2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--第一章　三角函数拔高练(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
综合拔高练
五年高考练
考点1　三角函数的定义
1.(2020全国Ⅱ,2)若α为第四象限角,则(　　)
A.cos 2α>0　　　B.cos 2α<0　　　
C.sin 2α>0　　　D.sin 2α<0
2.(2020北京,9)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=
sin β”的(　　)
A.充分而不必要条件　　　
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件　　　
D.既不充分也不必要条件
考点2　三角函数的图象变换
3.(2022全国甲文,5)将函数f(x)=sinωx+(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
4.(2021全国乙理,7)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)=(　　)
A.sin　　　B.sin
C.sin　　　D.sin
5.(2020天津,8)已知函数f(x)=sin.给出下列结论:
①f(x)的最小正周期为2π;
②f是f(x)的最大值;
③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
其中所有正确结论的序号是(　　)
A.①　　　B.①③　　　C.②③　　　D.①②③
6.(2020江苏,10)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　.
考点3　三角函数的图象及应用
7.(2021浙江,7)已知函数f(x)=x2+,g(x)=sin x,则图象为下图的函数可能是(　　)
A.y=f(x)+g(x)-　　　B.y=f(x)-g(x)-
C.y=f(x)g(x)　　　D.y=
8.(2020浙江,4)函数y=xcos x+sin x在区间[-π,π]上的图象可能是(　　)
9.(2020全国Ⅰ,7)设函数f(x)=cosωx+在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
10.(多选题)(2020全国新高考Ⅰ,10)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=(　　)
A.sin　　　B.sin
C.cos　　　D.cos
11.(2021全国甲文,15)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f =　　　　.
12.(2021全国甲理,16)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件>0的最小正整数x为　　　　.
考点4　三角函数的性质
13.(2023全国乙理,6)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f =(　　)
A.-　　　B.-
C.　　　D.
14.(2023天津,5)已知函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)=sin　　　B.f(x)=cos
C.f(x)=sin　　　D.f(x)=cos
15.(2021全国新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
16.(2019北京,6)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的　(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
17.(2022全国乙理,15)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.
18.(2023新课标Ⅱ,16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.
19.(2020北京,14)若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为　　　　.
三年模拟练
应用实践
1.(2022内蒙古包头期末)一个扇形的弧长和面积都是2,则这个扇形的圆心角的弧度数为　(　　)
A.　　　B.1　　　C.　　　D.2
2.(2022黑龙江牡丹江三中月考)使lg(sin θ·cos θ)+有意义的θ为(　　)
A.第一象限角　　　B.第二象限角
C.第三象限角　　　D.第四象限角
3.(2023浙江嘉兴二模)相传早在公元前3世纪,古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线(经线)的两个城市(赛伊城和亚历山大城)进行观测,如图,将地球抽象成一个圆,O为其圆心,当太阳光直射赛伊城某水井S时,亚历山大城某处A的太阳光线与地面所成的角θ=82.8°,又知某商队旅行时测得A与S之间的距离(即劣弧的长)为5 000古希腊里,若圆周率π的值取为3.125,则可估计地球半径R为(　　)
A.35 000古希腊里　　　B.40 000古希腊里
C.45 000古希腊里　　　D.50 000古希腊里
4.(2022安徽名校联考)函数f(x)=的图象大致为(　　)
5.(多选题)(2023湖北云学新高考联盟学校联考)下面命题中是假命题的有(　　)
A.若sin α>sin β,则α>β
B.若sin θ>0,则θ是第一象限角或第二象限角
C.若一个扇形所在圆的半径为2,其圆心角为2弧度,则扇形的周长为8
D.若角α的顶点是原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(4,m)(m≠0),且sin α=,则tan α=
6.(2021四川内江第三次模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,函数图象与y轴的交点为(0,-),则f(2 021π)=(　　)
A.-　　　B.-　　　C.　　　D.
7.(2023吉林长春三模)已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
8.(多选题)(2023四川成都外国语学校月考)设a,b∈R,定义运算a b=已知函数f(x)=sin x cos x,则(　　)
A. f(x)是偶函数
B.2π是f(x)的一个周期
C. f(x)在上单调递减
D. f(x)的最小值为-1
9.(2022山西怀仁期末)将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度得到g(x)的图象.若x1,x2∈[-2π,2π],g(x1)·g(x2)=9,则x1-x2的最大值为　　　　.
