2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--第五章　复数复习提升(含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台
2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视复数相等的条件致错
1.(2022广东江门期末)实数x,y满足条件:(x+y)+(y-1)i=y+(2y+1)i(其中i为虚数单位),则x+y=(　　)
A.-2　　　B.2　　　C.3　　　D.-3
2.(2021山东临沂一中月考)已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x-1)+i=y-(3-y)i,求x的值与纯虚数y.
易错点2　对复数的几何意义考虑不全面致错
3.(2022福建石狮第八中学期中)在复平面内,将复数+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°,则所得向量对应的复数为　　　　.
4.(2022上海新场中学期末)求实数m的值或取值范围,使得复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i在复平面内所对应的点Z分别位于:
(1)虚轴上;
(2)第四象限.
易错点3　对复数范围内的方程问题考虑不全面致错
5.已知方程x2+kx-i=0有一个根是i,求另一个根及k的值.
6.已知关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实数根,求实数a的值和这个实数根.
易错点4　混淆复数运算与实数运算致错
7.(2023云南师范大学附属中学月考)已知复数z满足(1-i)z=(1+i)3,则|z|=(　　)
A.　　　B.2　　　C.2　　　D.4
8.(2021天津一中期中)若复数z1=2,则z1·z2的辐角的主值为　　　　.
9.(2022广东广州外国语实验中学期中)i为虚数单位,计算=　　　　.
思想方法练
一、分类讨论思想
1.已知关于z的方程z2+5z+m=0的两根分别为z1,z2,且满足|z1-z2|=3,则实数m的值为　　　　.
2.设a>0,在C内解方程z2+2|z|=a.
二、函数与方程思想
3.(2022河南商丘名校联考)设复数z满足|z+1|=|z-i|(i为虚数单位),则|z-i|的最小值为　　　　.
4.(2023山东日照第一中学月考)设a是实数,复数z1=1+2i,z2=(a+i)(1-i)(i是虚数单位).
(1)若z2在复平面内对应的点在第一象限内,求a的取值范围;
(2)求|+z2|的最小值.
三、数形结合思想
5.(2023广西柳州、梧州大联考)已知z∈C,且|z+i|=1,i为虚数单位,则|z-2|的最大值是　　　　.
6.在复平面内,A,B,C对应的复数分别为z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及AD的长.
四、转化与化归思想
7.(2023陕西西安西北工业大学附属中学月考)在复平面内,复数(a∈R)对应的点位于第四象限,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,+∞)　　　B.(-∞,0)　　　
C.(2,+∞)　　　D.(-∞,2)
8.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.
(1)求|z|及z的实部的取值范围;
(2)设μ=,求证:μ是纯虚数;
(3)在(2)的条件下,求ω-μ2的最小值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.A　因为(x+y)+(y-1)i=y+(2y+1)i,
所以
所以x+y=-2.
2.解析　根据已知条件可设y=bi(b∈R,b≠0),代入(2x-1)+i=y-(3-y)i,整理得(2x-1)+i=-b+(b-3)i,根据复数相等的定义,得
所以x=-,y=4i.
易错警示　复数相等的定义是将复数问题向实数问题转化的桥梁,要注意得到的一般是两个实数等式组成的方程组.
3.答案　-1+i
解析　∵复数+i对应的向量为(,1),其与实轴正方向所成的角为30°,
将其按逆时针方向旋转90°后所得向量与实轴正方向所成的角为120°,
∴所得向量为(2cos 120°,2sin 120°),即(-1,),
∴所得向量对应的复数为-1+i.
易错警示　利用复数与向量的对应关系解题时,注意对向量的方向、夹角等的思考与讨论.
4.解析　(1)由题意得,m2-8m+15=(m-3)(m-5)=0,可得m=3或m=5.
当m=3时,z=-20i,则点Z(0,-20)在虚轴上,符合题意;
当m=5时,z=-14i,则点Z(0,-14)在虚轴上,符合题意.
综上,m=3或m=5.
(2)由题意得可得m∈(-2,3)∪(5,7).
易错警示　利用复数在复平面内对应的点的位置确定参数时,应注意点在坐标轴上与在象限内的不同条件的等价转化.
5.解析　将x=i代入原方程得i2+ki-i=0,由此可得k=1-i,设x0是方程的另一个根,则由根与系数的关系可得x0i=-i,所以x0=-1.
易错警示　实系数一元二次方程中的虚根是成对出现的,但如果题设中没有直接交代一元二次方程的系数是实数,就不能应用上述结论.
6.解析　设方程的实数根为m,
则3m2-m-1=(10-m-2m2)i,
根据复数相等的定义,得
解得
所以当实数a=11时,实数根为2;当实数a=-时,实数根为-.
7.B　z==2i2=-2,所以|z|=2.
8.答案　
解析　z1·z2=2×
,所以z1·z2的辐角的主值为.
9.答案　-1+i
解析　
=
=
=(-i)2 022+(1-i)2 022
=-1+[(1-i)2]1 011
=-1+(-2i)1 011=-1-i1 011=-1+i.
