2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--第五章　复数拔高练(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
综合拔高练
五年高考练
考点1　复数的有关概念
1.(2023北京,2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,),则z的共轭复数=(　　)
A.1+i　　　B.1-i
C.-1+i　　　D.-1-i
2.(2023全国甲理,2)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a=(　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2
3.(2020江苏,2)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是　　　　.
4.(2019江苏,2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是　　　　.
考点2　复数的几何意义
5.(2020北京,2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=(　　)
A.1+2i　　　B.-2+i
C.1-2i　　　D.-2-i
6.(2023新课标Ⅱ,1)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　B.第二象限
C.第三象限　　　D.第四象限
7.(2019课标全国Ⅰ,2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)
A.(x+1)2+y2=1　　　B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1　　　D.x2+(y+1)2=1
8.(2020全国Ⅱ理,15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　.
考点3　复数的运算
9.(2023全国乙文,1)|2+i2+2i3|=(　　)
A.1　　　B.2　　　C.　　　D.5
10.(2023新课标Ⅰ,2)已知z=,则z-=(　　)
A.-i　　　B.i　　　C.0　　　D.1
11.(2023全国乙理,1)设z=,则=(　　)
A.1-2i　　　B.1+2i　　　
C.2-i　　　D.2+i
12.(2021全国新高考Ⅰ,2)已知z=2-i,则z(+i)=(　　)
A.6-2i　　　B.4-2i　　　
C.6+2i　　　D.4+2i
13.(2021全国甲理,3)已知(1-i)2z=3+2i,则z=　　(　　)
A.-1-i　　　B.-1+i
C.-+i　　　D.--i
14.(2021全国乙理,1)设2(z+)=4+6i,则z=(　　)
A.1-2i　　　B.1+2i　　　C.1+i　　　D.1-i
15.(2021浙江,2)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a=(　　)
A.-1　　　B.1　　　C.-3　　　D.3
16.(2023全国甲文,2)=(　　)
A.-1　　　B.1　　　C.1-i　　　D.1+i
17.(2020全国Ⅰ理,1)若z=1+i,则|z2-2z|=(　　)
A.0　　　B.1　　　C.　　　D.2
18.(2020全国Ⅰ文,2)若z=1+2i+i3,则|z|=(　　)
A.0　　　B.1　　　C.　　　D.2
三年模拟练
应用实践
1.(2023陕西渭南检测)棣莫弗公式(cos x+isin x)n=cos nx+isin nx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754)发现的,根据棣莫弗公式可知,若复数z满足z·=|1+i|,则复数z在复平面内对应的点Z位于(　　)
A.第一象限　　　B.第二象限
C.第三象限　　　D.第四象限
2.(多选题)(2023湖南衡阳八中月考)已知复数z1,z2满足z1+z2=3-i,z1-z2=5+3i,则(　　)
A.z1=4+i
B.z2在复平面内对应的点位于第三象限
C.2z1+z2为纯虚数
D.z1z2的共轭复数为-2+9i
3.(多选题)(2022湖北八市模拟)2022年1月,中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告,分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性,再次说明了虚数i的重要性.对于方程x3=1,它的两个虚数根分别为(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
4.(2023湖南益阳安化期末)当复数z=+(m2+2m-15)i为实数时,实数m=　　　　.
5.(2022上海外国语大学附属外国语学校期中)已知z=,其中i为虚数单位,a>0,复数ω=z·(z+i)的虚部减去它的实部所得的差等于,则复数ω的模为　　　　.
6.(2022浙江9+1高中联盟模拟)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数cos θ和sin θ联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被称为“数学中的天桥”,若复数z满足(e2 023iπ+i)·z=i,则z的虚部是　　　　,|z|=　　　　.
7.(2022广东中山一中期中)已知复数z满足|z|=1,则|z-1-i|的最小值为　　　　.
8.(2023河北保定六校联盟期中)已知复数z=(m∈R,i是虚数单位).
(1)若z是纯虚数,求m的值和|z|;
(2)设是z的共轭复数,复数-2z在复平面内对应的点位于第二象限,求m的取值范围.
迁移创新
9.(2022河北石家庄期末)某同学在解题时发现,以下三个式子的结果都等于同一个常数:
①,②,③(i为虚数单位).从三个式子中任意选择一个,求出这个常数为　　　　;根据三个式子的结构特征及计算结果,将该同学的发现推广为一个复数恒等式:　　　　　　　 .
