湖南省2008届高三十二校联考第一次考试
数学试卷（文科）
总分：150分 时量：120分钟 2008年3月2日
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
设全集，集合，，则为( )
A． B． C． D．
2．已知，，且，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
3． 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．
4．已知函数的图象关于 （ ）
A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y=x对称
5．下列函数中，图像的一部分如右图所示的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．若二项式的展开式的第5项为常数项，则n的值为 （ ）
A．6 B．10 C．12 D．15
7．在等比数列 （ ）
A． B． C． D．
8．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是
A．4 B．5 C．6 D．7
9．设实数满足 ，则有
A． B． C． D．
10．若a是 与的等比中项，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11．已知函数的反函数为＝
12．点到直线的距离等于4，且在不等式表示的平面区域内，则点P的坐标是 .
13．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得. 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面(点法式)方程为 .(请写出化简后的结果)
14．如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E
染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜
色不相同，则不同的染色方法共有 种 。
15．已知实数数列中，=1，=32，，把数列的各项排成如右图的三角形状。记为第m行从左起第n个数，则
（1）= ；
（2）若，则m+n= 。
三.解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若=，且，求．
17.（本小题满分12分）
一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：
（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；
（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率．
18. （本小题满分12分）
已知点列，且与向量垂直，其中c是不等于零的实常数，n是正整数. 设，求数列的通项公式，并求其前n项和.
19.（本小题满分13分）
已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．
20．（本小题满分13分）
某人上午7时，乘摩托艇以匀速海里/时(4≤≤20)从港出发到距50海里的港去，然后乘汽车以千米/时(30≤≤100)自港向距300千米的市驶去，应该在同一天下午4至9点到达市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是小时.
(1)写出所满足的条件，并在所给的平面直角坐标系内，作出表示范围的图形；
(2)如果已知所需的经费(元)，那么分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？
21．（本小题满分13分）
已知直线相交于A、B两点，且（其中O为坐标原点）。
（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）求证：不论如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标；
（3）若直线过（2）中的定点P，且椭圆的离心率，求原点到直线距离的取值范围。 文科数学答案
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
设全集，集合，，则为( C )
A． B． C． D．
2．已知，，且，则向量与向量的夹角是（ B ）
A． B． C． D．
3． 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ C ）
A．8 B．6 C．4 D．
4．已知函数的图象关于 （ B ）
A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y=x对称
5．下列函数中，图像的一部分如右图所示的是 （ D ）
A．
B．
C．
D．
6．若二项式的展开式的第5项为常数项，则n的值为 （ C ）
A．6 B．10 C．12 D．15
7．在等比数列 （D ）
A． B． C． D．
8．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ C ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．设实数满足 ，则有（ B ）
A． B． C． D．
10．若a是 与的等比中项，则的最大值为（ D ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11．已知函数的反函数为＝ －6
12．点到直线的距离等于4，且在不等式表示的平面区域内，则点P的坐标是 （7，3） .
13．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得. 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面(点法式)方程为 .(请写出化简后的结果)
14．如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E
染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜
色不相同，则不同的染色方法共有 30 种 。
15．已知实数数列中，=1，=32，，把数列的各项排成如右图的三角形状。记为第m行从左起
第n个数，则
（1）= ；
（2）若，则m+n= 11 。
16.(本题满分12分)
在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若=，且，求．
解：（1）
又 解得．
，是锐角． ． …………6分
（2）， ， ．
又 ． ．
． ． …………12分
17.（本小题满分12分）
一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：
（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；
（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率．
解：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率…………………… 6分
（Ⅱ）取到黑球时取球次数为1次，2次，3次的事件，分别记为、、．
， ，
所以，取球次数不超过3次的概率是
＝＋＋=．
答：取球次数不超过3次的概率是．…………………………………………12分
18. （本小题满分12分）
已知点列，且与向量垂直，其中c是不等于零的实常数，n是正整数. 设，求数列的通项公式，并求其前n项和.