10.(2021黑龙江双鸭山一中月考)已知.
(1)求tan α的值;
(2)求2sin2(3π-α)+cossin-α的值.
11.(2023河南桐柏第一高级中学月考)在“①f(x)图象的一条对称轴是直线x=,②f(0)=-,③f(x)的图象关于点中心对称”这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作出详细解答.
设函数f(x)=sin(2x+φ),且　　　　.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若f ,求cos的值.
12.(2022辽宁沈阳二中月考)如图,某公园摩天轮的半径为40 m,其中心O距地面的高度为50 m,摩天轮按逆时针方向匀速转动,每30分钟转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
(1)已知在t分钟时点P距离地面的高度(单位:m)为f(t)=Asin(ωt+φ)+hω>0,|φ|≤,求转动2 020分钟时点P距离地面的高度;
(2)在摩天轮上,当距离地面(50+20)m以上时,可以看到公园的全貌,则摩天轮转动一圈的过程中有多长时间可以看到公园全貌
13.(2023河北石家庄二中月考)已知函数f(x)=ln,t为方程4x-2x+1-3=0的根.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)若不等式ef(x)≤m2+2tm+t2+2t对于任意m∈R恒成立,求满足条件的x的集合(其中e为自然对数的底数).
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 7.D 8.A 9.C
10.BC 13.D 14.B 15.A 16.C
D　解法一:∵α是第四象限角,∴-+2kπ<α<2kπ,k∈Z,
∴-π+4kπ<2α<4kπ,k∈Z,∴角2α的终边在第三或第四象限,或在y轴非正半轴上,∴sin 2α<0,cos 2α可正、可负、可为零.故选D.
解法二:∵α是第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,∴sin 2α=2sin αcos α<0,故选D.
2.C　(1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ.
(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,sin α=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sin β;
(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,sin α=sin(2nπ+β)=sin β.
由(i)(ii)知,充分性成立.
(2)必要性:若sin α=sin β成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,
即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故选C.
3.C　设曲线C对应的函数为y=g(x),
则g(x)=sin,
又曲线C关于y轴对称,
∴+kπ(k∈Z),∴ω=2k+(k∈Z).
又ω>0,∴ωmin=.故选C.
4.B　将函数y=sin个单位长度可得函数y=sin的图象,再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=f(x)的图象,则f(x)=sin,故选B.
易错警示　(1)忽略图象的平移规律“左加右减”,从而错选A;
(2)对横坐标伸长到原来的2倍理解不清,误认为是x的系数乘2,从而错选D.
5.B　函数f(x)=sin的最小正周期T==2π,①正确;易知f<1,②错误;把函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,得到的是函数y=sin的图象,③正确.
综上,①③正确,②错误.故选B.
6.答案　x=-π
解析　将函数y=3sin个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=3sin.由2x-+kπ,k∈Z,得x=π,k∈Z,当k=-1时,对称轴方程为x=-π,故平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=-π.
7.D　由题图可知函数为奇函数且在上先增后减.A选项,y=x2+sin x,B选项,y=x2-sin x均不符合奇函数这条性质,故排除;C选项,y=sin x,显然f(x),g(x)均在上单调递增,且f(x)>0,g(x)>0,故y=sin x在上单调递增,故排除.故选D.
8.A　设f(x)=xcos x+sin x,易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除C、D;又f(π)=πcos π+sin π=-π,所以排除B.故选A.
9.C　解法一:设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可得T<π--(-π),所以,又因为|ω|=,所以.由题图可知f=0,且-是函数f(x)的上升零点,所以-(k∈Z),所以-(k∈Z),所以|ω|=|3k-1|(k∈Z),又因为,所以k=0,所以|ω|=,所以T=.故选C.
解法二(五点法):由函数f(x)的图象知,ω×,解得ω=,所以函数f(x)的最小正周期为,故选C.
10.BC　由题图可知,,∴T=π,由T=可知,=π,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),又∵图象过=0,又∵是f(x)的下降零点,∴+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,则f(x)=sin,故选BC.
11.答案　-
解析　由题图可知点在f(x)的图象上,∴,则T=π,所以|ω|==2,不妨取ω=2,则函数f(x)=2cos(2x+φ),将代入得,2×+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,
∴f,k∈Z.
