2024北师版九年级数学上学期单元测试卷--第四章图形的相似测试卷

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2024北师版九年级数学上学期单元测试卷
第四章　图形的相似
时间:90分钟　 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.(2022·辽宁沈阳沈河区期末)已知=,那么下列等式中正确的是 (　　)
A.= B.=
C.2a=3b D.=
2.(2022·上海青浦区期末)下列图形,一定相似的是 (　　)
A.两个直角三角形 B.两个等腰三角形
C.两个等边三角形 D.两个菱形
3.如图,AB∥CD∥EF,AF,BE相交于点G,下列比例式错误的是 (　　)
A.= B.=
C.= D.=
(第3题)　　(第4题)
4.(2022·山东青岛期中)如图,把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形,如果每个小矩形都与原矩形相似,那么原矩形纸片的长与宽之比为(　　)
A.∶1 B.2∶1 C.3∶1 D.4∶1
5.在△ABC与△DEF中,∠A=∠D=60°,=.如果∠B=50°,那么∠E= (　　)
A.80° B.70° C.60° D.50°
6. (2022·吉林长春南关区期末)大约在两千四五百年前,墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验如图(1).并在《墨经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端.”在如图(2)所示的小孔成像实验中,若物距为10 cm,像距为15 cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是9 cm,则蜡烛火焰的高度是 (　　)
　　　　　图(1)　　　　　　　　　图(2)
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
7.如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,其中∠A与∠B不相等.将△ABC沿下列选项的图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (　　)
A B
C D
8.(2022·天津和平区期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第二象限,点B的坐标为(-2,0),点C的坐标为(-1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C.若点A的对应点A'的坐标为(2,-3),点B的对应点B'的坐标为(1,0),则点A的坐标为(　　)
A.(-3,2) B.(-3,)
C.(-,) D.(-,2)
9.(2022·河北邢台信都区期中)如图,有一块形状为直角三角形的余料ABC.已知∠A=90°,AB=6 cm,AC=8 cm,要把它加工成一个平行四边形工件DEFG,使GF在边BC上,D,E两点分别在边AB,AC上,且DE=5 cm,则 DEFG的面积为 (　　)
A.24 cm2 B.12 cm2
C.9 cm2 D.6 cm2
(第9题)　　(第10题)
10.(2021·四川绵阳中考)如图,在△ACD中,B是CD上的点,AD=6,BC=5,AC2=AB(AB+BC),且△DAB∽△DCA,若AD=3AP,点Q是线段AB上的动点,则PQ的最小值是 (　　)
A. B. C. D.
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.如图,在△ABC中,P为AB上的一点,补充条件,使△APC∽△ACB,这个条件可以是　　　　　.(写出一个即可)
12.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.当△ACP∽△PDB时,∠APB=　　　°.
(第12题)　　(第13题)
13.(2022·上海嘉定区期末)如图,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,AD=3,BD=2,那么BF∶DE的值是　　　　.
14.(2021·北京五中月考)如图,矩形ABCD由三个全等的矩形拼成,AC与DE,FE,FG,HG,HB分别交于点P,Q,K,M,N,设△EPQ,△GKM,△BNC的面积依次为S1,S2,S3.若S1+S3=40,则S2的值为　　　　.
(第14题)　　(第15题)
15.如图,矩形ABCD中,AB=3 cm,AD=8 cm.点P在BC上,连接PD,折叠矩形,点B与点C都恰好落在PD上的点F处,折痕是PQ,PR,AB的对应线段EF与AD交于点G,则线段DG的长度是　　　　.
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(8分)(2021·山东济宁鱼台实验中学月考)方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点都在格点上,在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)以原点O为位似中心,将△ABC缩小,使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出△A1B1C1.
(2)点A1的坐标为　　　　　　　　.
17.(8分)(2022·浙江温州瑞安期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,DE∥BC,BE⊥AB.
(1)求证:△DEB∽△BAC;
(2)若AB=6,AC=2,求的值.
18.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,∠EDF=∠B.
(1)如图(1),求证:DE·CD=DF·BE.
(2)若D为BC的中点,如图(2),连接EF.求证:ED平分∠BEF.
图(1)
图(2)
19.(9分)(2022·江苏无锡宜兴树人中学月考)为了测量学校旗杆的高度AB,数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量,测量方案如下:如图,首先小红在C处放置一平面镜,她从点C沿BC后退,当退行1.8米到D处时,恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像,此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米;然后小明在F处竖立了一根高1.6米的标杆FG,发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上,此时测得FH为2.4米,DF为3.3米.已知AB⊥BH,ED⊥BH,GF⊥BH,点B,C,D,F,H在一条直线上.
