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（总课时45）§6.4 数据的离散程度 (2）
【学习目标】进一步加深认识平均数、方差、标准差的概念；
【学习重难点】根据极差、方差、标准差的大小对实际问题作出解释.[。科
【导学过程】
一.知识回顾：
1.什么是极差、方差、标准差？方差的计算公式是什么？一组数据的方差与这组数据的波动有怎样的关系？
极差：一组数据中最大数据与最小数据的差叫极差；
方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数叫方差.公式：
标准差就是方差的算术平方根.公式：
2.计算下列两组数据的方差与标准差：
①1，2，3，4，5； ②103，102，98，101，96.
解：①方差=10，标准差= ②方差=34 标准差=
二.探究新知：
探究1：根据图表感受数据的稳定性
引例1射箭时，通常新手成绩会比老手差一些，而且成绩通常不太稳定。小明和小华练习射箭，第一局12支箭射完后，两人的成绩如下图所示。请根据图中信息估计小明和小华谁是新手，并说明你这样估计的理由。
解：由图知：小明的平均成线优于小华，且小华的成绩起伏比较大，所以上华应是新手.
练习1.如图是某一天A、B两地的气温变化图，请回答下列问题：
(3)A、B两地的气候各有什么特点？A地温差较大，B地温差较小.
探究2：利用数据的稳定性做出抉择
我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好呢？ 我们通过实例来探讨。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
引例2.某校从甲、乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生运动会跳远比赛，该校预先对这两名选手测试了10次，测试成绩如下表（单位：cm）：
（1）甲的平均成绩是601.6cm.乙的平均成绩是599.3cm.
（2）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是：65.84，284.21
（3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？甲比乙的成绩稳定等
（4）历届比赛表明，成绩达到596cm就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？
（5）如果历届比赛表明，成绩达到610cm就能打破记录，你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛？
解：（4）为了夺冠应选甲参加这项比赛，甲有9次超过596cm,而乙只有5次超过596cm.（5）为了打破记录应选乙参加这项比赛.乙有4次超过610cm，甲只有3次超过610cm.
练习2.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：米)分别如下：
甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67.
乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75.
(1)甲、乙两名运动员的跳高的平均成绩分别是 1.69cm、1.68cm .
(2)他们哪个的成绩更为稳定？
经预测，跳高1.65米就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测1.70方可夺得冠军呢？
解：（2）S2甲=0.0006，S2乙=0.315，S2甲（3）甲，甲每一次比赛的成绩都超过1.65cm，相对较稳定，乙则有时高有时低，不稳定.
若预测1.70方可夺得冠军选乙，乙有5次超过1.70cm，甲只有3次。
三.典例与练习：
例1.为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A、B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图表所示(单位：mm).
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（1）考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为B的成绩好些；
计算出S2B的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些。
（3）考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适.
解：（2）∵S2B=0.008<0.026=S2A∴在平均数相等的情况下，B的成绩好些.
（3）从图中折线走势可知，虽然A的成绩在前面波动较大，但后来逐渐稳定，误差较小，预测A的潜力较大，派A去参赛较合适.
练习3.在一组数据中的每项数据后加10，则该组数据的哪个数值不会发生变化（ A ）
A．标准差 B．平均数 C．中位数 D．众数
四.课堂小结：“方差越小越好”是错误的结论.
因为方差只是反映一组数据波动大小情况，至于波动大了好还是小了好，要看这组数据的实际问题，如在机器生产的零件质量与标准件的误差问题上，就应该是方差越小越好，如在选人员参加比赛的问题上，常常既要考虑平时的平均水平，更要考虑成绩发挥的潜能与后劲.此时方差的小的不一定是好的.
五.分层过关：
1.在体育达标测试中，某校初二(5)班第一小组六名同学一分钟跳绳成绩如下：93，138，98，152，138，183；则这组数据的极差是（C）A．138 B．183 C．90 D．93
2.某市5月上旬的最高气温如下（单位：℃）：28、29、31、29、33，对这组数据，下列说法错误的是（C）
A.平均数是30 B. 众数是29 C. 中位数是31 D. 极差是5
3.下列说法正确的是（D）A. 数据1，﹣1，3，5的极差是4 B. 数据1，﹣1，3，5的方差是
C. 数据1，﹣1，3，5的标准差是5 D. 数据1，﹣1，3，5的方差是5
4.一同学计算数据x1，x2，…，xn的方差，算到s2=，如果他的计算没有错，可知这组数据的平均数等于___3____.