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.D 2.C 5.B 6.A 7.C 9.C 10.C 11.B
12.C 13.B 14.C 15.C 16.C 17.D 18.C
1.D　由题知复数z=-1+i,则i.
2.C　∵(a+i)(1-ai)=2,∴a-a2i+i-ai2=2,
∴a+a+(1-a2)i=2,∴∴a=1.
3.答案　3
解析　z=(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,
∴z的实部为3.
4.答案　2
解析　∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,∴a-2=0,解得a=2.
5.B　由复数的几何意义可知,z=1+2i,
所以i·z=i·(1+2i)=-2+i,故选B.
6.A　(1+3i)(3-i)=6+8i,故该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限.故选A.
7.C　∵z在复平面内对应的点为(x,y),
∴复数z=x+yi(x,y∈R),
∴z-i=x+(y-1)i,|z-i|==1,
∴x2+(y-1)2=1.
8.答案　2
解析　解法一:设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
则a2+b2=4,c2+d2=4,
又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i,
∴a+c=,b+d=1,
则(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2ac+2bd=4,
∴8+2ac+2bd=4,即2ac+2bd=-4,
∴|z1-z2|=
=
=.
解法二:如图,设在复平面内,复数z1,z2所对应的点分别为Z1,Z2,,
由|z1|=|z2|=2,可知点Z1,Z2在以O为圆心,2为半径的圆上.
由|=2=|OZ1|=|OZ2|,知点P在该圆上,且平行四边形OZ1PZ2为菱形,∠Z1OZ2=120°,
∴∠POZ1=60°,∴|z1-z2|=||=2×2×sin 60°=2.
9.C　|2+i2+2i3|=|1-2i|=,故选C.
10.C　z=,所以,所以z-=-i,故选A.
11.B　z==1-2i,所以=1+2i.故选B.
12.C　∵z=2-i,∴=2+i,
∴z(+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C.
13.B　由题意得z=i.
14.C　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入2(z+)=4+6i,得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故选C.
15.C　由(1+ai)i=3+i,得-a+i=3+i,所以-a=3,即a=-3.故选C.
16.C　=1-i.故选C.
17.D　∵z=1+i,∴z2-2z=(1+i)2-2(1+i)=1+2i+i2-2-2i=-2,∴|z2-2z|=2.
18.C　∵z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,
∴|z|=|1+i|=,故选C.
三年模拟练
1.C 2.ABD 3.CD
1.C　因为 z·=|1+i|,所以根据棣莫弗公式可知,z·=z·,即z·(-1+i)=2,则z==-1-i,因此复数z在复平面内对应的点为Z(-1,-1),它位于第三象限.
2.ABD　因为z1+z2=3-i,z1-z2=5+3i,所以2z1=(3-i)+(5+3i)=8+2i,2z2=(3-i)-(5+3i)=-2-4i,解得z1=4+i,z2=-1-2i,A正确;
复数z2在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限,B正确;
2z1+z2=2(4+i)+(-1-2i)=7,为实数,C错误;
z1z2=(4+i)(-1-2i)=-2-9i,所以z1z2的共轭复数为-2+9i,D正确.
故选ABD.
3.CD　对于方程x3=1,移项得到x3-1=0,因式分解可得(x-1)(x2+x+1)=0,x=1为其实数根,需要求虚数根,解方程x2+x+1=0即可,解得x=.故选CD.
4.答案　3
解析　因为复数z=+(m2+2m-15)i为实数,
所以解得m=3.
5.答案　
解析　由题意得,ω=i,
由题得,得a2=4,
又a>0,所以a=2,所以ω=+3i,
故|ω|=.
6.答案　-
解析　由eiθ=cos θ+isin θ,得e2 023iπ=cos 2 023π+isin 2 023π=-1,
由(e2 023iπ+i)·z=i,得z=i,
故z的虚部是-.
7.答案　-1
解析　∵|z|=1,∴z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,
|z-1-i|的几何意义为圆上的点到点P(1,1)的距离,
如图,
∴|z-1-i|的最小值为|OP|-1=-1.
8.解析　z=i.
(1)∵z是纯虚数,∴解得m=.
故z=3i,故|z|=|3i|=3.
(2)i,
∵复数-2z在复平面内对应的点位于第二象限,
∴解得m<-.
故m的取值范围为.
9.答案　i;=i(a,b∈R,且a,b不同时为零)
解析　(1)①=i.
②=i.
③=i.(选择其中一个进行求解即可)
(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果,可以得到=i(a,b∈R,且a,b不同时为零).
下面进行证明:
=i.
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