2023-2024学年人教A版数学同步检测第五章5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式 第3课时（含解析）

5.5.1第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、单项选择题
1．设f(tanx)＝tan2x，则f(2)＝(　　)
A．4 B. C．－ D.－
2.－sin215°＝(　　)
A. B. C. D.
3．化简·cos28°的结果为(　　)
A. B．sin28°
C．2sin28° D．sin14°cos28°
4．已知cosx＝－，x为第二象限角，那么sin2x＝(　　)
A．－ B．±
C．－ D.
5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A. B. C．－ D．－
6．若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝(　　)
A. B. C．1 D.
7．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝(　　)
A. B. C. D.
8．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(　　)
A. B. C．－ D．－
二、多项选择题
9．下列计算正确的是(　　)
A.＝1
B．1－2sin275°＝
C．cos4－sin4＝
D．cos267.5°＋cos222.5°＋cos67.5°cos22.5°＝
10．已知a＝1－2sin211°，b＝2cos234°－1，c＝，则(　　)
A．(a－b)2>2c B．(a－b)2<2c
C．(a＋b)2>c D．(a＋b)211．在△ABC中，sinAcosA＝sinBcosB且A≠B，若(sinAsinB)x＝sinA＋sinB，则小于5的整数x可能为(　　)
A．3 B．4 C．－1 D．－2
12．已知函数f(x)＝sinxsin－的定义域为[m，n](mA. B. C. D.
三、填空题
13．若－＝1，则sin2α＝________.
14．已知cos＝a，且015．计算：＝________.
16．已知tan＝2，则cos2x的值为________，的值为________．
四、解答题
17．求下列各式的值：
(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；
(3)2cos2－1；(4)；
(5)求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
18．已知tanα＝2，证明：sin2α＋sinαcosα＝－－.
19．已知α为钝角，且tan＝2.
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
20．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
5.5.1第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、单项选择题
1．设f(tanx)＝tan2x，则f(2)＝(　　)
A．4 B. C．－ D.－
答案　D
解析　∵f(tanx)＝tan2x＝，∴f(2)＝＝－.
2.－sin215°＝(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　原式＝(1－2sin215°)＝＝.
3．化简·cos28°的结果为(　　)
A. B．sin28°
C．2sin28° D．sin14°cos28°
答案　A
解析　·cos28°＝×·cos28°＝tan28°cos28°＝，故选A.
4．已知cosx＝－，x为第二象限角，那么sin2x＝(　　)
A．－ B．±
C．－ D.
答案　C
解析　因为cosx＝－，x为第二象限角，所以sinx＝，所以sin2x＝2sinxcosx＝2××＝－，故选C.
5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　A
解析　设底角为θ，则θ∈，顶角为π－2θ.∵sinθ＝，∴cosθ＝＝.∴sin(π－2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝.
6．若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝(　　)
A. B. C．1 D.
答案　A
解析　原式＝cos2α＋4sinαcosα＝＝＝.
7．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为θ∈，所以2θ∈，所以cos2θ<0，所以cos2θ＝－＝－.又cos2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，所以sinθ＝.
8．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　C
解析　把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，即3cos2α＋4sinαcosα＝，所以＝，所以＝，即3tan2α－8tanα－3＝0，解得tanα＝3或tanα＝－，所以tan2α＝＝－.
二、多项选择题
9．下列计算正确的是(　　)
A.＝1
B．1－2sin275°＝
C．cos4－sin4＝
D．cos267.5°＋cos222.5°＋cos67.5°cos22.5°＝
答案　ACD
解析　对于A，＝tan45°＝1，故A正确；对于B,1－2sin275°＝cos150°＝－，故B错误；对于C，cos4－sin4＝＝cos＝，故C正确；对于D，cos267.5°＋cos222.5°＋cos67.5°cos22.5°＝sin222.5°＋cos222.5°＋sin22.5°cos22.5°＝1＋sin45°＝，故D正确．所以选ACD.