5.农科所对甲、乙两种棉花试验田各5块进行试验后，得到甲、乙两个品种每公顷的平均产量相同，而甲、乙两个品种产量的方差分别为，，则产量较为稳定的品种是_乙_（填“甲”或“乙”）。
6.一组数据方差是b，则数据方差是__b__．
7.甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7
乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5
（1）根据以上数据完成下表：
平均数 中位数 方差
甲 8 8 2
乙 8 8 2.2
丙 6 6 3
解(1)根据方差公式，
甲的方差为：
乙的平均数为：
把丙的成绩从小到大排列顺序为：3，4，5，5，6，6，7，7，8，9，中间两个数是6和6，根据中位数的概念，故丙成绩的中位数是6；
8.深圳某校八年级组建篮球队，对甲、乙两名备选同学进行定位投篮测试，每次投10个球，共投10次.甲、乙两名同学测试情况如图所示：
平均数 众数 方差
甲 7 6 1.2
乙 7 8 2.2
解：（2）甲、乙的平均数一样，甲的方差小于乙的方差，甲的成绩比乙的成绩稳定．
但乙投中篮的众数比甲投中篮的众数大，且从折线图看出，乙比甲潜能更大，故选择乙同学进入篮球队．
（1）这一天A、B两地的平均气温分别是：
A地平均气温20.42℃,B地的平均气温21.35℃.
(2)A地这一天气温的极差、方差分别是多少？B地呢？A地极差9.5℃，方差约7.76，B地极差6℃,方差约2.78；
（2）根据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定.并简要说明理由.
解：（2）∵，
∴甲的成绩最稳定.
（1）根据图中提供的信息填写下表：
（2）如果你是八年级学生会文体委员，会选择哪名同学进入篮球队？请说明理由.
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（总课时45）§6.4 数据的离散程度 (2）
一.选择题：
1.甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好都是1.6米，方差分别是，，则在本次测试中，成绩更稳定的同学是（ ）A．甲 B．乙 C．甲乙同样稳定 D．无法确定
2.甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次训练成绩的平均数与方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 180 180 185 185
方差 8.2 3.9 7.5 3.9
3.已知一组数据a，b，c，d，e的方差是7，则另一组数据a+2，b+2，c+2，d+2，e+2的方差为（ ）
A. 5 B. 7 C. 10 D. 3
4.某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为：
0.85、1.23、5.01、3.46，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5.为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了冬天连续4天的最高气温，结果如下（单位：）：－1，－3，－1，5.下列结论错误的是（ ）
A．平均数是0 B．中位数是－1 C．众数是－1 D．方差是6
6.为了迎接2022年的冬奥会，中小学都积极开展冰上运动，小乙和小丁进行500米短道速滑比赛，他们的五次成绩（单位：秒）如表所示：
1 2 3 4 5
小乙 45 63 55 52 60
小丁 51 53 58 56 57
设两人的五次成绩的平均数依次为乙，丁，成绩的方差依次为，，则下列判断中正确的是（）
A． B． C． D．
二.填空题：
7.样本数据3，6，，4，2的平均数是3，则这个样本的方差是__________.
8.甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.14s2，乙的方差是0.06s2，这5次短跑训练成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）
9.某一段时间，小芳测得连续五天的日最高气温后，整理得出下表（有一个数据被遮盖）．
日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温
最高气温 1℃ 2℃ －2℃ 1℃ 3℃ ■ 1℃
则被遮盖的数据是___.
10.已知一组数据的方差为2，则另一组数据的方差为____．
11.甲乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下（单位：吨/公顷）
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 品种
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 甲
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 乙
经计算，，试根据这组数据估计 中水稻品种的产量比较稳定．
三.解答题：
13.甲、乙两运动员的射击成绩（靶心为10环）统计如下表（不完全）：
1 2 3 4 5
甲 10 8 9 10 8
乙 10 9 9 a b
请作答：（1）若甲、乙射击成绩平均数都一样，则a＋b＝ ；
（2）在（1）的条件下，当甲比乙的成绩较稳定时，请列举出a，b的所有可能取值，并说明理由.
解：
14.甲、乙两班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，两个班选手的进球数统计如表，请根据表中数据解答下列问题
进球数/个 10 9 8 7 6 5
甲 1 1 1 4 0 3
乙 0 1 2 5 0 2
（1）分别写出甲、乙两班选手进球数的平均数、中位数与众数；
（2）如果要从这两个班中选出一个班级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球团体的第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？
解：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
某同学计算出了甲的成绩平均数是9，方差是＝0.2×[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝0.8，
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（总课时45）§6.4 数据的离散程度 (2）
【学习目标】进一步加深认识平均数、方差、标准差的概念；
【学习重难点】根据极差、方差、标准差的大小对实际问题作出解释.
