2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--第四章　三角恒等变换复习提升(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对公式结构把握不准确致错
1.(2021江苏徐州第七中学月考)化简-sin(x+y)sin(x-y)-cos(x+y)cos(x-y)的结果为(　　)
A.sin 2x　　　B.cos 2x　　　
C.-cos 2x　　　D.-cos 2y
2.(多选题)(2023陕西西安工业大学附属中学期末)下面各式化简正确的是(　　)
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=cos 15°
C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45°
D.coscos α+sin α
易错点2　忽视角的范围致错
3.已知tan 160°=k,则sin 20°=　　　　.(用含k的代数式表示)
4.(2023广东广州从化第三中学期末)已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sin β=-.求α的值.
5.(2022北京海淀期末)已知0<α<<β<0,cos.
(1)求cos的值;
(2)求sin β的值;
(3)求α-β的值.
易错点3　忽视角之间的特殊关系致错
6.(2022广东茂名五校联盟联考)若cos(α-β)=,α+β=,且-<α-β<0,则cos 2α的值为　　　　.
7.已知α,β为锐角,sin α=,cos(α+β)=.
(1)求cos的值;
(2)求sin β的值.
思想方法练
一、分类讨论思想
1.(2022湖北普通高中联合体期中)已知角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,).
(1)求sin 2α-tan α的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.
二、函数与方程思想
2.(2023广东广州七中月考)若,则tan 2θ=(　　)
A.-2　　　B.2　　　C.-1　　　D.1
3.已知θ是钝角,则sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值范围为　　　　.
三、转化与化归思想
4.(2022陕西安康三模)已知tan θ=,则=(　　 )
A.6　　　B.　　　C.　　　D.2
5.(2023宁夏银川唐徕中学期末)已知f(x)=cos (ω>0),A,B是函数f(x)的图象与直线y=的两个交点,且|AB|的最小值为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若 x∈都有f(x)≥m2-m-,求m的取值范围.
四、数形结合思想
6.(2023陕西铜川耀州中学期末)已知函数f(x)=sin满足f =0,其中0<ω<3,将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.
(1)求ω;
(2)求函数g(x)的解析式;
(3)求g(x)在上的最值及相应的x的值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.D　原式=-cos[(x+y)-(x-y)]=-cos 2y.故选D.
2.AC　cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos 60°,故A正确;
cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=cos(45°+30°)=cos 75°≠cos 15°,故B错误;
sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos[(α+45°)-α]=cos 45°,故C正确;
cos=cos αcos +sin αsin cos α+sin α,故D错误.
故选AC.
易错警示　在进行三角函数式的变形时,容易弄错公式,而忽略公式的结构特征与符号特征,因此熟练掌握公式是解此类题的关键.
3.答案　-
解析　因为tan 160°=-tan 20°=k,所以tan 20°=-k,k<0,又tan 20°=,所以cos 20°=,所以sin220°+=1,所以sin220°=,因为sin 20°>0,所以sin 20°=-.
4.解析　因为α∈,β∈,所以α-β∈(0,π),所以sin(α-β)=,cos β=,
所以sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=,
因为α∈,所以α=.
5.解析　(1)∵0<α<.
∵cos.
∵-,
∵cos.
∴cos
=cossin=.
(2)解法一:∵cos,
∴cos sin ,
∴cos +sin ,
两边平方并整理,得1+2cos sin ,
即1+sin β=,∴sin β=-.
解法二:sin β=sin
=cos=2cos2 .
(3)cos α=coscos sin ,
∵0<α<,∴sin α=,
∵sin β=-<β<0,∴cos β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+ ,
易知0<α-β<π,∴α-β=.
易错警示　求三角函数值时,容易忽略角的范围而导致错误,为了避免这些错误,求解时要做到:
(1)使用公式时要考虑全面;(2)将一些三角函数值与特殊角的三角函数值进行比较,方便限定角的范围;(3)善于利用隐含条件把角缩小到尽可能小的范围内.
6.答案　
解析　因为-,
所以sin(α-β)=-,
因为α+β=,所以sin(α+β)=,
所以cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)
=-.
