2023-2024学年人教A版数学同步检测第五章5.5.2简单的三角恒等变换（含解析）

5.5.2　简单的三角恒等变换
一、单项选择题
1．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
2．若α∈，则 － 等于(　　)
A．cosα－sinα B．cosα＋sinα
C．－cosα＋sinα D．－cosα－sinα
3．若2sinx＝1＋cosx，则tan的值等于(　　)
A. B.或不存在
C．2 D．2或
4．已知coscos＝，θ∈，则sinθ＋cosθ的值是(　　)
A. B．－ C．－ D.
5．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)
A．1 B．2 C．1＋ D．2＋
6．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)
A. B. C. D.
7．若函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，则a的值为(　　)
A．4 B．－6 C．－4 D．－3
8．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
二、多项选择题
9．下列各式与tanα相等的是(　　)
A. B.
C. D.
10．下列等式成立的是(　　)
A.－＝4
B．4cos50°－tan40°＝2
C.＝1
D.＋2＝－2cos4°－2sin4°
11．已知函数f(x)＝sin＋2sin2－1(x∈R)，当函数f(x)取得最大值时，x的值可能为(　　)
A. B. C. D.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点P(x0，y0)且|OP|＝r(r>0)，定义：sosθ＝，称“sosθ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”y＝sosx，有同学得到以下性质，其中正确的是(　　)
A．该函数的值域为[－，]
B．该函数为周期函数，且最小正周期为2π
C．该函数的单调递减区间为，k∈Z
D．该函数的单调递增区间为，k∈Z
三、填空题
13．化简的结果是________．
14．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanAtanB＝________.
15．设f(x)＝sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有m≤f(x)，则实数m的取值范围是________．
16．已知函数f(x)＝4cosωxsin－(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________，f(x)在区间上的单调递增区间为________．
四、解答题
17．已知sin＋sinα＝－，－<α<0，求cosα的值．
18．证明：··＝tan.
19．已知函数f(x)＝cos(π＋x)cos－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求f(x)在上的单调递增区间．
20. 如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在P上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．
5.5.2　简单的三角恒等变换
一、单项选择题
1．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　D
解析　若5π<θ<6π，则<<，则sin＝－＝－＝－.
2．若α∈，则 － 等于(　　)
A．cosα－sinα B．cosα＋sinα
C．－cosα＋sinα D．－cosα－sinα
答案　D
解析　因为α∈，所以sinα≥0，cosα≤0，则 －＝－＝|cosα|－|sinα|＝－cosα－sinα.
3．若2sinx＝1＋cosx，则tan的值等于(　　)
A. B.或不存在
C．2 D．2或
答案　B
解析　由已知，得＝，tan＝＝＝＝.当x＝π＋2kπ，k∈Z时，tan不存在．
4．已知coscos＝，θ∈，则sinθ＋cosθ的值是(　　)
A. B．－ C．－ D.
答案　C
解析　因为coscos＝sincos＝sin＝cos2θ＝.所以cos2θ＝.因为θ∈，所以2θ∈，所以sin2θ＝－，且sinθ＋cosθ<0.所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝1－＝.所以sinθ＋cosθ＝－.
5．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)
A．1 B．2 C．1＋ D．2＋
答案　B
解析　f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2＝2sin，∵0≤x<，∴≤x＋<.∴f(x)max＝2.
6．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.当θ＝时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x是奇函数．
7．若函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，则a的值为(　　)
A．4 B．－6 C．－4 D．－3
答案　C
解析　f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin＋a＋1.当x∈时，2x＋∈，∴f(x)min＝2×＋a＋1＝－4.∴a＝－4.
8．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
答案　B
解析　∵sinAsinB＝(1＋cosC)，即2sinAsinB＝1＋cosC，∴2sinAsinB＝1－cosAcosB＋sinAsinB，故得cos(A－B)＝1，又A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形．
二、多项选择题
9．下列各式与tanα相等的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　BD
解析　对于A, ＝ ＝＝|tanα|，故A不相等；对于B，＝＝tanα，故B相等；对于C，＝＝，故C不相等；对于D，＝＝tanα，故D相等．故选BD.