(1)求的值;
(2)请根据以上所测数据,计算学校旗杆AB的高度.
20.(10分)(2021·山东聊城期中)如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,C,F,G三点在同一直线上,连接BE,AC,AF,并延长AF交CD于点M.
(1)求证:△MFC∽△MCA.
(2)求证:△ACF∽△ABE.
(3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的边长.
21.(11分)(1)问题发现
如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
①的值为　　　　;
②∠AMB的度数为　　　　.
(2)类比探究
如图(2),在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC,交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由.
(3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
图(1)　　　图(2)
备用图
第四章　图形的相似
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C D B B A D C B A
11.∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB,=,答案不唯一)
12.120 13.2∶3 14.16 15. cm
1.C　(特殊值法)∵=,∴令a=3,b=2,则==,==,2a=3b,=.故选C.
2.C
3.D　由AB∥CD∥EF,得=,所以A选项中的比例式正确;由AB∥CD,得△ABG∽△DCG,所以=,所以B选项中的比例式正确;由CD∥EF,得△GCD∽△GEF,所以=,所以C选项中的比例式正确;由AB∥EF,得△ABG∽△FEG,所以=,所以D选项中的比例式错误.故选D.
4.B　设原矩形纸片的长为x,宽为y,∴小矩形的长为y,宽为.∵小矩形与原矩形相似,∴=,∴x∶y=2∶1.
5.B　∵∠A=∠D=60°,=,∴△ABC∽△DFE,∴∠F=∠B=50°,∴∠E=180°-60°-50°=70°.
6.A　设蜡烛火焰的高度是x cm,根据相似三角形对应高的比等于相似比得到=,解得x=6.即蜡烛火焰的高度是6 cm.
7.D　A,B选项中,阴影三角形与原三角形的两角分别相等,故两三角形相似;C选项中,两三角形两边成比例且夹角相等,故两三角形相似;D选项中,两三角形夹角相等的两边不成比例,故两三角形不相似.
8.C　如图,过点A作AE⊥x轴于点E,过点A'作
A'F⊥x轴于点F.∵B(-2,0),C(-1,0),B'(1,0),A'(2,-3)∴OB=2,OC=OB'=1,OF=2,A'F=3,∴BC=1,CB'=2,CF=3.∵△ABC∽△A'B'C,∴==,∴AE=.∵∠ACE=∠A'CF,∠AEC=∠A'FC=90°,∴△AEC∽△A'FC,∴==,∴EC=,∴OE=EC+OC=,∴A(-,).
9.B　如图,过点A作AM⊥BC于点M,交DE于点N.∵∠BAC=90°,AB=6 cm,AC=8 cm,∴BC==10(cm),∴AM==4.8(cm).∵四边形DEFG是平行四边形,∴DE∥BC,FG=DE=5 cm,∴△ADE∽△ABC,∴==,∴AN=MN=2.4 cm,∴S DEFG=5×2.4=12(cm2).
10.A　∵△DAB∽△DCA,AD=6,BC=5,∴=,∴=,解得BD=4(负值已舍去),∴CD=5+4=9.∵△DAB∽△DCA,∴===,∴AC=AB.∵AC2=AB(AB+BC),∴(AB)2=AB(AB+5),解得AB=4或AB=0(舍去),∴AB=BD=4.如图,过点B作BH⊥AD于点H,则AH=AD=3，∴BH===.∵AD=3AP,∴AP=2.当PQ⊥AB时,PQ的值最小.∵∠AQP=∠AHB=90°,∠PAQ=∠BAH,∴△APQ∽△ABH,∴=,∴=,∴PQ=.
11.∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB,=,答案不唯一)
12.120　∵△ACP∽△PDB,∴∠A=∠BPD.∵△PCD是等边三角形,∴∠PCD=∠CPD=60°,∴∠A+∠APC=60°,∴∠APC+∠BPD=60°,∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120°.
13.2∶3　∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE.∵DF∥AC,∴∠BDF=∠A,∴△DBF∽△ADE,∴=.∵BD=2,AD=3,∴=,∴BF∶DE的值是2∶3 .
14.16　∵矩形ABCD是由三个全等的矩形拼成,∴∠DEF=∠FGH=∠HBC.∵FE∥HG∥CB,∴∠AQE=∠AMG=∠ACB,∴△EPQ∽△GKM∽△BNC.∵QE∥MG,∴△AEQ∽△AGM,∴==,∴=()2=.∴S1=S2.同理可得S3=S2.∵S1+S3=40,∴S2+S2=40,∴S2=16.