【导学过程】
一.知识回顾：
1.什么是极差、方差、标准差？方差的计算公式是什么？一组数据的方差与这组数据的波动有怎样的关系？
极差：__________________________________________.
方差：_______________________________________.公式：_______________________________________
标准差:____________________.公式：_________________________________.
2.计算下列两组数据的方差与标准差：
①1，2，3，4，5； ②103，102，98，101，96.
二.探究新知：
探究1：根据图表感受数据的稳定性
引例1.射箭时，通常新手成绩会比老手差一些，而且成绩通常不太稳定。小明和小华练习射箭，第一局12支箭射完后，两人的成绩如下图所示。请根据图中信息估计小明和小华谁是新手，并说明你这样估计的理由。
解：_____________________________________________________.
练习1.如图是某一天A、B两地的气温变化图，请回答下列问题：
(3)A、B两地的气候各有什么特点？___________________.
探究2：利用数据的稳定性做出抉择
我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好呢？ 我们通过实例来探讨。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
引例2.某校从甲、乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生运动会跳远比赛，该校预先对这两名选手测试了10次，测试成绩如下表（单位：cm）：
（1）甲的平均成绩是__________.乙的平均成绩是____________.
（2）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是：___________
（3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？___________________
（4）历届比赛表明，成绩达到596cm就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？
（5）如果历届比赛表明，成绩达到610cm就能打破记录，你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛？
解：（4）_________________________________________________________________________________
（5）_______________________________________________________________________________________.
练习2.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：米)分别如下：
甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67.
乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75.
(1)甲、乙两名运动员的跳高的平均成绩分别是_____________.
(2)他们哪个的成绩更为稳定？
（3）经预测，跳高1.65米就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测1.70方可夺得冠军呢？
解:(2)_________________________________.
(3)________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________.
三.典例与练习：
例1.为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A、B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图表所示(单位：mm).
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（1）考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为___的成绩好些；
(2)计算出S2B的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些。
（3）考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适.
解：（2）_________________________________________________________
(3)______________________________________________________________________________________
____________________________
练习3.在一组数据中的每项数据后加10，则该组数据的哪个数值不会发生变化（ ）
A．标准差 B．平均数 C．中位数 D．众数
四.课堂小结：“方差越小越好”是错误的结论.
因为方差只是反映一组数据波动大小情况，至于波动大了好还是小了好，要看这组数据的实际问题，如在机器生产的零件质量与标准件的误差问题上，就应该是方差越小越好，如在选人员参加比赛的问题上，常常既要考虑平时的平均水平，更要考虑成绩发挥的潜能与后劲.此时方差的小的不一定是好的.
五.分层过关：
1.在体育达标测试中，某校初二(5)班第一小组六名同学一分钟跳绳成绩如下：93，138，98，152，138，183；则这组数据的极差是（ ）A．138 B．183 C．90 D．93
2.某市5月上旬的最高气温如下（单位：℃）：28、29、31、29、33，对这组数据，下列说法错误的是（ ）
A.平均数是30 B. 众数是29 C. 中位数是31 D. 极差是5
3.下列说法正确的是（ ）A. 数据1，﹣1，3，5的极差是4 B. 数据1，﹣1，3，5的方差是
C. 数据1，﹣1，3，5的标准差是5 D. 数据1，﹣1，3，5的方差是5
4.一同学计算数据x1，x2，…，xn的方差，算到s2=，如果他的计算没有错，可知这组数据的平均数等于_______.
5.农科所对甲、乙两种棉花试验田各5块进行试验后，得到甲、乙两个品种每公顷的平均产量相同，而甲、乙两个品种产量的方差分别为，，则产量较为稳定的品种是_ _（填“甲”或“乙”）。
6.一组数据的方差是b，则数据方差是____．
7.甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7
乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5
（1）根据以上数据完成下表：
平均数 中位数 方差
甲 8 8 ____
乙 ____ 8 2.2
丙 6 ____ 3
解(1)
8.深圳某校八年级组建篮球队，对甲、乙两名备选同学进行定位投篮测试，每次投10个球，共投10次.甲、乙两名同学测试情况如图所示：
平均数 众数 方差
甲 ____ ____ ____
乙 ____ ____ ____
（1）根据图中提供的信息填写下表：
（2）如果你是八年级学生会文体委员，会选择哪名同学进入篮球队？请说明理由.
