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§17.1．1 变量与函数（1）21世纪教育网版权所有
课标要求：1.通过直观感知,领悟常量、变量、因变量、自变量与函数的意义.
2、了解函数的三种表示方法.
3、能应用方程思想列出实例中的等量关系，并能够列出简单问题的函数解析式.
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【导学核心点】
导学重点：在具体的问题情境中,探究出相应的函数关系式.
导学难点：对函数概念和对应思想的理解.
导学关键：问题情境━━概念归纳━━解决问题.
教具应用：
【导学过程】
一、知识链接：
问题l、下图(一)是某日的气温的变化图看图回答： ( http: / / www.21cnjy.com ) 1．这天的6时、10时和14时的气温分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是多少 任意给出这天中的某一时刻，你能否说出这一时刻的气温是多少吗 答： 2．这一天中，最高气温是多少 最低气温是多少 3．这一天中，什么时段的气温在逐渐升高 什么时段的气温在逐渐降低 从图中我们可以看出，随着时间t(时)的变化， 问题2：银行对各种不同的存款方式都 ( http: / / www.21cnjy.com )规定了相应的利率,下表是2002年7月中国工商银 行为“整存整取”的存款方式规定的年利率. 21世纪教育网版权所有 ┌─────┬────┬───┬────┬───┬────┬────┐ │ 存期x │ 三月 │ 六月 │ 一年 │ 二年 │ 三年 │五年 │ ├─────┼────┼───┼────┼───┼────┼────┤ │年利率y(%)│ 1.7100 │1.8900│ 1.9800 │2.2500│ 2.5200 │2.7900 │ └─────┴────┴───┴────┴───┴────┴────┘ 观察上表,说一说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的. 问题3 收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数：波长l（m）30050060010001500频率f(kHz)1000600500300200同学们是否会从表格中找出波长l与频率f的关系呢 问题4 设圆柱的底面直径与高h相等，求圆柱体积V的底面半径R的关系． 二、合作探究21世 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )纪教育网版权所有归纳抽象：21世纪教育网版权所有1、常量和变量：在某个变化过程中,可以取不同的值叫做变量,保持不变的量叫做常量.2、函数的概念： 在整个变化过程中,有两 ( http: / / www.21cnjy.com )个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确 定的值和它相对应,我们就说x是自变量,y是因变量,或称y是x的函数.三.例题解析：(多媒体演示)例1指出下列变化关系中,哪些y是x的函数 哪些不是 说出你的理由.xy=2②y2＝100-x2③x+y=5④│y│=3x+1⑤y=x2-4x+5 例2下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高. ( http: / / www.21cnjy.com )(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗 (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加 (3)上表反映了哪些变量之间的关系 其中哪个是自变量 哪个是因变量 21世纪教育网版权所有 例3 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：(1)圆的周长C与半径r的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；(3)n边形的内角和S与边数n的关系式． 21世纪教育网版权所有四、课堂检测：1、在y=3x+1中，如果x 是自变量， 是x的函数（10分）2、下列说法中，不正确的是（ ）（10分）A、函数不是数，而是 一种关系B、多边形的内角和是边数的函数C、一天中时间是温度的函数D、一天中温度是时间的函数3、根据所给的 条件，写出y与x的函数关系式：1）y 是 x的 倒数的4倍（20分）2）等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系（30分）21世纪教育网版权所有3）矩形的周长是18 cm ,它的长是y,宽是x cm （30分）21世纪教育网版权所有21世纪教育网版权所有五.学习小结 意义 解析法 (1)内容总结 函数表示法 图象法 (2)方法归纳 列表法 函数是表示事物运动变化的常用方法.对于实际问题，应该能够根据题意写出两个变量的相等关系，即列出函数关系式。 题后反思：题后反思：自我反思21世纪教育网版权所1．错因分析：2．矫正错误3．检测体会4．拓展延伸
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17.1变量与函数（1）21世纪教育网版权所有
知识技能目标 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
1.掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念；21世纪教育网版权所有
2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.