15. cm　∵矩形ABCD中,AB=3 cm,AD=8 cm,∴CD=3 cm,BC=8 cm.由折叠可得,BP=FP=CP=4 cm.在Rt△PCD中,PD===5(cm),∴DF=PD-PF=5-4=1(cm).∵AD∥BC,∴∠ADP=∠DPC.∵∠DFG=∠RFP=∠C=90°,∴△DFG∽△PCD,∴=,即=,∴DG= cm.
16.【参考答案】(1)如图,△A1B1C1即为所作. (6分)
(2)(1,1)或(-1,-1) (8分)
17.【解题思路】(1)由DE∥BC得,∠EDB=∠ABC,根据垂直说明∠EBD=∠C=90°,即可得出结论.(2)先由勾股定理求出BC的长,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得结论.
【参考答案】(1)证明:∵∠C=90°,BE⊥AB,
∴∠EBD=∠C=90°. (2分)
∵DE∥BC,
∴∠EDB=∠ABC,
∴△DEB∽△BAC. (4分)
(2)由勾股定理得BC===4 .(6分)
∵D是AB的中点,AB=6,
∴DB=3,
∵△DEB∽△BAC,
∴=()2=()2=. (8分)
18.【参考答案】(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°,
∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°,∠EDF=∠B,
∴∠DEB=∠FDC,
∴△BDE∽△CFD,
∴=,
即DE·CD=DF·BE. (5分)
(2)由(1),可知=.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD,
∴=,
∴=. (7分)
又∠B=∠EDF,
∴△BDE∽△DFE,
∴∠BED=∠DEF,
∴ED平分∠BEF. (9分)
19.【解题思路】(1)根据已知条件推出△ACB∽△ECD,根据相似三角形的性质得到=,代入数据计算即可;(2)根据已知条件说明△HFG∽△HBA,根据对应边成比例列式计算即可.
【参考答案】(1)根据题意可得,∠ABC=∠CDE=90°,∠ACB=∠DCE,
∴△ACB∽△ECD,
∴=. (3分)
∵DE=1.5米,CD=1.8米,
∴==. (5分)
(2)∵FG⊥BH,AB⊥BH,
∴AB∥FG,
∴△HFG∽△HBA,
∴=,
∴=,
∴AB=25,
∴学校旗杆AB的高度为25米. (9分)
20.【思路导图】
【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,
∴∠ACD=∠AFG=45°.
∵∠CFM=∠AFG,
∴∠CFM=∠ACM=45°.
∵∠CMF=∠AMC,
∴△MFC∽△MCA. (3分)
(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠BAC=45°,
∴AC=AB.
同理可得AF=AE,
∴==.
∵∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°,
∴∠CAF=∠BAE,
∴△ACF∽△ABE. (6分)
(3)∵DM=1,CM=2,
∴AD=CD=1+2=3,
∴AM===.
∵△MFC∽△MCA,
∴=,即=,
∴FM=,
∴AF=AM-FM=,
∴AG=AF=,
即正方形AEFG的边长为. (10分)
21.【参考答案】(1)①1 (1分)
②40° (2分)
解法提示:①∵∠AOB=∠COD,
∴∠BOD=∠AOC,
∵OC=OD,OA=OB,
∴△AOC≌△BOD,
∴AC=BD,∠OBD=∠OAC,
∴=1.
②设BD,OA交于点N,
∵∠MNA=∠ONB,∠OBD=∠OAC,
∴∠AMB=∠AOB=40°.
(2)=,∠AMB=90°. (4分)
理由如下:
∵∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,
∴==,∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD,
∴△AOC∽△BOD,
∴==,∠CAO=∠DBO. (6分)
设AO,BM交于点N,
∵∠ANM=∠BNO,
∴∠AMB=∠AOB=90°. (8分)
(3)AC的长为2或3. (11分)
解法提示:由(2)可知,∠AMB=90°,=,
设BD=x,则AC=x.
分两种情况讨论.
如图(1),当点M,C在OA上侧重合时,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
∴(2)2=(x)2+(x+2)2,
解得x1=2,x2=-3(不合题意,舍去),
∴AC=x=2.
图(1)
如图(2),当点M,C在OA下侧重合时,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
∴(2)2=(x)2+(x-2)2,
解得x1=-2(不合题意,舍去),x2=3,
∴AC=x=3.
综上所述,AC的长为2或3.
图(2)
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