广东湛江市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·湛江期末）设全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高二下·湛江期末）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·湛江期末）已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二下·湛江期末）圆台的上 下底面半径分别是，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二下·湛江期末）已知，，且，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．（2023高二下·湛江期末）有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98
则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ）
A．65，76，82 B．66，74，82 C．66，76，79 D．66，76，82
7．（2023高二下·湛江期末）已知表示的曲线是圆，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二下·湛江期末）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023高二下·湛江期末）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
10．（2023高二下·湛江期末）下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D．平面α经过三点是平面α的法向量，则
11．（2023高二下·湛江期末）有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（ ）
A．残差平方和变小
B．相关系数变小
C．决定系数变小
D．解释变量与响应变量的相关性变强
12．（2023高二下·湛江期末）若函数的图象上至少存在两点，使得函数的图象在两点处的切线互相平行，则称为R函数，则下列函数可称为R函数的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2023高二下·湛江期末）的展开式中的系数为 ．
14．（2023高二下·湛江期末）有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为5%，第二台加工的次品率为4%，加工出来的零件混放在一起，已知第一 二台车床加工的零件数分别占总数的40%，60%，从中任取一件产品，则该产品是次品的概率是 .
15．（2023高二下·湛江期末）数列中，，若其前k项和为86，则 ．
16．（2023高二下·湛江期末）已知双曲线经过点，双曲线C的离心率为，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 ．
四、解答题
17．（2023高二下·湛江期末）已知在 中， ， 分别是角 所对的边.
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的面积.
18．（2023高二下·湛江期末）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和.
19．（2023高二下·湛江期末）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥.
（1）设平面平面，证明：⊥平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（2023高二下·湛江期末）已知函数（，e为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）求函数的极值的最大值.
21．（2023高二下·湛江期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为.该局比赛甲乙依次轮换发球权(甲先发球)，每人发两球后轮到对方进行发球.
（1）求在前4球中，甲领先的概率；
（2）12球过后，双方战平(6：6)，已知继续对战奇数球后，甲率先取得11分获得胜利(获胜要求净胜2分及以上).设净胜分为(甲，乙的得分之差)，求的分布列.
22．（2023高二下·湛江期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由题意可得，
故选：A
【分析】根据题意先计算，再计算。
2．【答案】D
【知识点】共轭复数
【解析】【解答】解：因为与互为共轭复数，所以.
故答案为：D.
【分析】根据共轭复数的定义求出，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为为第二象限角，，根据同角三角函数基本关系可得，则，化简可得，解得.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，结合同角三角函数几班关系以及两角和的正、余弦公式化简即可求得的值.
4．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：易得圆台的高，所以圆台的体积为.
故答案为：B.
【分析】先求圆台的高，再利用圆台的体积公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以，，又因为，故存在实数，使得，所以解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量坐标运算先求，以及，再根据，故存在实数，满足，列方程组求解即可.
6．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：22个样本数据从小到大为 56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98 ，25%分位数为：，所以样本的25%分位数为数据的第6个数据66；中位数为：；75%分位数为：，所以样本的25%分位数为数据的第17个数据82.
故答案为：D.
【分析】根据样本数据，利用百分位数和中位数的定义计算即可.
7．【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：因为表示的曲线为圆，所以解得.
故答案为：C.
【分析】根据表示圆，需满足即可求解的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.
故答案为：D.
【分析】 可以判断所求函数为奇函数，利用函数的奇偶性可排除选项A， B；利用函数在上的单调性可判断选项C， D.
9．【答案】A,C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线，即，可知开口向上，焦点为，由焦点到准线的距离为，所以焦点到准线的距离为4，准线方程为.
故答案为：AC.
【分析】先化抛物线方程为标准方程，根据抛物线标准方程和性质即可得相关结论.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面的法向量
【解析】【解答】解：A、因为不能构成空间的一个基底，所以共面，即共面，故A正确；
B、因为，，所以，即，故B正确；
C、，，，所以，则直线在平面内或直线，故C错误；
D、因，所以，由题意可得，故，即.
故答案为：ABD.
【分析】根据基底的概念判断A；由空间两直线垂直，方向向量垂直判断B；根据直线的方向向量和平面的法向量垂直，即可判断C；根据平面的法向量垂直平面内任意直线即可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】散点图
【解析】【解答】解：对散点图分析可知，去掉点后，解释变量与响应变量的线性相关性增强，所以相关系数变大，决定系数也变大，残差平方和变小.
故答案为：AD.
【分析】根据散点图数据分析，判断相关系数，决定系数以及残差的平方和的变化情况即可.
