2023-2024学年人教A版数学同步检测第五章 5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用 第2课时（含解析）

5.6第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
一、单项选择题
1．下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
3．设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期是(　　)
A．2π B．π C. D.
4. 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)的值等于(　　)
A. B．2＋2 C.＋2 D.－2
5. 如图，是一半径为3 m的水轮，水轮截面圆的圆心O′距离水面2 m．已知水轮上一点P自点P0开始旋转，15 s旋转一圈，点P的纵坐标y(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则有(　　)
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x) 取得最大值，则(　　)
A．f(x)在区间[－2π，0]上单调递增
B．f(x)在区间[－3π，－π]上单调递增
C．f(x)在区间[3π，5π]上单调递减
D．f(x)在区间[4π，6π]上单调递减
7．定义运算＝ad－bc.将函数f(x)＝的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为(　　)
A. B. C. D.
8．若在区间(n，m)上，函数f(x)＝2cos2x的图象总在函数g(x)＝－7－4sinx的图象的上方，则m－n的最大值为(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m的图象的一个对称中心，且点P到该函数图象的对称轴的距离的最小值为，则(　　)
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)的值域为[1,3]
C．φ＝
D．f(x)在区间上单调递增
10．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象可能是(　　)
11．关于f(x)＝4sin(x∈R)，下列命题正确的是(　　)
A．由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍
B．y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos
C．y＝f(x)的图象关于点对称
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称
12. 函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则以下结论正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2
B．f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－
C．f(x)在区间(k∈Z)上单调递减
D．f(x)的最大值为A
三、填空题
13．在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是________．
14．若函数f(x)＝cos是奇函数，则φ＝________.
15. 右图是f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象，则函数f(x)的解析式为________．
16．已知函数f(x)＝cos2x－sin2，则f＝________，该函数的最小正周期为________．
四、解答题
17．函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
18. 如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮逆时针转动，每分钟转动5圈，如果水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点需要多长时间？
19．已知函数f(x)＝Asin＋B，且f＋f＝7，f(π)－f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用“五点作图法”作出函数y＝f(x)在一个周期内的图象；
(3)讨论函数y＝f(x)的性质(定义域、值域、奇偶性、最小正周期、单调性)．
20．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
5.6第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
一、单项选择题
1．下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
答案　D
解析　由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2.又x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．
2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
答案　A
解析　由T＝π可得ω＝2，∴f＝sin＝0.∴f(x)的图象关于点对称，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则该函数图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故直线x＝和直线x＝均不是该函数图象的对称轴．故选A.
3．设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期是(　　)
A．2π B．π C. D.
答案　B
解析　由题意得f(x)的最小正周期为×4＝π.
4. 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)的值等于(　　)
A. B．2＋2 C.＋2 D.－2
答案　A
解析　由图象可知A＝2，φ＝2kπ，k∈Z，T＝8，∴＝8，即ω＝，∴f(x)＝2sin.∵周期为8，且f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2sin＋2sin＋2sin＋2sinπ＋2sin＋2sin＝.
5. 如图，是一半径为3 m的水轮，水轮截面圆的圆心O′距离水面2 m．已知水轮上一点P自点P0开始旋转，15 s旋转一圈，点P的纵坐标y(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则有(　　)
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
答案　A
解析　因为T＝15，所以ω＝＝，显然ymax－ymin＝6，故A＝＝＝3.
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x) 取得最大值，则(　　)
A．f(x)在区间[－2π，0]上单调递增
B．f(x)在区间[－3π，－π]上单调递增
C．f(x)在区间[3π，5π]上单调递减
D．f(x)在区间[4π，6π]上单调递减
答案　A
解析　∵ω＝＝＝，∴f(x)＝2sin.又当x＝时，f(x)取得最大值，∴×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z.∵φ∈(－π，π]，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.令2kπ－≤＋≤2kπ＋(k∈Z)，得6kπ－≤x≤6kπ＋(k∈Z)，令k＝0得f(x)在上单调递增，故选A.
7．定义运算＝ad－bc.将函数f(x)＝的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　f(x)＝＝cosx－sinx＝2cos，向左平移φ个单位得到y＝2cos，由题意y＝2cos是偶函数，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z，φ>0)．故当k＝1时，φ的最小值为.