解：由题意得： …………2分
∵垂直，
∴
∵ …………4分
∴
…………6分
当c=1时， …………8分
当c≠1时，
…………12分
19.（本小题满分13分）
已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．
解：（Ⅰ）取PC的中点O，连结OF、
OE．∴FO∥DC，且FO=DC
∴FO∥AE ……………………2分
又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE．
∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE
又OE平面PEC，AF平面PEC
∴AF∥平面PEC……………………………4分
（Ⅱ）连结AC
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平
面ABCD所成的角……………………6分
在Rt△PAC中，
即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 ……………………8分
（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连结PM，由三垂线定理．得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P—EC—D的平面角． ……………………11分
由△AME∽△CBE，可得，∴
∴二面角P一EC一D的大小为 ……………………13分
解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系，
则A（0．0，0），B（2，0，0），C（2，l，0），
D（0，1，0），F（0，，），E（1，0，0），P（0，0，1）
（Ⅰ）取PC的中点O，连结OE，则O（1，，），
∴
又OE平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC
（Ⅱ）由题意可得，平面ABCD的法向量
即直线PC与平面ABCD所成的角大小为
（Ⅲ）设平面PEC的法向量为
则，可得，令，则
由（Ⅱ）可得平面ABCD的法向量是
∴二面角P一EC一D的大小为
20. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速海里/时(4≤≤20)从港出发到距50海里的港去，然后乘汽车以千米/时(30≤≤100)自港向距300千米的市驶去，应该在同一天下午4至9点到达市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是小时.
(1)写出所满足的条件，并在所给的平面直角坐标系内，作出表示范围的图形；
(2)如果已知所需的经费(元)，那么分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？
解：(1) 由题意得：＝,,4≤≤20,30≤≤100,
∴3≤x≤10,≤y≤.①
由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时之间，即9≤x+y≤14,②
因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).
(2) 因为p=100+3(5－x)+2(8－y),所以3x+2y=131－p,设131－p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元.
21．（本小题满分13分）
已知直线相交于A、B两点，且（其中O为坐标原点）。
（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）求证：不论如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标；
（3）若直线过（2）中的定点P，且椭圆的离心率，求原点到直线距离的取值范围。 解：
（1） 由…1分
由
…………4分
…………6分
（2） 由整理得，
则不论a,b如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点……8分
（3）将定点坐标代入直线方程得，直线
则原点到直线的距离为＝ ……9分 ，
由此得…………11分
令，设，
因为
因为，所以,故＝在上为增函数。
故原点到直线距离的取值范围为。…………13
湖南省2008届高三 十二校联考 第一次考试
数学试卷（理科）
总分：150分 时量：120分钟 2008年3月2日下午
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
设全集，集合，，则为( )
A． B． C． D．
2．已知，，且，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
3． 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．
4．已知{}是等差数列,,,则过点，的直线的斜率为 （ ）
A．4 B． C．— 4 D．
5.已知，则的值为 ( )
A． B． C． D．
6．下列命题中正确的命题个数是 ( )
①. 如果共面，也共面,则共面;
②.已知直线a的方向向量与平面，若//，则直线a//;
③若共面，则存在唯一实数使,反之也成立;
④.对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面
A.3 B.2 C.1 D.0
7．函数与有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有，且 ，则
A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
8．设a，b，c均为正数，且，则 （ ）
A．a
9．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是 （ ）
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分；
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10.
10．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.）
11．复数的实部与虚部之和为 。
12．点到直线的距离等于4，且在不等式表示的平面区域内，则点P的坐标是 。
13．若双曲线的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则双曲线的渐近线方程是 。
14．如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 种 。
15．已知集合，函数的定义域为Q.
（I）若，则实数a的值为 ；
（II）若，则实数a的取值范围为 .
三.解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
在△ABC中，若△ABC的重心在轴负半轴上，求实数的取值范围．
17.（本小题满分12分）
旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．
（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同线路的概率P1；
（Ⅱ）求恰有2条线路没有被选择的概率P2；
（Ⅲ）求选择甲线路的旅游团数(的分布列与数学期望．
18. （本小题满分12分）
已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为数列{}的前n项和为，点均在函数的图像上.
（I）求数列{}的通项公式；
（II）设，的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.
19.（本小题满分13分）
已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．
20．（本小题满分13分）
已知抛物线为抛物线的焦点。
（Ⅰ）
（Ⅱ）若抛物线上的点面积的最小值，并写出此时过P点的切线方程。
21．（本小题满分13分）
如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为；折痕与AB交于点E，点M满足关系式。若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：
（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形的三边分别与曲线S切于点，其中A1,D1在x轴上，求梯形面积的最小值.