12．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、定义域为，，恒成立，所以在为增函数，不存在两点的导数值相等，故不是函数，故A不符合；
B、函数的定义域为，，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以存在两点导函数值相等，故B符合；
C、的定义域为，，令，所以，再令，则，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以在上为增函数，不存在两点导数值相等，故C不符合；
D、定义域为，，当时，，所以函数为函数，故D 符合.
故答案为：BD.
【分析】先求各个函数的定义域，再求导利用导数判断函数的单调性，利用单调性判断是否存在两点使得导数值相等即可.
13．【答案】240
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】的展开式的通项为：
令，则
∴的展开式中的系数为240
故答案为：240.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得的系数.
14．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记A=“任取一件为次品”，B=“零件为第一台车床加工的”，“零件为第二台车床加工的”，则有，
由全概率公式可得.
故答案为：.
【分析】根据全概率公式计算即可.
15．【答案】7
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，可得以2为首项，公比为-2的等比数列，所以前k项和为，解得.
故答案为：.
【分析】由题意可得数列以2为首项，公比为-2的等比数列，根据等比数列的前项和公式求解即可得解.
16．【答案】4
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线经过点，则，双曲线的离心率为，结合，可解得，所以双曲线的标准方程为.双曲线的一个焦点为，一条渐近线为，根据点到直线的距离公式得：.
故答案为：4.
【分析】由题意得出双曲线的标准方程，找出焦点和渐近线，根据点到直线的距离公式即可求解.
17．【答案】（1） 解：∵ ， A∈(0，π)，
∴A∈(0，)，
∴，，
（2）解： ∵ ，
∴，
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=，
由，得，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得sinA，tanA，再由求解即可；
(2)先求得cosB，再结合sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，得sinC，利用得a=2，最后代入三角形的面积公式得答案.
18．【答案】（1）解：设数列的公差为，由，有：，解得或(舍去)
∴.
（2）解：，
∴，将它们累加得：
∴，则.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 设数列的公差为 ，由得，解得，所以；
（2）由（1）得，利用累加法可得，再由裂项相消法求得数列的前项和.
19．【答案】（1）平面平面，
平面.
平面，平面平面，
.
由图①，得，
.
平面，
平面；
（2）由题意，得.
又，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
.
设平面的一个法向量为.
则，
令，得，故.
设与平面所成角为.
直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由得到线面平行平面，进而由线面平行的性质得到， 由，进而证明出 平面；
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系.，求出平面的一个法向量，利用空间向量求出直线与平面所成角的正弦值.
20．【答案】（1）的定义域为，，
当时，，∴在上单调递增.
当时，令，得，
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知当时，无极值；
当时，存在极小值，且极小值为
，无极大值.
设，，则，
令，得，当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减.
∴的最大值为.
∴的极小值的最大值为1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，利用导数的性质分，分类讨论函数 的单调性；
（2）由函数的单调性，求出函数的极值，设，再利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的极值的最大值.
21．【答案】（1）甲与乙的比分是4：0的概率为
比分是3：1的概率为
故前4球中，甲领先的概率
（2）依题意，接下来由甲先发球.继续对战奇数球后，甲获得11分胜利，即甲11：6或11：8获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜.
记比分为5：0为事件，则
记比分为5：2为事件，即前6场比赛中，乙获胜两场，期间甲发球4次，乙发球两次
故甲依题意获胜的概率为
的所有可能取值为3，5
由条件概率有，，故的分布列为
3 5
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；分类加法计数原理
【解析】【分析】（1）计算甲与乙的比分是4：0 ， 比分是3：1两种情况的概率，然后由分类计数原理求解即可；
（2）先计算出随机变量的所有可能取值为3，5 ，然后求出其对应的概率，列出分布列，根据数学期望的计算公式求解即可.
22．【答案】（1）由题意点是椭圆的一个顶点，知，
因为是等腰直角三角形，所以，即，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）若直线的斜率存在，设其方程为，由题意知．
由，得，
由题意知，设，，
所以，，
因为，所以
，
所以，整理得，
故直线的方程为，即，
所以直线过定点．
若直线的斜率不存在，设其方程为，，．
由题意得，解得，
此时直线的方程为，显然过点．
综上，直线过定点．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意点是椭圆的一个顶点，知， 再由是等腰直角三角形，可得 ，进而求出，即可得椭圆的标准方程；
（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，若直线的斜率存在，设其方程为 ，与椭圆方程联立得， 由韦达定理得 ，，直线，的斜率之和，得到直线的方程为， 所以直线过定点．若直线的斜率不存在， 直线仍然过，所以直线过定点．
1 / 1广东湛江市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·湛江期末）设全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由题意可得，
故选：A
【分析】根据题意先计算，再计算。
2．（2023高二下·湛江期末）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共轭复数
【解析】【解答】解：因为与互为共轭复数，所以.
