;
若直线AB∥直线CD,则,
故“向量”是“直线AB∥直线CD”的必要不充分条件.
2.答案　
解析　∵A(1,3),B(4,-1),∴|=5,
∴与共线的单位向量为±,
即.
易错警示　若两个非零向量共线,则这两个向量同向或者反向.在解决向量共线问题时,注意向量的方向,必要时需进行检验或分类讨论.
3.D　若a与b的夹角为锐角,则a·b>0且a与b不共线,
故解得t>且t≠4,
因此t 的取值范围为∪(4,+∞).
易错警示　两向量的夹角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.依据两向量夹角求参数时,需要注意当夹角θ为0°时,cos θ=1>0;当夹角θ为180°时,cos θ=-1<0,这是容易忽略的地方.两向量的夹角θ为锐角的充要条件是04.答案　
解析　由题意得a+b=(t-2,-3),
∵向量a与向量a+b的夹角为钝角,
∴a·(a+b)<0,且a与a+b不共线,
∴2t(t-2)-6<0,且-6t-2(t-2)≠0,
即t2-2t-3<0,且t≠,
所以-1即实数t的取值范围为.
5.B　由正弦定理得,
∴sin B= sin B=sin A,
∵sin 30°∴∴∵b>a,∴B>A,∴B可能为锐角,也可能为钝角,
∴此三角形有两解,故选B.
6.D　结合各选项可知,B=60°,c=4,作AD⊥BD,垂足为D,如图所示,
在Rt△ABD中,AD=c×sin 60°=2.
由图可知,当b=2或b≥4时,有一解;
当b<2时,无解;
当2结合选项可知D正确.
易错警示　“已知两边a,b和其中一边的对角A,解三角形”会有一解、两解或无解三种情况.其判断和验证方法一般有以下几种:(1)利用三角函数的有界性.(2)依据“大边对大角”.(3)利用a与bsin A之间的大小关系:当A为直角或钝角时,a≤b无解,a>b有一解;当A为锐角时,a7.解析　由正弦定理,
得sin C=,
∴C=60°或C=120°.
当C=60°时,A=90°,S△ABC=AB·AC=2;
当C=120°时,A=30°,S△ABC=AB·ACsin A=.
故△ABC的面积为2.
8.B　由正弦定理得,则sin B=.因为b9.解析　(1)∵S=absin C,∴4×absin C=a2+b2-c2,
即sin C==cos C,
又0°(2)∵,∴sin A=.
∵a∵A+B+C=180°,∴B=105°.
易错警示　解三角形时,要注意挖掘三角形中所有的隐含条件,常用的隐含条件有:三边长均为正数;大角对大边;两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;三个内角之和等于180°等.
思想方法练
3.B 4.C 7.B
1.答案　或(-5,8)
解析　∵点P在直线AB上,且||,
∴.
点P的位置不确定,故需分类讨论.
当时,设P的坐标为(m,n),
则=(-1-m,2-n),
∴.
当时,同理可得出P的坐标为(-5,8).
综上所述,满足条件的点P的坐标为或(-5,8).
思想方法　在向量这一章中,分类讨论思想主要体现在:向量方向的不确定,图形位置的不确定,参数符号的不确定以及条件(或结论)的不唯一性等.
2.答案　2或8
解析　由正弦定理知,(sin A+sin B-sin C)·(sin B-sin A-sin C)=-sin Bsin C可化为(a+b-c)(b-a-c)=-bc,即b2+c2-a2=bc,
所以cos A=,而A∈(0,π),所以A=.
因为△ABC为直角三角形,
不确定哪个内角为直角,故分情况讨论.
所以若B=,则C=,又b=4,所以c=2,a=2,故S△ABC=;
若C=,则B=,又b=4,所以c=8,a=4,故S△ABC=.
3.B　由题意得,bcsin A=2,则有bc=8,①
由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=20,②
根据三角形的面积公式和余弦定理建立关于b,c的方程组,通过解方程组求解.
联立①②,解得则b+c=6.故选B.
4.C　由OA=OB=OC,得点O是△ABC的外心,
又外心是三角形三边中垂线的交点,
所以
由此关系式建立关于λ,μ的方程组.
即
又AB=6,AC=4,=12,
所以
故λ+μ=,故选C.
5.解析　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
因为在平面四边形ABCD中,AB=AD=1,∠BAD=120°,所以A(0,0),B(1,0),D,
设C(1,m),E(x,y),
则,
因为AD⊥CD,所以=0,
所以=0,
故=0,解得m=,
故C(1,),因为E在CD上,
所以≤y≤,
由C,E,D三点共线,得,
得,则x=y-2,
因为=(x-1,y),
所以=(x,y)·(x-1,y) =x2-x+y2=y+6,
令f(y)=4y2-5y+6,y∈,
易知函数f(y)=4y2-5y+6在上单调递减,在上单调递增,
所以f(y)min=f.
所以.
向量的坐标化使几何意义下的数量积问题转换成了代数意义下的函数问题,利用函数的相关知识求最值.
思想方法　平面向量数量积的应用、平面向量基本定理及其应用、解三角形等问题都可应用函数与方程思想,运用该思想可以解决求参数的值、用已知向量表示未知向量、求最值等问题.
6.答案　5
解析　设DC=x,则AD=BD=2x,
又cos∠ADB=-cos∠ADC,
结合余弦定理,
得,
利用余弦定理将角之间的关系转化为边之间的关系.
解得x=(负值舍去),
所以BC=3x=5.
思想方法　转化与化归思想在本章中的体现:
(1)利用向量的线性运算将一个向量转化为几个向量的和、差或数乘形式;
(2)利用平方或乘一个已知向量的策略将单个向量转化为向量的数量积的形式;
(3)建立平面直角坐标系,将几何问题转化为向量的坐标运算问题进行求解;
(4)利用正、余弦定理将边化角或将角化边.
7.B　根据直角三角形的特点,建立平面直角坐标系,利用坐标表示向量,从而转化为向量数量积的坐标运算.
因为32+42=52,所以△ABC是直角三角形,∠C=90°,以C为原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,4),B(3,0),由题可设点P的坐标为(0,y),0≤y≤4,
则=-y(4-y)=y2-4y=(y-2)2-4,
∴当y=2时,取得最小值-4,故选B.
8.解析　由题意,可画出示意图,如图所示.
通过作图,理清边角关系,应用数形结合思想进行求解.
(1)在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,则B=45°.由正弦定理,得AD==24(n mile),
即A处与D处之间的距离为24 n mlie.
(2)在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°=242+(8)2,
∴CD=8 n mile,
即灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.
思想方法　数形结合思想在本章中的体现:
(1)从平面向量的定义可以看出,它兼具数与形的双重特性,可以用向量方法解决平面的夹角、距离等几何问题,同时也可利用向量的坐标构建方程或者函数关系解决问题.
(2)对于含多个三角形的几何问题的求解,可以画出图形,借助图形分析各三角形之间的边角关系.
(3)解与三角形有关的实际应用问题时,往往应用数形结合思想求解,通过画出图形来理清边角关系.
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