10．已知a＝1－2sin211°，b＝2cos234°－1，c＝，则(　　)
A．(a－b)2>2c B．(a－b)2<2c
C．(a＋b)2>c D．(a＋b)2答案　BC
解析　因为a＝1－2sin211°＝cos22°，b＝2cos234°－1＝cos68°，所以(a－b)2＝(cos22°－cos68°)2＝cos222°＋cos268°－2cos22°cos68°＝cos222°＋sin222°－2cos22°sin22°＝1－sin44°<1<2c，故A错误，B正确．(a＋b)2＝(cos22°＋cos68°)2＝cos222°＋cos268°＋2cos22°cos68°＝1＋sin44°>1＋sin30°＝>c，故C正确，D错误．故选BC.
11．在△ABC中，sinAcosA＝sinBcosB且A≠B，若(sinAsinB)x＝sinA＋sinB，则小于5的整数x可能为(　　)
A．3 B．4 C．－1 D．－2
答案　AB
解析　由sinAcosA＝sinBcosB，得sin2A＝sin2B.因为A≠B，所以2A＋2B＝π，A＋B＝，所以x＝＝.设sinA＋cosA＝t∈(1，]，则t2＝1＋2sinAcosA，故sinAcosA＝，代入得x＝＝＝≥＝2，故小于5的整数x可能为3,4，故选AB.
12．已知函数f(x)＝sinxsin－的定义域为[m，n](mA. B. C. D.
答案　AB
解析　f(x)＝sinxsin－＝sinx－＝(1－cos2x)＋sin2x－＝＝sin，由值域为，得sin∈，所以2x－∈，k∈Z，故x∈，k∈Z，又kπ＋－＝，所以n－m最大为，最小为kπ＋－＝.故选AB.
三、填空题
13．若－＝1，则sin2α＝________.
答案　2－2
解析　由－＝1，得＝1，即sinα－cosα＝sinαcosα＝sin2α，两边平方得sin22α＝1－sin2α，解得sin2α＝－2＋2或－2－2(舍去)．
14．已知cos＝a，且0答案　2a
解析　＝
＝(sinx＋cosx)＝2×
＝2＝2cos＝2a.
15．计算：＝________.
答案　
解析　原式＝×＝tan
＝tan＝.
16．已知tan＝2，则cos2x的值为________，的值为________．
答案　　
解析　∵tan＝2，∴＝2，∴tanx＝，
∴cos2x＝＝＝＝.
∴＝＝＝＝.
四、解答题
17．求下列各式的值：
(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；
(3)2cos2－1；(4)；
(5)求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
解　(1)∵sin＝sin＝cos，
∴sinsin＝sincos＝·2sincos＝sin＝.
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝.
(3)2cos2－1＝cos＝－.
(4)＝＝tan60°＝.
(5)解法一：∵sin10°sin50°sin70°＝
＝＝＝
＝＝，∴sin10°sin30°sin50°sin70°＝.
解法二：sin10°sin30°sin50°sin70°＝cos20°cos40°cos80°
＝＝
＝＝·＝.
18．已知tanα＝2，证明：sin2α＋sinαcosα＝－－.
证明　因为tanα＝2，
所以左边＝＝＝＝，
右边＝－－＝－－
＝－－tan＝－－tan＝，
所以左边＝右边，所以原等式成立．
19．已知α为钝角，且tan＝2.
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
解　(1)因为tan＝，
所以＝2,1－tanα＝2＋2tanα，所以tanα＝－.
(2)＝
＝＝＝sinα.
因为tanα＝－，所以cosα＝－3sinα，
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，
又α为钝角，所以sinα＝，
所以＝.
20．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
解　因为∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，
所以∠BAC＝θ，所以AC＝BC＝30 m.
又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，
所以∠CAD＝2θ，
所以AD＝CD＝10 m.
所以在Rt△ADE中，
AE＝AD·sin4θ＝10sin4θ(m)，
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin2θ＝30sin2θ(m)，
所以10sin4θ＝30sin2θ，
即20sin2θcos2θ＝30sin2θ，
所以cos2θ＝，
又2θ∈，所以2θ＝，
所以θ＝，
所以AE＝30sin＝15(m)，
所以θ＝，建筑物AE的高为15 m.