12.答案　2
解析　设函数f(x)的最小正周期为T,则,解得T=π,则=π,解得|ω|=2,不妨取ω=2,此时f(x)=2cos(2x+φ).
将代入上式,结合题图得+2kπ,k∈Z,
∴φ=-+2kπ,k∈Z,取φ=-,
∴f(x)=2cos,
∴f=1,
f=0,
∴不等式可化为[f(x)-1]f(x)>0,解得f(x)>1或f(x)<0.
由f(x)>1,得2cos>1,即cos,①
由f(x)<0,得cos<0,②
由①得-+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ,k∈Z,
欲使x为最小正整数,则k=1,此时;
由②得+2kπ,k∈Z,
解得+kπ,k∈Z,
欲使x为最小正整数,则k=0,此时.
综上,最小正整数x为2.
13.D　由题意画出f(x)图象的简图(如图).
由图可知点为f(x)图象的相邻最低点和最高点,
设f(x)的最小正周期为T,
由题意知,
又T=,所以|ω|=2,
不妨令ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),
将代入,得sin=-1,
所以+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z,
所以f(x)=sin,k∈Z,
故f.故选D.
14.B　观察四个选项都是sin ωx或cos ωx(ω>0)形式,因为f(x)的一个周期为4,所以=4(k∈N*),即ω=(k∈N*),排除C,D.当x=2时,x=π,对于A,sin π=0,所以直线x=2不是对称轴,排除A.故选B.
15.A　f(x)=7sin,
令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,
解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
令k=0,得-≤x≤.故选A.
16.C　若b=0,则f(x)=cos x,故函数f(x)为偶函数,故充分性成立;若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),所以cos(-x)+bsin(-x)=cos x+bsin x对任意x∈R恒成立,即bsin x=0对任意x∈R恒成立,所以b=0,故必要性成立.故“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.
17.答案　3
解析　∵T=,ω>0, f(T)=,
∴cos,∴cos φ=,
∵0<φ<π,∴φ=,
又f =0,
∴(k∈Z),∴(k∈Z),
∴ω=9k+3(k∈Z).
∵ω>0,∴k=0时,ω取得最小值,为3.
18.答案　-
解析　设点A,x1由题图可知(k1∈Z),
则ω(x2-x1)=,
故ω=4,
函数图象过点,结合题图知4×+φ=2kπ(k∈Z),即φ=2kπ-(k∈Z),
所以f(x)=sin(k∈Z),
故f(π)=sin.
19.答案　(答案不唯一)
解析　∵f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,
∴cos x=1,解得x=2kπ,k∈Z,
则sin(x+φ)=sin(2kπ+φ)=sin φ=1,
∴φ=+2nπ,n∈Z,∴可取φ=.
三年模拟练
1.B 2.C 3.B 4.A 5.ABD 6.A 7.A 8.BC
1.B　设这个扇形的圆心角的弧度数为α,半径为r,则故选B.
2.C　依题意得sin θcos θ>0且-cos θ≥0,
由sin θcos θ>0得sin θ与cos θ同号,
则θ为第一或第三象限角,
由-cos θ≥0,即cos θ≤0知θ为第二或第三象限角,或角θ的终边在y轴上,或角θ的终边在x轴的非正半轴上.
综上,θ为第三象限角.故选C.
3.B　设圆的周长为C,A,S两地间的距离为l,对应的圆心角为n°,
则l=.
由题知l=5 000古希腊里,n°=90°-θ,即n=7.2,
∴R==40 000(古希腊里).
4.A　根据题意,得f(-x)=-f(x), f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是奇函数,排除C,D.当00,排除B.故选A.
5.ABD　对于A,若α=,则满足sin α>sin β,但α<β,故A为假命题;
对于B,若θ=,则满足sin θ>0,但θ不是象限角,而是轴线角,故B为假命题;
对于C,该扇形的弧长为θ·r=2×2=4,
故该扇形的周长为4+2×2=8,故C为真命题;
对于D,由题意得,sin α=(m≠0),则m=±3,则tan α=±,故D为假命题.
故选ABD.
6.A　由题意可得f(0)=2sin φ=-,即sin φ=-,
因为函数f(x)在x=0附近单调递增,所以φ=2kπ-(k∈Z),
则f(x)=2sin,
由f=2,可得+2nπ(n∈Z),
∴ω=2+(n∈Z),
由题中图象可知,函数f(x)的最小正周期T满足,可得,
即,解得,
即,
因为n∈Z,所以n=0,可得ω=2,
从而f(x)=2sin,
因此f(2 021π)=2sin.故选A.