（1）这一天A、B两地的平均气温分别是：
____________________________________________________________________.
(2)A地这一天气温的极差、方差分别是多少？B地呢？____________________
___________________.
B
A
（2）根据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定.并简要说明理由.
解：（2）
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（总课时45）§6.4 数据的离散程度 (2）
一.选择题：
1.甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好都是1.6米，方差分别是，，则在本次测试中，成绩更稳定的同学是（ A ）A．甲 B．乙 C．甲乙同样稳定 D．无法确定
2.甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次训练成绩的平均数与方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 180 180 185 185
方差 8.2 3.9 7.5 3.9
3.已知一组数据a，b，c，d，e的方差是7，则另一组数据a+2，b+2，c+2，d+2，e+2的方差为（ B ）
A. 5 B. 7 C. 10 D. 3
4.某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为：
0.85、1.23、5.01、3.46，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是（A）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5.为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了冬天连续4天的最高气温，结果如下（单位：）：－1，－3，－1，5.下列结论错误的是（ D ）
A．平均数是0 B．中位数是－1 C．众数是－1 D．方差是6
6.为了迎接2022年的冬奥会，中小学都积极开展冰上运动，小乙和小丁进行500米短道速滑比赛，他们的五次成绩（单位：秒）如表所示：
1 2 3 4 5
小乙 45 63 55 52 60
小丁 51 53 58 56 57
设两人的五次成绩的平均数依次为乙，丁，成绩的方差依次为，，则下列判断中正确的是（B）
A． B． C． D．
二.填空题：
7.样本数据3，6，，4，2的平均数是3，则这个样本的方差是____4______.
8.甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.14s2，乙的方差是0.06s2，这5次短跑训练成绩较稳定的是乙（填“甲”或“乙”）
9.某一段时间，小芳测得连续五天的日最高气温后，整理得出下表（有一个数据被遮盖）．
日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温
最高气温 1℃ 2℃ －2℃ 1℃ 3℃ ■ 1℃
则被遮盖的数据是_2.8__.
10.已知一组数据的方差为2，则另一组数据的方差为__18__．
11.甲乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下（单位：吨/公顷）
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 品种
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 甲
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 乙
经计算，，试根据这组数据估计甲中水稻品种的产量比较稳定．
三.解答题：
13.甲、乙两运动员的射击成绩（靶心为10环）统计如下表（不完全）：
1 2 3 4 5
甲 10 8 9 10 8
乙 10 9 9 a b
请作答：（1）若甲、乙射击成绩平均数都一样，则a＋b＝17；
（2）在（1）的条件下，当甲比乙的成绩较稳定时，请列举出a，b的所有可能取值，并说明理由.
解：（2）在（1）的条件下，a、b的值有四种可能：①②③④
第①种和第②种方差相等：＝ (1＋0＋0＋4＋1)＝1.2>，∴甲比乙的成绩较稳定.
第③种和第④种方差相等：＝(1＋0＋0＋0＋1)＝0.4<，∴乙比甲的成绩稳定.
因此，或时，甲比乙的成绩较稳定.
14.甲、乙两班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，两个班选手的进球数统计如表，请根据表中数据解答下列问题
进球数/个 10 9 8 7 6 5
甲 1 1 1 4 0 3
乙 0 1 2 5 0 2
（1）分别写出甲、乙两班选手进球数的平均数、中位数与众数；
（2）如果要从这两个班中选出一个班级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球团体的第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？
解：（1）甲班选手进球数的平均数为7，中位为7，众数为7；
乙班选手进球数的平均数为7，中位为7，众数为7；
（2）甲班S12＝ [（10﹣7）2 +（9﹣7）2+（8﹣7）2+4×（7﹣7）2+0×（6﹣7）2+3×（5﹣7）2]＝2.6，
乙班S22＝ [0×（10﹣7）2+（9﹣7）2+2×（8﹣7）2+5×（7﹣7）2+（6﹣7）2+2×（5﹣7）2]＝1.4．
∵甲方差＞乙方差，
∴要争取夺取总进球团体第一名，应选乙班．
∵甲班有一位百发百中的出色选手，
∴要进入学校个人前3名，应选甲班．
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择的是(D )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
某同学计算出了甲的成绩平均数是9，方差是＝0.2×[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝0.8，
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