2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--第四章　三角恒等变换拔高练(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
综合拔高练
五年高考练
考点1　利用三角恒等变换解决求值问题
1.(2021新高考Ⅰ,6)若tan θ=-2,则=(　　)
A.-　　　B.-　　　C.　　　D.
2.(2023新课标Ⅱ,7)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
3.(2020全国Ⅲ,9)已知2tan θ-tan=7,则tan θ=(　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2
4.(2023新课标Ⅰ,8)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　)
A.　　　B.　　　
C.-　　　D.-
5.(2021全国甲理,9)若α∈,tan 2α=,则tan α=(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
6.(2023全国乙文,14)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.
7.(2023新课标Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
考点2　利用三角恒等变换研究函数的性质
8.(2021全国乙文,4)函数f(x)=sin的最小正周期和最大值分别是(　　)
A.3π和　　　B.3π和2　　　
C.6π和　　　D.6π和2
9.(2019课标全国Ⅰ文,15)函数f(x)=sin-3cos x的最小值为　　　　.
10.(2021浙江,18)设函数f(x)=sin x+cos x(x∈R).
(1)求函数y=的最小正周期;
(2)求函数y=f(x)f 在上的最大值.
三年模拟练
应用实践
1.(2022河北名校联盟联考)若sin α+7cos α=0,则cos-cos2α=(　　)
A.-　　　B.　　　
C.-　　　D.
2.(2021海南中学第二次月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则cos C的最小值为(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.-
3.(2023浙江金华十校模拟)已知函数f(x)=sin ωx-cos(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点,则ω的取值范围是(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
4.(2023湖南长沙A佳教育联盟联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<3,|φ|<π),且f -f =2,则当f(α)=时,cos=(　　)
A.-　　　B.　　　C.-　　　D.
5.(多选题)(2022重庆巴蜀中学月考)已知函数f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx(ω>0),则下列说法正确的有(　　)
A.若ω=,则f(x)图象的对称中心为,k∈Z
B.若将f(x)的图象向左平移个单位长度后,所得图象关于y轴对称,则ω的最小值为1
C.若f(x)在(0,π)上恰有3个零点,则ω的取值范围是
D.已知f(x)在上单调递增,且ω为整数,若f(x)在[m,n]上的值域为,则n-m的取值范围是
6.(2023浙江杭州二模)已知sin θ+cos θ=2sin α,sin θcos θ=sin 2β,
则4cos22α-cos22β=　　　　　.
7.(2023广东汕头金山中学模拟)已知α,β为锐角,tan(α+β)=-,cos β=,则sinα=　　　.
8.(2022福建三明一中期中)设f(x)=,则f(1°)+f(2°)+…+f(59°)=　　　　.
迁移创新
9.(2022河南六市三模)我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”,即S=(其中S为三角形的面积,a,b,c为三角形的三边长).在非直角△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若a=c(cos B+cos C)=2,则△ABC的面积最大时,c=　　　　.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.C 2.D 3.D 4.B 5.A 8.C
1.C　 =
==sin θ(sin θ+cos θ)
=sin2θ+sin θcos θ=
=.故选C.
2.D　∵α为锐角,∴为锐角,∴sin>0.
∵cos α=1-2sin2=1-cos α=,
∴sin2,故选D.
3.D　2tan θ-tan=2tan θ-=7,整理可得tan2θ-4tan θ+4=0,
∴tan θ=2.故选D.
4.B　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
cos αsin β=,所以sin αcos β=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.
所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×.故选B.
5.A　∵tan 2α=,且α∈,
∴,
∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,
即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α,
又cos α≠0,∴4sin α=1,∴sin α=,
∴cos α=,∴tan α=.故选A.
6.答案　-
解析　由tan θ=,得sin θ=cos θ,代入sin2θ+cos2θ=1,可得cos2θ=,又因为θ∈,所以cos θ=,则sin θ=,
所以sin θ-cos θ=-.
7.解析　(1)在△ABC中,A+B+C=π,
又∵A+B=3C,∴π-C=3C,∴C=.
∵A+B+C=π,
∴sin B=sin(π-A-C)=sin,
又2sin(A-C)=sin B,
∴2sin,
∴2×(sin A-cos A)=(cos A+sin A),
∴sin A=3cos A.
又∵sin2A+cos2A=1且sin A>0,
∴sin2A+=1,sin A>0,解得sin A=.
(2)由(1)得sin A=,sin A=3cos A,
∴cos A=sin A=.
又∵B=π-A-C=-A,
∴sin B=sin(cos A+sin A)=.
在△ABC中,根据正弦定理得,
即.
