2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--第四章　三角恒等变换(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第四章　三角恒等变换
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.sin 70°sin 10°+cos 10°sin 20°=(　　)
A.1　　　　B.
2.已知第二象限角α的终边与单位圆交于点P,则=(　　)
A.-　　　　D.1
3.已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)
A.
4.已知α∈[0,π],且3sin ,则tan =(　　)
A.-　　　　D.2
5.《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载:“即取竹空,径一寸,长八尺,捕影而视之,空正掩目,而日应空之孔.”大意为:“取一段竹筒,当竹筒直径d是一寸,筒长l是八尺时(注:一尺等于十寸),从筒中搜捕太阳的边缘观察,则筒的内孔正好覆盖太阳,而太阳的外缘恰好填满竹筒的内孔.”如图所示,O为竹筒底面圆心,则太阳视角∠AOB的正切值为(　　)
A.
6.已知α为锐角,sin,则cos α=(　　)
A.
7.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f +f =0,且f(x)在区间上单调递减,则整数ω=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.1或2　　　　D.5
8.已知角α,β满足cos 2α+cos α=sin+sin2β,且α∈(0,π),则α等于(　　)
A.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知α∈(0,π),且cos α=-,则下列结论中正确的是(　　)
A.sin(π-α)=　　　　B.cos
C.tan 2α=
10.已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则(　　)
A.θ∈　　　　B.cos θ=
C.tan θ=-　　　　D.sin θ-cos θ=
11.在非直角△ABC中,下列结论正确的是(　　)
A.sin A+cos A>0
B.cos(A-B)>cos Acos B
C.sin A=sin Bcos C+cos Bsin C
D.tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C
12.已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x,则(　　)
A.函数f(x)在区间上单调递增
B.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)的图象可由函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度得到
D.对任意x∈R,恒有f+f(-x)=-1
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知sin(θ+π)=,且θ为第四象限角,则tan(θ-π)等于　　　　.
14.满足等式(1-tan α)(1-tan β)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组:　　　　.
15.已知α∈,且cos α=,则的值是　　　　.
16.若函数f(x)的图象可由函数y=3sin 2x-cos 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到,且函数f(x)在区间上单调递减,则φ=　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设函数f(x)=,且f(α)=1,α为第二象限角.
(1)求tan α的值;
(2)求sin αcos α+5cos2α的值.
18.(本小题满分12分)已知0<α<<β<π,tan .
(1)求tan α,sin α的值;
(2)求β的值.
19.(本小题满分12分)求证:(1)tan2α-sin2α=tan2αsin2α;
(2)=tan θ;
(3)cos8x-sin8x-cos 2x=-sin 2xsin 4x.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.
21.(本小题满分12分)已知平面向量a=(cos x-sin x,sin x),b=(cos x+sin x,2cos x),设函数f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;
(2)若方程f(x)=m在范围内有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin+cos x.
(1)求函数f(x)的最大值;
(2)若f ,当时,求的值.
答案全解全析
第四章　三角恒等变换
1.B 2.B 3.B 4.B 5.A 6.A
7.B 8.C 9.ABD 10.AD 11.BCD 12.ABD
1.B　sin 70°sin 10°+cos 10°sin 20°=sin 70°sin 10°+cos 10°cos 70°=cos(70°-10°)=cos 60°=.故选B.
2.B　因为第二象限角α的终边与单位圆交于点P,所以r==1,且m<0,所以m=-,tan α=-,
所以=-11.故选B.
3.B　∵2sin 2α=cos 2α+1,∴4sin αcos α=2cos2α.
∵α∈,∴sin α>0,cos α>0,∴2sin α=cos α,
又∵sin2α+cos2α=1,即sin2α+4sin2α=1,∴sin2α=,∴sin α=.
4.B　由于0≤α≤π,所以0≤≤,故sin ≥0,cos ≥0,因此,所以sin +cos =3sin ,即cos =2sin ,故tan .
5.A　由题意可知,
所以tan∠AOB=.
6.A　由题意得α∈,所以-α∈,所以cos>0.
由sin,可得cos,
故cos α=cos=cos +sin ,故选A.
7.B　f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin,令+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z,当k=0时,≤x≤,由于f(x)在区间上单调递减,所以 ,即解得1≤ω≤,所以ω=1或ω=2.当ω=1时,f +f =3≠0,不符合题意;当ω=2时,满足f +f =0.故ω=2.
8.C　由于sincos β-sin β+sin2β=,所以cos 2α+cos α=,即2cos2α-1+cos α=,解得cos α=或cos α=- (舍去),因为α∈(0,π),所以α=.
9.ABD　因为α∈(0,π),cos α=-,所以α∈∈,故
sin α=,tan α=-,sin(π-α)=sin α=,故A正确;cos ,故B正确;tan 2α=,故C错误;sin(sin α+cos α)=-,故D正确.