10．下列等式成立的是(　　)
A.－＝4
B．4cos50°－tan40°＝2
C.＝1
D.＋2＝－2cos4°－2sin4°
答案　ACD
解析　对于A，－＝
＝＝
＝＝4，故A成立；对于B,4cos50°－tan40°＝4sin40°－＝
＝＝
＝＝＝＝＝，故B不成立；对于C，
＝＝＝＝1，故C成立；对于D，＋2＝＋2＝2|cos4°|＋2|sin4°|＝－2cos4°－2sin4°，故D成立．故选ACD.
11．已知函数f(x)＝sin＋2sin2－1(x∈R)，当函数f(x)取得最大值时，x的值可能为(　　)
A. B. C. D.
答案　AD
解析　因为f(x)＝sin＋2sin2－1＝sin＋1－cos－1
＝2
＝2sin＝2sin，当f(x)取得最大值时，sin＝1，有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，故选AD.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点P(x0，y0)且|OP|＝r(r>0)，定义：sosθ＝，称“sosθ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”y＝sosx，有同学得到以下性质，其中正确的是(　　)
A．该函数的值域为[－，]
B．该函数为周期函数，且最小正周期为2π
C．该函数的单调递减区间为，k∈Z
D．该函数的单调递增区间为，k∈Z
答案　ABD
解析　由题意可知y＝sosx＝sinx＋cosx，即y＝sin.对于A，－≤sin≤，故A正确；对于B，由y＝sin，知该函数为周期函数，且最小正周期为2π，故B正确；对于C，因为当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，该函数单调递减，即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，故C错误；对于D，因为当2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，该函数单调递增，即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，故D正确．故选ABD.
三、填空题
13．化简的结果是________．
答案　sin1＋cos1
解析　＝
＝＝|sin1＋cos1|，
因为1∈，所以sin1>0，cos1>0，
则＝sin1＋cos1.
14．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanAtanB＝________.
答案　
解析　因为3cos2＋5sin2＝4，
所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝0，
所以cosAcosB＋sinAsinB－cosAcosB＋sinAsinB＝0，
即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝.
15．设f(x)＝sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有m≤f(x)，则实数m的取值范围是________．
答案　(－∞，－2]
解析　因为f(x)＝sin3x＋cos3x＝2＝2sin，所以f(x)min＝－2，于是若对任意实数x都有m≤f(x)，则m≤－2.
16．已知函数f(x)＝4cosωxsin－(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________，f(x)在区间上的单调递增区间为________．
答案　1　
解析　f(x)＝4cosωxsin－＝2sinωxcosωx＋2cos2ωx－＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋－＝2sin.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.所以f(x)＝2sin.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤，f(x)单调递增，所以f(x)在区间上的单调递增区间为.
四、解答题
17．已知sin＋sinα＝－，－<α<0，求cosα的值．
解　∵sin＋sinα＝sinαcos＋cosαsin＋sinα＝sinα＋cosα＝－.
∴sinα＋cosα＝－，
∴sin＝－.
∵－<α<0，∴－<α＋<，
∴cos＝.
∴cosα＝cos＝coscos
＋sinsin＝×＋×＝.
18．证明：··＝tan.
证明　左边＝··
＝·＝·
＝＝＝tan＝右边．
所以原等式成立．
19．已知函数f(x)＝cos(π＋x)cos－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求f(x)在上的单调递增区间．
解　f(x)＝(－cosx)(－sinx)－·＋
＝sin2x－cos2x＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为π，最大值为1.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)在上单调递增，即f(x)在上的单调递增区间是.
20. 如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在P上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．
解　如图所示，设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN＝sinα，ON＝cosα，OM＝＝DM＝CN＝sinα，
所以MN＝ON－OM＝cosα－sinα，
即AB＝cosα－sinα，而BC＝2CN＝2sinα，
故S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosα－sinα)·2sinα
＝2sinαcosα－2sin2α＝sin2α－(1－cos2α)
＝sin2α＋cos2α－＝2－
＝2sin－.
因为0<α<，
所以0<2α<，<2α＋<.
故当2α＋＝，即α＝时，S矩形ABCD取得最大值，
此时S矩形ABCD＝2－.