故答案为：D.
【分析】根据共轭复数的定义求出，即可求解.
3．（2023高二下·湛江期末）已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为为第二象限角，，根据同角三角函数基本关系可得，则，化简可得，解得.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，结合同角三角函数几班关系以及两角和的正、余弦公式化简即可求得的值.
4．（2023高二下·湛江期末）圆台的上 下底面半径分别是，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：易得圆台的高，所以圆台的体积为.
故答案为：B.
【分析】先求圆台的高，再利用圆台的体积公式求解即可.
5．（2023高二下·湛江期末）已知，，且，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以，，又因为，故存在实数，使得，所以解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量坐标运算先求，以及，再根据，故存在实数，满足，列方程组求解即可.
6．（2023高二下·湛江期末）有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98
则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ）
A．65，76，82 B．66，74，82 C．66，76，79 D．66，76，82
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：22个样本数据从小到大为 56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98 ，25%分位数为：，所以样本的25%分位数为数据的第6个数据66；中位数为：；75%分位数为：，所以样本的25%分位数为数据的第17个数据82.
故答案为：D.
【分析】根据样本数据，利用百分位数和中位数的定义计算即可.
7．（2023高二下·湛江期末）已知表示的曲线是圆，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：因为表示的曲线为圆，所以解得.
故答案为：C.
【分析】根据表示圆，需满足即可求解的取值范围.
8．（2023高二下·湛江期末）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.
故答案为：D.
【分析】 可以判断所求函数为奇函数，利用函数的奇偶性可排除选项A， B；利用函数在上的单调性可判断选项C， D.
二、多选题
9．（2023高二下·湛江期末）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
【答案】A,C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线，即，可知开口向上，焦点为，由焦点到准线的距离为，所以焦点到准线的距离为4，准线方程为.
故答案为：AC.
【分析】先化抛物线方程为标准方程，根据抛物线标准方程和性质即可得相关结论.
10．（2023高二下·湛江期末）下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D．平面α经过三点是平面α的法向量，则
【答案】A,B,D
【知识点】平面的法向量
【解析】【解答】解：A、因为不能构成空间的一个基底，所以共面，即共面，故A正确；
B、因为，，所以，即，故B正确；
C、，，，所以，则直线在平面内或直线，故C错误；
D、因，所以，由题意可得，故，即.
故答案为：ABD.
【分析】根据基底的概念判断A；由空间两直线垂直，方向向量垂直判断B；根据直线的方向向量和平面的法向量垂直，即可判断C；根据平面的法向量垂直平面内任意直线即可判断D.
11．（2023高二下·湛江期末）有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（ ）
A．残差平方和变小
B．相关系数变小
C．决定系数变小
D．解释变量与响应变量的相关性变强
【答案】A,D
【知识点】散点图
【解析】【解答】解：对散点图分析可知，去掉点后，解释变量与响应变量的线性相关性增强，所以相关系数变大，决定系数也变大，残差平方和变小.
故答案为：AD.
【分析】根据散点图数据分析，判断相关系数，决定系数以及残差的平方和的变化情况即可.
12．（2023高二下·湛江期末）若函数的图象上至少存在两点，使得函数的图象在两点处的切线互相平行，则称为R函数，则下列函数可称为R函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、定义域为，，恒成立，所以在为增函数，不存在两点的导数值相等，故不是函数，故A不符合；
B、函数的定义域为，，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以存在两点导函数值相等，故B符合；
C、的定义域为，，令，所以，再令，则，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以在上为增函数，不存在两点导数值相等，故C不符合；
D、定义域为，，当时，，所以函数为函数，故D 符合.
故答案为：BD.
【分析】先求各个函数的定义域，再求导利用导数判断函数的单调性，利用单调性判断是否存在两点使得导数值相等即可.
三、填空题
13．（2023高二下·湛江期末）的展开式中的系数为 ．
【答案】240
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】的展开式的通项为：
令，则
∴的展开式中的系数为240
故答案为：240.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得的系数.
14．（2023高二下·湛江期末）有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为5%，第二台加工的次品率为4%，加工出来的零件混放在一起，已知第一 二台车床加工的零件数分别占总数的40%，60%，从中任取一件产品，则该产品是次品的概率是 .
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记A=“任取一件为次品”，B=“零件为第一台车床加工的”，“零件为第二台车床加工的”，则有，
由全概率公式可得.
故答案为：.
【分析】根据全概率公式计算即可.
