(共5张PPT)
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
b
a
o
x
y
)
M
B
A
双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
b
a
o
x
y
)
M
B
A
⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式
相比较而得到，所以双曲线的参数方程
的实质是三角代换.
说明：
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
例2、
O
B
M
A
x
y
解：(共13张PPT)
椭圆的参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
O
A
M
x
y
N
B
分析：
点M的横坐标与点A的横坐标相同,
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.
而A、B的坐标可以通过
引进参数建立联系.
设∠XOA=φ
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
O
A
M
x
y
N
B
解：
设∠XOA=φ, M(x, y), 则
A: (acosφ, a sinφ),
B: (bcosφ, bsinφ),
由已知:
即为点M的轨迹参数方程.
消去参数得:
即为点M的轨迹普通方程.
1 .参数方程 是椭圆的参
数方程.
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外,
称为离心角,规定参数
的取值范围是
φ
O
A
M
x
y
N
B
知识归纳
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
x
y
O
圆的标准方程:
圆的参数方程:
x2+y2=r2
θ的几何意义是
∠AOP=θ
P
A
θ
椭圆的参数方程:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
(1)
(2)
(3)
(4)
把下列参数方程化为普通方程
练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为（ ），焦点坐标是（ ），离心率是（ ）。
4
2
( , 0)
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
l：x-y+4=0的距离最小.
x
y
O
P
分析1：
分析2：
分析3：
平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
例3、已知椭圆 有一内接矩形ABCD，
求矩形ABCD的最大面积。
y
X
O
A2
A1
B1
B2
F1
F2
A
B
C
D
Y
X
练习3:已知A,B两点是椭圆
与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
练习4
1、动点P(x,y)在曲线 上变化 ，求2x+3y的最大值和最小值
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 .
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段
B
设中点M (x, y)
x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ(共18张PPT)
1、参数方程的概念：
探究P21
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度
作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面
（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？
x
y
500
o
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
思考：
对于一般的抛物线，怎样建立相应的参数方程呢？
抛物线的参数方程
o
y
x
)
H
M(x，y)
思考：参数t的几何意义是什么？
抛物线的参数方程
o
y
x
)
H
M(x，y)
思考：P21
怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p>0)的
参数方程？
在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？
一、课题引入
根据直线的几何条件，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？
根据直线的这个几何条件，你认为应当怎样选择参数？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
二、新课讲授
B
三、例题讲解
如果在学习直线的参数方程之前,你会怎样求解本题呢？
①
①
四、课堂小结
四、课堂练习(共19张PPT)
第二讲 参 数 方 程
1、参数方程的概念
（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y都是某个变数t的函数，即
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。
（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。
1.圆的参数方程
（1）轨迹问题
（2）求最值
4.应用
5. 小结
2.参数方程与普通方程的概念
3.参数方程与普通方程的互化
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
观察1
①
并且对于 的每一个允许值,由方程组①所
确定的点P(x,y),都在圆O上.
5
o
思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？
我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为
r的圆的参数方程，
是参数.
观察2
(a,b)
r
又
所以
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
∴参数方程为
(θ为参数)
练习：
1.填空：已知圆O的参数方程是
(0≤ ＜2 )
⑴如果圆上点P所对应的参数 ，则点P的坐标是
A
的圆，化为标准方程为
（2，-2）
1
例3
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么
x
M
P
A
y
O
解:设M的坐标为(x,y),
∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =6+2cosθ
y =2sinθ
x =4cosθ
y =4sinθ
圆x2+y2=16
的参数方程为
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么
解:设M的坐标为(x,y),
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
由中点坐标公式得:
点P的坐标为(2x-12,2y)
∴(2x-12)2+(2y)2=16
即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4
∵点P在圆x2+y2=16上
x
M
P
A
y
O
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值，
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），
（1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ +6cosθ=14+2 sin(θ +ψ).
(其中tan ψ =3/2)
∴ x2+y2 的最大值为14+2 ，最小值为14- 2 。
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin（ θ + ）
∴ x+y的最大值为5+ ，最小值为5 - 。
(3)
显然当sin（ θ+ ）= 1时，d取最大值，最
小值，分别为 ， 。
小 结:
1、圆的参数方程
2、参数方程与普通方程的概念
3、圆的参数方程与普通方程的互化
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法
5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
(2)
(3)
x=t+1/t
y=t2+1/t2
（1）（x-2）2+y2=9
（2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1）
（3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
步骤：（1）消参；
（2）求定义域。(共10张PPT)
cn(共16张PPT)
3、参数方程和普通方程
的互化
参数方程和普通方程的互化：
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
（t为参数）
②在普通方程xy=1中，令x = tan ,可以化为参数方程
（ 为参数）
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
如：①参数方程
消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
（t为参数）
可得普通方程：y=2x-4
通过代入消元法消去参数t ,
（x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。
否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程，
并说明它们各表示什么曲线？
练习、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
(2)
(3)
x=t+1/t
y=t2+1/t2
（1）（x-2）2+y2=9
（2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1）
（3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
步骤：（1）消参；
（2）求定义域。
例２、求参数方程
表示
（ ）
（A）双曲线的一支，这支过点（1，
）：
（B）抛物线的一部分，这部分过（
1，
）；
（C）双曲线的一支，这支过点（–1，
）；
（D）抛物线的一部分，这部分过（–1，
）
分析
一般思路是：化参数方程为普通方程
求出范围、判断。
解
x2=
=1+sin =2y，
普通方程是x2=2y，为抛物线。
，又0< <2 ，
0，故应选（B）
说明
这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法
是最好的方法。
例4
思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值
范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
在y=x2中，x∈R, y≥0，
分析:
发生了变化，因而与 y=x2不等价；
在A、B、C中，x,y的范围都
而在Ｄ中，
且以
练习:
普通方程
参数方程
引入参数
消去参数
小 结