10.AD　因为sin θ+cos θ=,所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,
所以2sin θcos θ=-<0,因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,所以cos θ<0,因此θ∈,故A正确;
因为θ∈,所以sin θ-cos θ=,故D正确;
由得所以tan θ=,故B,C不正确.故选AD.
11.BCD　当A=150°时,sin A+cos A=<0,故A错误;由于cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B,而sin Asin B>0,所以cos(A-B)>cos Acos B,故B正确;sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,故C正确;tan A+tan B+tan C=tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan C=-tan C(1-tan Atan B)+tan C=tan Atan Btan C,故D正确.
12.ABD　由题意得f(x)=sin 2x-.
当x∈时,2x-∈,函数f(x)单调递增,故A中说法正确;令2x-+kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,显然直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴,故B中说法正确;将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度可得到函数y=的图象,故C中说法错误;f-1=-1,故D中说法正确.故选ABD.
13.答案　-
解析　由sin(θ+π)=可知-sin θ=,所以sin θ=-,而θ为第四象限角,所以cos θ=,于是tan(θ-π)=tan θ=.
14.答案　(答案不唯一)
解析　由(1-tan α)(1-tan β)=2,得1-(tan α+tan β)+tan αtan β=2,
所以tan α+tan β=tan αtan β-1,
所以tan(α+β)==-1,
所以α+β=+kπ,k∈Z,所以可取α+β=,所以数组(α,β)可以为.
15.答案　
解析　因为α∈,cos α=,所以sin α=-∈,
所以sin,
因为cos 2α=2cos2α-1=2×,
所以.
16.答案　
解析　易知y=3sin 2x-cos 2x=2,
则f(x)=2,
当x∈时,2x-2φ-∈,
因为函数f(x)在区间上单调递减,
所以k∈Z,即k∈Z,
则φ=--kπ,k∈Z,又0<φ<π,故φ=.
17.解析　(1)f(α)=.(2分)
∵α为第二象限角,∴f(α)=-=-2tan α=1,(4分)
∴tan α=-.(6分)
(2)sin αcos α+5cos2α=(8分)
=.(10分)
18.解析　(1)因为tan ,所以tan α=.(3分)
因为0<α<,且sin2α+cos2α=1,tan α=,所以sin α=.(6分)
(2)由(1)知tan α=,sin α=,所以cos α=.(7分)
因为0<α<<β<π,所以0<β-α<π,
因为cos(β-α)=,所以sin(β-α)=.(9分)
因此sin β=sin[α+(β-α)]=sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α)=,(11分)
故β=.(12分)
19.证明　(1)左边==tan2αsin2α=右边,即tan2α-sin2α=tan2αsin2α.(4分)
(2)=tan θ.(8分)
(3)cos8x-sin8x-cos 2x=(cos4x+sin4x)(cos4x-sin4x)-cos 2x
=[(cos2x+sin2x)2-2cos2xsin2x](cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-cos 2x
=(1-2cos2xsin2x)cos 2x-cos 2x
=-(2cos xsin x)2cos 2x=-sin22xcos 2x
=-sin 2xsin 2xcos 2x=-sin 2xsin 4x.(12分)
20.解析　(1)f(x)=sin2x+sin xcos x=sin 2x=sin,(3分)
故f(x)的最小正周期T==π.(5分)
(2)当x∈时,2x-∈,(7分)
∵f(x)在区间上的最大值为,
∴2m-≥,解得m≥.(10分)
故m的最小值为.(12分)
21.解析　(1)f(x)=a·b=(cos x-sin x)(cos x+sin x)+2sin xcos x
=cos2x-sin2x+2sin xcos x=cos 2x+sin 2x
=2.(3分)
令2x++kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),(5分)
∴函数f(x)图象的对称轴方程为x=(k∈Z).(6分)
(2)当0令≤,得0令,得,即f(x)在上单调递减,(9分)
易得f(0)=2sin=-1,(11分)
∵方程f(x)=m在范围内有两个不相等的实数根,
∴函数f(x)在上的图象与直线y=m有两个交点,∴m∈(1,2).(12分)
22.解析　(1)f(x)=sin xcos+cos xsin+sin xcos-cos xsin+cos x
=2sin xcos+cos x=sin x+cos x=,(3分)
∴函数f(x)的最大值为.(4分)
(2)结合(1)得f,(5分)
∴sin,即sin x-cos x=-,∴sin x-cos x=-,(6分)
两边平方得1-2sin xcos x=,∴2sin xcos x=,(7分)
∴(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=.
∵,∴sin x+cos x<0,∴sin x+cos x=-,(9分)
∴.(12分)
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