7.A　因为x∈(0,2π),ω>0,所以ωx-,令z=ωx-,则z∈.
画出y=2cos z+1,z∈的大致图象,如图,
结合图象可知,要想f(x)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则2ωπ-,
解得ω∈.
故选A.
8.BC　易得f(x)=sin x cos x=
画出f(x)的图象,如图中实线部分所示:
对于A,因为f(x)的图象不关于y轴对称,所以f(x)不是偶函数,故A错误;
对于B,由图象可知f(x)的一个周期为=2π,故B正确;
对于C,当x∈时,sin x≤cos x,且仅在x=处取等号,则f(x)=cos x,而f(x)=cos x在上单调递减,故C正确;
对于D,由图象可知,f(x)的最小值为-,故D错误.
故选BC.
9.答案　3π
解析　由题意得g(x)=2sin+1,则g(x)的值域为[-1,3].
因为当x1,x2∈[-2π,2π]时, g(x1)·g(x2)=9,所以g(x1)=g(x2)=3.
令g(x)=2sin+1=3得sin=1,
则2x+,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,
又x∈[-2π,2π],所以x1,x2可取的值为-,
故x1-x2的最大值为=3π.
10.解析　(1)因为,所以,解得tan α=2.
(2)2sin2(3π-α)+cos·sin=2sin2α+(-sin α)·
(-cos α)==2.
11.解析　(1)选择①:因为直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴,
所以sin=±1,
所以,k∈Z,
因为-π<φ<-,
所以φ=-,
所以f(x)=sin.
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
所以函数f(x)=sin,k∈Z.
选择②:因为f(0)=-,所以sin φ=-,
又因为-π<φ<-,所以φ=-,
所以f(x)=sin.
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
所以函数f(x)=sin的单调递增区间为kπ+,k∈Z.
选择③:因为f(x)的图象关于点中心对称,所以2×+φ=kπ,k∈Z,
又因为-π<φ<-,所以φ=-,所以f(x)=sin.令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.所以函数f(x)=sin,k∈Z.
(2)由(1)得f(x)=sin,所以f .
所以cos.
12.信息提取　①摩天轮按逆时针方向匀速转动,每30分钟转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处; ②在t分钟时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h;③当距离地面(50+20)m以上时,可以看到公园的全貌.
数学建模　以公园里的摩天轮为背景,构建三角函数模型,体现了数学建模的核心素养.
对于(1),首先确定A,h及周期T的值,由此可求得ω的值,结合f(0)=10可求得φ的值,从而得到f(t)的解析式;将t=2 020代入,即可求得结果.对于(2),令f(t)>50+20求得t的范围,由此可得结果.
解析　(1)由题意得A=40,h=50,周期T=30,
∴ω=.
∵f(0)=40sin φ+50=10,∴sin φ=-1,
又|φ|≤,
∴f(t)=40sin+50(t≥0),
∴f(2 020)=40sin+50=40sin +50=70,
故转动2 020分钟时点P距离地面的高度为70 m.
(2)由(1)知f(t)=40sint(t≥0).
令f(t)>50+20,得cos,
∴2kπ+(k∈N),
∴30k+(k∈N).
∵=5,
∴摩天轮转动一圈的过程中有5分钟可以看到公园全貌.
13.解析　(1)易知sin x≠±1,
∴函数f(x)的定义域为,关于原点对称,
又f(-x)=ln,
所以f(x)+f(-x)=ln=ln 1=0,
即f(-x)=-f(x),
故函数f(x)为奇函数.
(2)4x-2x+1-3=0 (2x)2-2×2x-3=0 (2x-3)(2x+1)=0 2x=3 x=log23,
∵t为方程4x-2x+1-3=0的根,∴t=log23.
由ef(x)≤m2+2tm+t2+2t,可得≤m2+2mlog23+(log23)2+3=(m+log23)2+3,
上式恒成立,只需≤[(m+log23)2+3]min,
即≤3,又1-sin x>0,
∴1+sin x≤3(1-sin x),
∴4sin x≤2,即sin x≤,
解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
又x≠kπ+,k∈Z,
∴满足条件的x的集合为x2kπ-≤x≤2kπ+且x≠kπ+,k∈Z.
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