15．（2023高二下·湛江期末）数列中，，若其前k项和为86，则 ．
【答案】7
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，可得以2为首项，公比为-2的等比数列，所以前k项和为，解得.
故答案为：.
【分析】由题意可得数列以2为首项，公比为-2的等比数列，根据等比数列的前项和公式求解即可得解.
16．（2023高二下·湛江期末）已知双曲线经过点，双曲线C的离心率为，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 ．
【答案】4
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线经过点，则，双曲线的离心率为，结合，可解得，所以双曲线的标准方程为.双曲线的一个焦点为，一条渐近线为，根据点到直线的距离公式得：.
故答案为：4.
【分析】由题意得出双曲线的标准方程，找出焦点和渐近线，根据点到直线的距离公式即可求解.
四、解答题
17．（2023高二下·湛江期末）已知在 中， ， 分别是角 所对的边.
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1） 解：∵ ， A∈(0，π)，
∴A∈(0，)，
∴，，
（2）解： ∵ ，
∴，
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=，
由，得，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得sinA，tanA，再由求解即可；
(2)先求得cosB，再结合sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，得sinC，利用得a=2，最后代入三角形的面积公式得答案.
18．（2023高二下·湛江期末）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设数列的公差为，由，有：，解得或(舍去)
∴.
（2）解：，
∴，将它们累加得：
∴，则.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 设数列的公差为 ，由得，解得，所以；
（2）由（1）得，利用累加法可得，再由裂项相消法求得数列的前项和.
19．（2023高二下·湛江期末）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥.
（1）设平面平面，证明：⊥平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）平面平面，
平面.
平面，平面平面，
.
由图①，得，
.
平面，
平面；
（2）由题意，得.
又，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
.
设平面的一个法向量为.
则，
令，得，故.
设与平面所成角为.
直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由得到线面平行平面，进而由线面平行的性质得到， 由，进而证明出 平面；
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系.，求出平面的一个法向量，利用空间向量求出直线与平面所成角的正弦值.
20．（2023高二下·湛江期末）已知函数（，e为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）求函数的极值的最大值.
【答案】（1）的定义域为，，
当时，，∴在上单调递增.
当时，令，得，
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知当时，无极值；
当时，存在极小值，且极小值为
，无极大值.
设，，则，
令，得，当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减.
∴的最大值为.
∴的极小值的最大值为1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，利用导数的性质分，分类讨论函数 的单调性；
（2）由函数的单调性，求出函数的极值，设，再利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的极值的最大值.
21．（2023高二下·湛江期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为.该局比赛甲乙依次轮换发球权(甲先发球)，每人发两球后轮到对方进行发球.
（1）求在前4球中，甲领先的概率；
（2）12球过后，双方战平(6：6)，已知继续对战奇数球后，甲率先取得11分获得胜利(获胜要求净胜2分及以上).设净胜分为(甲，乙的得分之差)，求的分布列.
【答案】（1）甲与乙的比分是4：0的概率为
比分是3：1的概率为
故前4球中，甲领先的概率
（2）依题意，接下来由甲先发球.继续对战奇数球后，甲获得11分胜利，即甲11：6或11：8获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜.
记比分为5：0为事件，则
记比分为5：2为事件，即前6场比赛中，乙获胜两场，期间甲发球4次，乙发球两次
故甲依题意获胜的概率为
的所有可能取值为3，5
由条件概率有，，故的分布列为
3 5
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；分类加法计数原理
【解析】【分析】（1）计算甲与乙的比分是4：0 ， 比分是3：1两种情况的概率，然后由分类计数原理求解即可；
（2）先计算出随机变量的所有可能取值为3，5 ，然后求出其对应的概率，列出分布列，根据数学期望的计算公式求解即可.
22．（2023高二下·湛江期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
【答案】（1）由题意点是椭圆的一个顶点，知，
因为是等腰直角三角形，所以，即，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）若直线的斜率存在，设其方程为，由题意知．
由，得，
由题意知，设，，
所以，，
因为，所以
，
所以，整理得，
故直线的方程为，即，
所以直线过定点．
若直线的斜率不存在，设其方程为，，．
由题意得，解得，
此时直线的方程为，显然过点．
综上，直线过定点．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意点是椭圆的一个顶点，知， 再由是等腰直角三角形，可得 ，进而求出，即可得椭圆的标准方程；
（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，若直线的斜率存在，设其方程为 ，与椭圆方程联立得， 由韦达定理得 ，，直线，的斜率之和，得到直线的方程为， 所以直线过定点．若直线的斜率不存在， 直线仍然过，所以直线过定点．
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