7.解析　(1)∵α为锐角,sin α=,
∴cos α=.
∴cos=cos αcos+sin αsin
=.
(2)∵α,β为锐角,∴α+β∈(0,π),
由cos(α+β)=得sin(α+β)=,
∴sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=.
易错警示　对于三角函数的给值求值、给值求角问题,求解的关键是“变角”,即采用拆角、凑角等技巧将“目标角”变换成“已知角”,在“变角”的过程中,要注意分析所求角和已知角间的关系,当角的终边所在的象限不确定时,应分情况讨论.
思想方法练
1.解析　(1)∵角α的终边经过点P(-3,),
∴sin α=,cos α=-,tan α=-.
∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=-.
(2)由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.
由于角α+β的终边所在位置不确定,因此cos(α+β)的值有两个.
由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α.
当cos(α+β)=时,cos β=;
当cos(α+β)=-时,cos β=-.
根据cos(α+β)的不同取值分类讨论,分别求出cos β的值.
所以cos β=.思想方法　分类讨论思想在本章中的主要体现:(1)利用同角三角函数的平方关系开方求值时,对角的正弦值或余弦值的正负进行分类讨论;(2)利用半角公式开方求值时,对半角的三角函数值的正负进行分类讨论;(3)由已知条件得出不同结果时,对各结果进行分类讨论求解等.
2.D　因为,所以,所以,
即tan θ=,即tan 2θ+2tan θ=1,
整理成关于tan θ的方程.
所以tan 2θ==1.
3.答案　(-1,1)
解析　令sin θ+cos θ=t,则sin θcos θ=,
设变量t,构造关于t的函数,利用函数的性质解决问题.
所以sin θ+cos θ+sin θcos θ=.
因为θ∈,所以θ+,
所以sin,
所以t=sin θ+cos θ=∈(-1,1).
所以(t+1)2-1∈(-1,1),
故sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值范围是(-1,1).思想方法　函数与方程思想在本章中的主要体现:(1)利用方程思想求解某个三角函数值;(2)构造函数或借助现有的函数,研究关于三角函数的性质问题等.
4.C　
=
=.
将sin θ化为sin θ(sin2θ+cos2θ),从而将所求式转化为关于sin θ,cos θ的齐次式.
5.解析　(1)f(x)=cos
=cos
=sin cos cos 2
=sin ωx+
=sin ωx+cos ωx
=
=,
易知f(x)max=,
∴f(x)的最小正周期T=|AB|min=π,∴ω==2,
∴f(x)=,
令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为-+kπ,k∈Z.
(2)当≤x≤时,≤2x+,∴当2x+,即x=时,f(x)取得最小值,即f(x)min=f ,
将原问题转化为f(x)在上的最小值恒大于或等于m2-m-,从而将其转化为代数不等式恒成立问题.
则问题等价于≥m2-m-恒成立,即m2-m-2≤0恒成立,解得-1≤m≤2,
所以m的取值范围是[-1,2].
思想方法　转化与化归思想在本章中的主要体现:(1)化多角的形式为单角的形式;(2)化多种函数名称为一种函数名称;(3)化未知角为已知角;(4)化高次为低次;(5)化非特殊角为特殊角等.
6.解析　(1)f(x)=sin=sin ωx·cos -cos ωxsin sin ωx-cos ωx=,
由已知得f =0,
∴=kπ,k∈Z,解得ω=6k+2,k∈Z,
又0<ω<3,∴ω=2.
(2)由(1)知f(x)=,将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=的图象,再将得到的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)=sinx+的图象,
∴g(x)=.
(3)由(2)知g(x)=,令t=x-,则当x∈时,t∈,∴sin t∈,
画出函数y=sin t的大致图象如图所示:
作出函数y=sin t的图象,根据图象得到g(x)的最值及对应的x的值.
由图象可知当t=-,即x=-时,g(x)取得最小值-,当t=,即x=时,g(x)取得最大值.
思想方法　与三角函数有关的函数的零点个数问题、方程的实根个数问题,求解时一般先画出函数的图象,然后利用数形结合思想解决.
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