8．若在区间(n，m)上，函数f(x)＝2cos2x的图象总在函数g(x)＝－7－4sinx的图象的上方，则m－n的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　根据题意，函数f(x)＝2cos2x的图象总在函数g(x)＝－7－4sinx的图象的上方可以转化为2cos2x>－7－4sinx恒成立，即2cos2x＋7＋4sinx>0.根据二倍角公式化简为4sin2x－4sinx－9<0 －二、多项选择题
9．已知点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m的图象的一个对称中心，且点P到该函数图象的对称轴的距离的最小值为，则(　　)
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)的值域为[1,3]
C．φ＝
D．f(x)在区间上单调递增
答案　BD
解析　由题意，得且函数的最小正周期T＝4×＝2π，故ω＝＝1.代入①式，得φ＝kπ＋(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2.故函数f(x)的值域为[1,3]，A，C错误，B正确．令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，令k＝1，则≤x≤，故f(x)在上单调递增，D正确．故选BD.
10．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象可能是(　　)
答案　ABC
解析　当a＝0时，f(x)＝1，C符合；当0<|a|<1时，T>2π，且最小值为正数，A符合；当|a|>1时，T<2π，且最小值为负数，B符合；D项中，从函数的最值上看|a|>1，故可得T<2π，而从图象上看T>2π，矛盾，D不可能．故选ABC.
11．关于f(x)＝4sin(x∈R)，下列命题正确的是(　　)
A．由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍
B．y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos
C．y＝f(x)的图象关于点对称
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称
答案　BC
解析　对于A，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．∴x＝－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴A错误；对于B，由f(x)＝4sin可得f(x)＝4cos＝4cos，∴B正确；对于C，f(x)＝4sin的图象的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝－，k∈Z.∴点是函数y＝f(x)的图象的一个对称中心，∴C正确；对于D，函数y＝f(x)的图象的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z.∴x＝＋，k∈Z，∴D错误．
12. 函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则以下结论正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2
B．f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－
C．f(x)在区间(k∈Z)上单调递减
D．f(x)的最大值为A
答案　AC
解析　由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故A正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝×＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故B不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时， f(x)单调递减，故C正确；若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故D不正确．
三、填空题
13．在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是________．
答案　
解析　由4x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，所以当k＝1时，x＝－＝，即离原点最近．
14．若函数f(x)＝cos是奇函数，则φ＝________.
答案　
解析　由题意可知＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|＜，故k＝0，φ＝.
15. 右图是f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象，则函数f(x)的解析式为________．
答案　f(x)＝2sin
解析　由图可得A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2.又函数在x＝时取最大值，∴×2＋φ＝，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
16．已知函数f(x)＝cos2x－sin2，则f＝________，该函数的最小正周期为________．
答案　0　π
解析　由题意可得，f(x)＝－
＝cos2x＋
＝－
＝－sin，
所以f＝－sin＝0，
函数的最小正周期T＝＝π.
四、解答题
17．函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解　(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈.
于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
18. 如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮逆时针转动，每分钟转动5圈，如果水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点需要多长时间？
解　(1)建立如图所示的直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．OP每秒钟所转过的角为＝，
则OP在时间t内所转过的角为t.
由题意知水轮逆时针转动，
则z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，得
sin＝1，由t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点需要4 s.
19．已知函数f(x)＝Asin＋B，且f＋f＝7，f(π)－f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用“五点作图法”作出函数y＝f(x)在一个周期内的图象；
(3)讨论函数y＝f(x)的性质(定义域、值域、奇偶性、最小正周期、单调性)．
解　由题意可得Asin0＋B＋Asin＋B＝7，
Asin＋B－Asin－B＝2.
解得A＝2，B＝3.
(1)y＝2sin＋3.
(2)列表：
x
x－ 0 π 2π
y 3 5 3 1 3
描点、连线，如下图所示．
(3)定义域：R，值域：[1,5]．
奇偶性：非奇非偶函数．
最小正周期：2π.
单调递增区间：(k∈Z)，
单调递减区间：(k∈Z)．
20．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
解　(1)由题意作出f(x)的简图如图．
由图象知A＝2，由＝2π，
得T＝4π，∴4π＝，即ω＝，
∴f(x)＝2sin，∴f(0)＝2sinφ＝1，
又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
∵f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.
∴x0＝4kπ＋，k∈Z，
又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，∴x0＝.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得
－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)∵－π≤x≤π，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴－≤f(x)≤2，
故f(x)的值域为[－，2]．