设AB边上的高为CD,在△ACD中,CD=AC·sin A=2=6,
∴AB边上的高为6.
8.C　f(x)=sin,最小正周期T==6π;当sin=1,即x=π+6kπ,k∈Z时, f(x)取得最大值,故选C.
9.答案　-4
解析　f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=
-2.
因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=1时,f(x)min=-4,故函数f(x)的最小值是-4.
10.解析　(1)由已知得y==(cos x-sin x)2=1-sin 2x,故所求的最小正周期T=π.
(2)y=f(x)f (sin x+cos x)sin x=sin,
因为x∈,故当x=时,函数y=f(x)·f 取得最大值1+.
三年模拟练
1.D 2.C 3.B 4.C 5.BCD
1.D　由已知得tan α=-7,所以cos-cos2α=-sin 2α-cos2α=.
2.C　∵cos 2A+cos 2B=2cos 2C,
∴1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2C),
即sin2A+sin2B=2sin2C,由正弦定理得a2+b2=2c2.
∴cos C=,
当且仅当a=b时等号成立,故cos C的最小值为.
3.B　f(x)=sin ωx-cos
=sin ωx-
=sin ωx-cos ωx
=.
当x∈[0,π]时,ωx-(ω>0),
因为f(x)在[0,π]上有且仅有2个零点,
所以≤ω<.
4.C　由题意得,f(x)max=f =1,f(x)min=f =-1,
即sin=-1,
∴
①-②,可得ω=1+2(k2-k1),k1∈Z,k2∈Z,
∵0<ω<3,∴ω=1,
将ω=1代入ω·,k1∈Z,得φ=2k1π+,k1∈Z,
又|φ|<π,所以φ=,
∴f(x)=sin,则f(α)=sin,
∴cos=-cos2α+
=2sin2.
5.BCD　f(x)=sin 2ωx=sin2ωx++.
对于A,当ω=时,f(x)=sin,令x+=kπ,k∈Z,得x=kπ-,k∈Z,故f(x)图象的对称中心是,k∈Z,故A错误;
对于B,将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y=sin2ω=sin2ωx+的图象,若该图象关于y轴对称,则,k∈Z,所以ω=3k+1,k∈Z,又ω>0,所以ω的最小值为1,故B正确;
对于C,f(x)在(0,π)上恰有3个零点,即在(0,π)上,方程sin有三个不同的解,
作出函数f(x)的大致图象(图略),易得,解得<ω≤,故C正确;
对于D,当x∈时,2ωx+,因为此时f(x)是增函数,ω>0,所以,k∈Z,
所以ωπ-≤π,所以ω≤3,又ω为正整数,所以ω只能取1,2,3,
当ω=1时,,不符合题意,
当ω=2时,,符合题意,
当ω=3时,,不符合题意,
所以ω=2,f(x)=sin,
若-≤f(x)≤1,则-1≤sin,
所以-+2kπ≤4x+≤2kπ+,k∈Z,
不妨令k=0,则-≤x≤0,其中f =-1,
因为f(x)在[m,n]上的值域为,
所以
因此≤n-m≤,故D正确.故选BCD.
6.答案　0
解析　将sin θ+cos θ=2sin α的两边同时平方,得1+2sin θcos θ=4sin2α,
结合sin θcos θ=sin 2β可得1+2sin2β=4sin2α,
即1+2sin2β-4sin2α=0,
则4cos22α-cos 22β=(2cos 2α-cos 2β)(2cos 2α+cos 2β)
=(1-4sin2α+2sin2β)(2cos 2α+cos 2β)=0.
7.答案　
解析　因为α,β为锐角,且tan(α+β)=-<0,所以α+β∈,所以sin(α+β)>0,cos(α+β)<0.
由
解得
又β∈,cos β=,所以sin β=,
所以sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-sin β·cos(α+β)=.
8.答案　
解析　∵f(x)=,
∴f(x)+f(60°-x)=
=
=.
令S=f(1°)+f(2°)+…+f(59°),
则2S=[f(1°)+f(59°)]+[f(2°)+f(58°)]+…+[f(59°)+f(1°)]=59,
即f(1°)+f(2°)+…+f(59°)=.
9.答案　2
解析　∵a=c(cos B+cos C),
∴sin A=sin C(cos B+cos C).
∵A=π-(B+C),
∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
∴sin Bcos C=sin Ccos C.
∵△ABC为非直角三角形,∴cos C≠0,
∴sin B=sin C,即b=c,
∴S△ABC=
=
=,
故当c2=12,即c=2时,S△ABC最大.
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