易错警示　在分母实数化的过程中,(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).
思想方法练
1.答案　4或
解析　对于方程z2+5z+m=0,其判别式Δ=25-4m.
分Δ≥0和Δ<0讨论.
若Δ≥0,则m≤,则方程z2+5z+m=0的两根均为实数,且|z1-z2|==3,解得m=4,满足题意;
若m>,则方程z2+5z+m=0的两根均为虚数,该方程可化简为-m,
故两根分别为-i,
不妨设z1=-i,
所以|z1-z2|==3,
解得m=,满足题意.
综上,m的值为4或.
思想方法　在求解有关复数方程时,由于有的参数未指明范围(是实数还是虚数),所以方程的解不明,所以需要结合分类讨论思想进行求解.
2.解析　∵a,|z|∈R,
∴z2=a-2|z|∈R,
∴z为实数或纯虚数.
由z2∈R,可得z为实数或纯虚数,再分类讨论.
①若z为实数,则原方程转化为|z|2+2|z|-a=0,所以|z|=-1+,所以z=±(-1+).
②若z为纯虚数,设z=bi(b≠0,b∈R),
于是方程转化为|b|2-2|b|+a=0.
(i)当0(ii)当a>1时,方程无解.
综上,当01时,z=
±(-1+).
3.答案　
解析　设z=a+bi,a,b∈R.
设出复数z的代数形式z=a+bi,a,b∈R,将已知条件转化为关于a,b的方程,体现了方程思想.
∵|z+1|=|z-i|,即|a+1+bi|=|a+(b-1)i|,
∴(a+1)2+b2=a2+(b-1)2,
化简得a=-b.
∴|z-i|=|a+(b-1)i|=,
∴当b=时,|z-i|min=.
构造关于b的二次函数,利用配方法求最值,体现了函数思想.
4.解析　(1)z2=(a+i)(1-i)=a+1+(1-a)i,由题意得解得-1(2)由z1=1+2i,可得=1-2i,则+z2=a+2-(a+1)i,
∴|,∴当a=-时,|+z2|取得最小值,且最小值为.
利用二次函数的性质求最值,体现了函数思想.
思想方法　复数问题中模的最值问题除了利用数形结合思想求解外,还可以利用函数思想求解,通常根据复数的模的计算公式建立函数关系,利用函数的最值进行求解;而复数问题中的求值问题,可以利用复数的有关性质或方程的相关知识进行求解,这体现了方程思想.
5.答案　4
解析　设z=a+bi,a,b∈R,则|z+i|=|a+(b+1)i|==1,所以复数z在复平面内对应的点在以(0,-1)为圆心,1为半径的圆上,记该圆为圆C.
而|z-2,它表示圆C上的点与点(2,0)之间的距离,如图,
由图可知,最大距离等于圆心与点(2,0)之间的距离再加上半径,
故|z-2|的最大值为+1=4.
6.解析　如图所示:
对应复数z3-z1,对应复数z2-z1,对应复数z4-z1.由向量加法的几何意义,得,
∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1)=[(5+i)-(1+i)]+[(3+3i)-(1+i)]=6+2i.
∴z4=(6+2i)+(1+i)=7+3i,
AD的长为|.
利用复数与向量间的对应关系,在复平面内画出图形并求解,体现了数形结合思想.
思想方法　复数的几何意义,复数的模以及复数加、减法的几何意义都是数形结合思想的体现.比如在复平面内,|z|表示复数z对应的点与坐标原点间的距离,|z-(a+bi)|(a,b∈R)表示复数z对应的点与点(a,b)间的距离,从而可以利用数形结合思想,使抽象问题形象化,复杂问题简单化.
7.A　=2-ai,
∵复数(a∈R)在复平面内对应的点(2,-a)位于第四象限,
∴-a<0,即a>0,故实数a的取值范围为(0,+∞).
将复数(a∈R)在复平面内对应的点位于第四象限转化为关于a的不等式,进而求出a的取值范围.
8.解析　设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0).
(1)由题得ω=a+bi+i.
∵ω是实数,b≠0,
∴b-=0,
∴a2+b2=1,即|z|=1,
∴ω=2a,
又-1<ω<2,
∴-∴z的实部的取值范围为.
设出复数z的代数形式,将复数问题实数化.
(2)证明:μ=i.
∵a∈,b≠0,
∴μ为纯虚数.
(3)ω-μ2=2a+-3,
∵a∈,∴a+1>0,
∴ω-μ2≥2×2-3=4-3=1,
当且仅当a+1=,即a=0(a=-2舍去)时,ω-μ2取得最小值,且最小值为1.
思想方法　寻求联系,实现转化,是转化与化归思想在复数中应用的关键,如把复数z设成z=a+bi(a,b∈R)或者z=r(cos θ+isin θ)(r,θ∈R)的形式,从而将问题转化成关于实数a,b或r,θ的问题,实现复数问题实数化;也可把复数用其在复平面内对应的点或者向量表示,从而将复数问题几何化等.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)