2023-2024学年人教A版数学同步检测第五章5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 第1课时（含解析）

5.6　函数
5．6.1　匀速圆周运动的数学模型
5．6.2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
一、单项选择题
1．函数y＝cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cosωx，则ω的值为(　　)
A．2 B. C．4 D.
2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是(　　)
A．非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数 D．偶函数
3．将正弦曲线向右平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到下列哪个函数的图象？(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝sin D．y＝sin
4．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．将函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sinx，则(　　)
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
6．把函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于y轴对称，则φ的值为(　　)
A. B. C.或 D.或
7．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是(　　)
8．将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．将函数y＝sin(x－θ)的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x＝，则θ的取值可能是(　　)
A. B．－ C. D．－
10．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin能构成“和谐”函数的是(　　)
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin－2
11．有下列四种变换方式，其中能将正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin的图象的是(　　)
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
B．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
12．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为2π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝π对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
三、填空题
13．将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是________．
14．函数y＝sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为________．
15．将函数y＝3sin2x的图象向左平行移动φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ＝________.
16．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos＋1的图象的对称轴完全相同，则ω＝________；若将y＝f(x)的图象向左平移φ个单位长度所得图象对应的函数是偶函数，则φ＝________.
四、解答题
17．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？
18．已知函数f(x)＝sin(x∈R)．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)经过怎样的图象变换可使函数f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)
19．已知函数f(x)＝2cosωx(ω>0)，且函数y＝f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
20．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
5.6　函数
5．6.1　匀速圆周运动的数学模型
5．6.2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
一、单项选择题
1．函数y＝cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cosωx，则ω的值为(　　)
A．2 B. C．4 D.
答案　B
解析　由题意可知得到图象的解析式为y＝cosx，所以ω＝.
2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是(　　)
A．非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数 D．偶函数
答案　D
解析　y＝sin的图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos2x的图象，y＝－cos2x是偶函数．
3．将正弦曲线向右平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到下列哪个函数的图象？(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案　B
解析　y＝sinxy＝sin
y＝2sin.
4．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
答案　A
解析　y＝cos＝sin＝sin＝sin.由题意知，要得到y＝sin的图象，只需将y＝sin2x的图象向左平移个单位长度．
5．将函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sinx，则(　　)
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
答案　B
解析　y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sin2x，再将此函数图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝sin，即y＝sin，所以ω＝2，φ＝－.
6．把函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于y轴对称，则φ的值为(　　)
A. B. C.或 D.或
答案　D
解析　由题意，得g(x)＝sin＝sin.∵g(x)的图象关于y轴对称，∴g(x)为偶函数，∴2φ－＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝＋(k∈Z)．当k＝0时，φ＝；当k＝1时，φ＝，故选D.
7．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是(　　)
答案　A
解析　将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所有点向右平移个单位长度即得y＝sin的图象，依据此变换过程可得到A中图象是正确的．也可以分别令2x－＝0，，π，，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin的图象．
8．将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝＝， 又0<φ<，故φ＝.
二、多项选择题
9．将函数y＝sin(x－θ)的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x＝，则θ的取值可能是(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　ABD
解析　y＝sin(x－θ)y＝sin.由x－－θ＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋kπ＋θ.∵F′的一条对称轴是直线x＝，∴令＋kπ＋θ＝(k∈Z)，则θ＝－－kπ(k∈Z)．结合选项可知，选ABD.
10．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin能构成“和谐”函数的是(　　)
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin－2
答案　BD
解析　g(x)＝sin.对于A，f(x)＝sin的图象是由函数g(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的得到的，函数f(x)的图象经过平移后不会与函数g(x)的图象重合，故A错误；同理，对于C，函数f(x)的图象经过平移后不会与函数g(x)的图象重合，故C错误；对于B，函数f(x)的图象向左平移π个单位，可以得到函数g(x)的图象，即经过平移后，f(x)与g(x)的图象可以重合，B正确；对于D，函数f(x)的图象向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度，即可得到函数g(x)＝sin的图象，D正确．故选BD.
11．有下列四种变换方式，其中能将正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin的图象的是(　　)
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
B．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
答案　AB
解析　对于A，向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin的图象，正确；对于B，横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，则正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin＝sin的图象，正确；对于C，横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，则正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin＝sin的图象，错误；对于D，向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin的图象，错误．故选AB.
12．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为2π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝π对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
答案　BCD
解析　函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)＝sin＝cosx的图象．由y＝cosx的性质知，y＝f(x)是偶函数，A错误；y＝f(x)的周期为2π，B正确；y＝f(x)的图象的对称轴为kπ，k∈Z，C正确；y＝f(x)的图象的对称中心为，k∈Z，故D正确．故选BCD.
三、填空题
13．将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是________．
答案　2
解析　把f(x)＝sinωx的图象向右平移个单位长度，得y＝sin.又所得图象经过点，
∴sin＝0.∴sin＝0.∴＝kπ(k∈Z)．∴ω＝2k(k∈Z)．∵ω>0，∴ω的最小值为2.
14．函数y＝sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为________．
答案　
解析　平移后函数的解析式为y＝sin(2x－2φ)，
图象关于直线x＝对称，
∴2×－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝－－(k∈Z)，又φ>0，
∴当k＝－1时，φ的最小值为.
15．将函数y＝3sin2x的图象向左平行移动φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ＝________.
答案　
解析　由题意可得y＝3sin2(x＋φ)＝3sin(2x＋2φ)为偶函数，又0<φ<，∴2φ＝，φ＝.
16．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos＋1的图象的对称轴完全相同，则ω＝________；若将y＝f(x)的图象向左平移φ个单位长度所得图象对应的函数是偶函数，则φ＝________.
答案　2　
解析　函数f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，则两个函数的最小正周期完全相同，所以ω＝2，此时f(x)＝3sin.y＝f(x)的图象向左平移φ个单位长度所得图象对应的函数为y＝f(x＋φ)＝3sin，要使它为偶函数，则2φ－＝kπ＋，k∈Z，则φ＝＋，k∈Z.因为0<φ<，所以φ＝.
四、解答题
17．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？
解　先把函数y＝sinx的图象向右平移个单位，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位，得函数y＝5sin－3的图象．
18．已知函数f(x)＝sin(x∈R)．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)经过怎样的图象变换可使函数f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)
解　(1)已知函数可化为f(x)＝－sin.欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos
＝cos＝cos2.
∵y＝cos2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位即可．
19．已知函数f(x)＝2cosωx(ω>0)，且函数y＝f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
解　(1)由题意知，f(x)的周期T＝π，故＝π，则ω＝2，
所以f(x)＝2cos2x.因此f＝2cos＝.
(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝f的图象，所以g(x)＝f＝2cos＝2cos.当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
20．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0
且函数的解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，得g(x)＝5sin.因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.