过程性目标
1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；
2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式. 21世纪教育网版权所有21·cn·jy·com
教学过程
一、创设情境
在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．21世纪教育网版权所有
问题1 如图是某地一天内的气温变化图．
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看图回答：
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解 (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；
(2)这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；
(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？21世纪教育网版权所有
二、探究归纳
问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率： www.21-cn-jy.com
观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的．
解 随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长．
问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：2·1·c·n·j·y
观察上表回答：
(1)波长l和频率f数值之间有什么关系
(2)波长l越大，频率f 就________．
解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即
＝300 000，
或者说
(2)波长l越大，频率f 就越小 ．
问题4 圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝_________．【来源：21·世纪·教育·网】
利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：21cnjy.com
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________．
解 S＝πr2．
圆的半径越大，它的面积就越大．21世纪教育网版权所有
在 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable)．
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互 ( http: / / www.21cnjy.com )相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量(independent variable)，y是因变量(dependent variable)，此时也称y是x的函数(function)．表示函数关系的方法通常有三种：21世纪教育网版权所有
(1)解析法，如问题3中的，问题4中的S＝π r2，这些表达式称为函数的关系式．
(2)列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表．
(3)图象法，如问题1中的气温曲线．
问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant)，如问题3中的300 000，问题4中的π等．21·世纪*教育网
三、实践应用
例1判断下列变量关系，y是不是x的函数？
(1). y= ; (2). y2=10-x2; (3).x+y=5; (4).|y|=3x+1 (5).y=x2-4x+5
例2下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗
(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加
(3)上表反映了哪些变量之间的关系 其中哪个是自变量 哪个是因变量
解 (1)平均身高是146.1cm；21世纪教育网版权所有
(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；
(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量．
例3 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：
(1)圆的周长C与半径r的关系式；
(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；
(3)n边形的内角和S与边数n的关系式．
解 (1)C＝2π r，2π是常量，r、C是变量；
(2)s＝60t，60是常量，t、s是变量；
(3)S＝(n－2)×180，2、180是常量，n、S是变量．21世纪教育网版权所有
四、检测反馈
1、在关系式y=3x+1中，如果x 是自变量， 是x的函数（10分）
2、下列说法中，不正确的是（ ）（10分）
A、函数不是数，而是 一种关系
B、多边形的内角和是边数的函数
C、一天中时间是温度的函数
D、一天中温度是时间的函数
3、根据所给的 条件，写出y与x的函数关系式：21世纪教育网版权所有
1）y 是 x的 倒数的4倍（20分）
2）等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系（30分）
3）矩形的周长是18 cm ,它的长是y,宽是x cm （30分）
五、交流反思
1.函数概念包含：
(1)两个变量；
(2)两个变量之间的对应关系．
2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量， ( http: / / www.21cnjy.com )叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．21教育网
3.函数关系三种表示方法：21世纪教育网版权所有
(1)解析法；21世纪教育网版权所有
(2)列表法；
(3)图象法．
【课后反思】
本节亮点： 待改进处：
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§17.1 变量与函数
教学目标：
1、认识常量、变量（包括自变量与 因 变量）
2、了解函数的概念、函数关系式的概念、函数值的概念、函数的三种表示方法
自学指导：
快速阅读课本p28—p30（10分钟）
思考：
1、常量、变量，自变量、因变量的定义
2、在书中的实际问题中，你能找到哪些是自变量，哪些是因变量吗？
在日常学习和生活中,我们常要研究一些数量关系：
一、创设情境
问题1 下图是某地一天内的气温变化图
看图回答： (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温． (2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
●
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？
(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．
分别为－1℃、2℃、5℃；
最高气温是5℃．最低气温是－4℃；
问题2、 2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率
观察上表，说说随着存期x的增长，
相应的利率y是如何变化的．
问题3、收音机上的刻度盘的波长 和频率f分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：
细心的同学可能会发现： 与 f 的乘积是一个定值，即 f＝300 000，或者说 f = ．
说明波长 越大，频率f 就____________
越小
问题4 圆的面积与半径的关系
圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积。则S与r之间满足下列关系：S＝____________．
利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：
半径r（cm) 1 1.5 2 2.6 3.2 …
圆面积S（ cm2 ） …
圆的面积S随着半径r的变化而变化。
在某一变化过程中，可以取不同数值的 量叫做变量(variable)．
在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量
二、概 括
一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每 一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是
自变量，y是因变量，此时也称 y是x的函数。
日常生活和自然界中函数的事例很多：
三、抽象概念
C=2πr
s =60 t
S =(n-2) ×180 0
观察下面关系式
y=x+1
当x=1时,
y=2
y=3
当x=2时,
(2) y2=x
y=4
当x=3时,
y=5
当x=4时,
y随x的变化而变化
当x=1时,
y=+1,-1
y=+2,-2
当x=4时,
y=+3,-3
当x=9时,
y=+4,-4
当x=16时,
关系式(1)y=x+1中对于每个x的值,y都有唯一的值与x对应，y是x的函数
关系式(2)y2=x中对于每个x的值,y有两个不同的值与x对应，y不是x的函数
表示函数关系的方法通常有三种：
（1）解析法，如观察3中的f= ，观察4中 的S＝πr2，这些表达式称为函数的关系式．
（2）列表法，如观察2中的利率表，观察3中
的波长与频率关系表．
（3） 图象法，观察1中的气温曲线．
试一试：
判断下列变量关系，y是不是x的函数？
判断是不是函数，我们可以看它的数学式子中的变量之间是否满足函数的定义
(1). y= ; (2). y2=10-x2; (3).x+y=5; (4).|y|=3x+1 (5).y=x2-4x+5
例2下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗
(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加
(3)上表反映了哪些变量之间的关系 其中哪个是自变量 哪个是因变量
答：(1)平均身高是146.1cm；
(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；
(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量．
解 (1)C＝2π r，2π是常量，r、C是变量；
(2)s＝60t，60是常量，t、s是变量；
(3)S＝(n－2)×180，2、180是常量，n、S是变量
例3 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：
(1)圆的周长C与半径r的关系式；
(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；
(3)n边形的内角和S与边数n的关系式．
(1)函数的关系式是等式
(2)通常等式的右边是含有自变量的代数式，
左边是表示函数的一个字母
如何去书写函数的关系式呢？
书写函数关系式的一般步骤：
1、先认真审题，根据题意找出相等关系
2、按相等关系，写出含有两个变量的等式
3、将等式变形为用含有自变量的代数式表示 函数的式子
四、课堂检测：
1、在y=3x+1中，如果x 是自变量， 是x的函数（10分）
2、下列说法中，不正确的是（ ）（10分）
A、函数不是数，而是 一种关系
B、多边形的内角和是边数的函数
C、一天中时间是温度的函数
D、一天中温度是时间的函数
C
1）y 是 x的 倒数的4倍（20分）
3、根据所给的 条件，写出y与x的函数关系式：
3）矩形的周长是18 cm ,它的长是y,宽是x cm （30分）
2）等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系（30分）
五、课堂小结：
本节课我们学习主要内容是什么？
1.常量与变量
2.函数的定义与
函数的三种表示方法
3.自变量与应变量
4.函数关系式的确定与书写格式
你还有什么收获？