数学试卷(理科)参考答案
时量:120分钟 满分: 150分
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
设全集，集合，，则为( C )
A． B． C． D．
2．已知，，且，则向量与向量的夹角是（ B ）
A． B． C． D．
3． 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ C ）
A．8 B．6 C．4 D．
4．已知{}是等差数列,,,则过点，的直线的斜率为 （ C ）
A．4 B． C．— 4 D．
5．已知，则的值为 (D)
A． B． C． D．
6．下列命题中不正确的命题个数是 ( D )
①. 如果共面，也共面,则共面;
②.已知直线a的方向向量与平面，若//，则直线a//;
③若共面，则存在唯一实数使,反之也成立;
④.对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面
A.3 B.2 C.1 D.0
7．函数与有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有，且 ，则 （ B ）
A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
8．设a，b，c均为正数，且，则（ A ）
A．a9．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是 （ B ）
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分；
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10.
10．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ C ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11．复数的实部与虚部之和为 －1
12．点到直线的距离等于4，且在不等式表示的平面区域内，则点P的坐标是 （7，3） .
13．若双曲线的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则双曲线的渐近线方程是 .
14．如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 30 种 。
15．已知集合，函数的定义域为Q.
（I）若，则实数a的值为 ；
（II）若，则实数a的取值范围为 .
三.解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
在△ABC中，若△ABC的重心在轴负半轴上，求实数的取值范围．
解：依题意得：
由（1）得： …………………………5分
由（2）得： ………………………… 8分
……………………………………………… 11分
∴的取值范围是 ………………… 12分
17.（本小题满分12分）
旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．
（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同线路的概率P1；
（Ⅱ）求恰有2条线路没有被选择的概率P2；
（Ⅲ）求选择甲线路的旅游团数(的分布列与数学期望．
解：（Ⅰ）； …………………3分
（Ⅱ）； …………………12分
（Ⅲ）(的取值为0、1、2、3．
，．
∴(的分布列为：
(
0
1
2
3
P
∴E(=． …………………12分
18．（12分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为数列{}的前n项和为，点均在函数的图像上.
（I）求数列{}的通项公式；
（II）设，的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.
解：（I）设这二次函数，
由于，得
…………2分
又因为点的图像上，
所以
当
…………6分
（II）由（I）得知
…………7分
故
…………9分
因此，要使，必须且仅须满足
即， …………11分
所以满足要求的最小正整数m为10。 …………12分
19.（本小题满分13分）
已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．
解：（Ⅰ）取PC的中点O，连结OF、
OE．∴FO∥DC，且FO=DC
∴FO∥AE ……………………2分
又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE．
∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE
又OE平面PEC，AF平面PEC
∴AF∥平面PEC
（Ⅱ）连结AC
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平
面ABCD所成的角……………………6分
在Rt△PAC中，
即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 ……………………9分
（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连结PM，由三垂线定理．得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P—EC—D的平面角． ……………………11分
由△AME∽△CBE，可得，∴
∴二面角P一EC一D的大小为 ……………………13分
解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系，
则A（0．0，0），B（2，0，0），C（2，l，0），
D（0，1，0），F（0，，），E（1，0，0），
P（0，0，1）
（Ⅰ）取PC的中点O，连结OE，则O（1，，），
∴ ……………………5分
又OE平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC ………………… 6分
（Ⅱ）由题意可得，平面ABCD的法向量
即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 …………9分
（Ⅲ）设平面PEC的法向量为
则，可得，令，则 ……11分
由（2）可得平面ABCD的法向量是
∴二面角P一EC一D的大小为 ……………………13分
20.(本小题满分13分)
已知抛物线为抛物线的焦点。
（Ⅰ）
（Ⅱ）若抛物线上的点面积的最小值，并写出此时过P点的切线方程。
解：（Ⅰ）设
令
。
（Ⅱ）知
=
显然只需考查函数
时，也取得最小值 。
故此时过P点的切线PR的方程为：
21．（本小题满分13分）
如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为；折痕与AB交于点E，点M满足关系式。若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：
（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形的三边分别与曲线S切于点.求梯形面积的最小值.
解：（1）如图，设M（x,y），，又E（0，b）
显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b,,则
而的中点在直线l上，
故，①
由于代入①即得，又
点M的轨迹方程（）-------------6分
（2）易知曲线S的方程为
设梯形的面积为，点P的坐标为.
由题意得，点的坐标为，直线的方程为.
直线的方程为
即：
令 得，
令 得，
当且仅当，即时，取“=”且，
时，有最小值为.
梯形的面积的最小值为----------13分
