第二章一元二次方程测试卷（含答案）

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2024北师版九年级数学上学期单元测试卷
第二章　一元二次方程
时间:90分钟　 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.(2021·山东曲阜师大附属实验学校期中)将下列一元二次方程化成一般形式后,其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10的方程是 (　　)
A.-8x=3x2+10 B.3x2=-8x+10
C.3x2-8x=-10　　 D.3x2=8x+10
2.(2022·云南文山期末)已知关于x的方程(m-2)x|m|-3x-4=0是一元二次方程,则(　　)
A.m≠±2 B.m=-2
C.m=2 D.m=±2
3.(2022·辽宁沈阳皇姑区期末)如果1是关于x的方程2x2+bx-4=0的一个根,那么方程的另一个根是 (　　)
A.-2 B.2 C.-1 D.1
4.(2022·山西临汾期中)下表是求代数式ax2-bx的值的情况,根据表格中的数据可知,关于x的一元二次方程ax2-bx-2=0的根是 (　　)
x … -2 -1 0 1 2 3 …
ax2-bx … 6 2 0 0 2 6 …
A.x=1 B.x1=0,x2=1
C.x=2 D.x1=-1,x2=2
5.(2022·河北沧州桂和中学段考)已知方程x2-6x+4=□,等号右侧的数印刷不清楚.若可以将其配方成(x-p)2=7的形式,则印刷不清楚的数是(　　)
A.6 B.9 C.2 D.-2
6.(2021·江西模拟)《九章算术》中有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何 ”大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多少步 若设甲、乙二人相遇的时间为x,根据题意,可列方程为 (　　)
A.(7x-10)2=102+(3x)2
B.102=(7x-10)2+(3x)2
C.(3x)2=102+(7x-10)2
D.(7x+10)2=102+(3x)2
7.对于任意实数a,b,定义一种新运算“★”如下:a★b=若2★m=36,则实数m等于 (　　)
A.8.5 B.4
C.4或-4.5 D.4或-4.5或8.5
8.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c值比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是 (　　)
A.无实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是x=-1
D.有两个相等的实数根
9.(2022·山西晋中期中)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A开始,沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果点P,Q同时出发,当一个点到达目的地时,所有运动停止.若四边形APQC的面积为9 cm2,则点P运动的时间是 (　　)
A.3 s B.3 s或5 s
C.4 s D.5 s
10.(2021·山西太原期中)求方程x2+8x=33正数解的几何方法:如图(1),先构造一个面积为x2的正方形,再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形,得到大正方形的面积为33+22×4=49,则该方程的正数解为-2×2=3.小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c=0时,构造出如图(2)所示的正方形.已知图(2)中阴影部分的面积和为39,则该方程的正数解为 (　　)
　图(1) 　　　　　　图(2)
A.2　 B.2 C.3 D.4
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2022·河北保定清苑区期中)用因式分解法解一元二次方程(3x-4)2-25=0时,要转化成两个一元一次方程求解,若其中的一个一元一次方程是3x-4+5=0,则另一个一元一次方程是　　　　　　　　.
12.(2022·辽宁大连期中)从地面竖直向上抛出一个小球,若小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系满足h=30t-5t2,则小球从抛出到落地共用时　　　　s.
13.(2022 ·江苏扬州江都区邵樊片段考)若关于x的方程ax2+bx+2=0的两根分别为x1=-2,x2=3.则方程a(x-2)2+b(x-2)+2=0的两根分别为　　　　.
14.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大7,且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数,这个两位数是　　　　　.
15.(2022·江苏海安期中)已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1,x2满足+-x1x2=16,则a的值为　　　　.
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(共3小题,每小题4分,共12分)用适当的方法解下列方程.
(1)3x(x-2)=x-2;
(2)x2-2x+1=0;
(3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8.
17.(7分)(2022·北京海淀区期末)关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m是满足条件的最大整数,求方程的根.
18.(8分)[与菱形的性质综合考查]已知: ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个实数根.
(1)当m为何值时, ABCD是菱形 求出此时菱形的边长;
(2)若AB的长为2,那么 ABCD的周长是多少
19.(8分)(2022·河南洛阳期末)某农场要建一个饲养场,饲养场的一面靠墙(最大可用长度为30 m),另三边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地,并在如图所示的三处各留1 m宽的门(不用木栏),建成后木栏总长为57 m,设饲养场的宽CD为a m.
(1)饲养场的长为　　　　m(用含a的代数式表示);
(2)若饲养场的面积为297 m2,求该饲养场的长和宽.
20.(10分)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.
(1)请问一元二次方程x2-3x+2=0是“倍根方程”吗 如果是,请说明理由.
(2)若(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”,求证:4m2+5mn+n2=0.
(3)若关于x的一元二次方程ax2-6ax+c=0(a≠0)是“倍根方程”,求a和c的关系.
21.(10分)(2022·江西南昌期中)
【课本再现】要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.
(1)①共有　　　　场比赛;
②设比赛组织者邀请x个队参赛,每个队要与其他　　　　个队各赛一场,所以全部比赛　　　　场,列方程:　　　　　　　　.
【小试牛刀】
(2)若参加聚会的每两人之间都要握手一次,所有人共握手了10次,则有多少人参加聚会
【综合运用】
(3)嘉嘉给琪琪出题:
“若在∠AOB的内部由顶点O引出a条射线(不含OA,OB边),角的总数为20,求a的值.”
琪琪的思考:“在这个问题上,角的总数不可能为20.”琪琪的思考对吗 请说明理由.
第二章　一元二次方程
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B A D C A B A A C
11.3x-4-5=0 12.6 13.x1=0,x2=5
14.81 15.-1
1.D　二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10的方程是3x2-8x-10=0,可以变形为3x2=8x+10.
2.B　∵关于x的方程(m-2)x|m|-3x-4=0是一元二次方程,∴解得m=-2.
3.A　把1代入关于x的方程2x2+bx-4=0,得2+b-4=0,解得b=2,即原方程为2x2+2x-4=0,解得x1=-2,x2=1,所以方程的另一个根是-2.
4.D　∵ax2-bx-2=0,∴ax2-bx=2,由题表知当x=-1和x=2时,ax2-bx=2,∴关于x的一元二次方程ax2-bx-2=0的根为x1=-1,x2=2.
5.C　设印刷不清楚的数是a,∵(x-p)2=7,∴x2-2px+p2=7,∴x2-2px=7-p2,∴x2-2px+4=11-p2.∴-2p=-6,a=11-p2,∴p=3,a=11-32=2,即印刷不清楚的数是2.
6.A
如图,甲、乙二人在B处相遇时,乙走了AB=3x,甲走了AC+BC=7x.∵AC=10,∴BC=7x-10.∵∠A=90°,∴BC2=AC2+AB2，即(7x-10)2=102+(3x)2.
7.B　①当2≥m时,2★m=4m+2=36,解得m=8.5>2(不合题意,舍去);②当28.A　因为小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1,所以(-1)2-4+c=0,解得c=3,所以原方程中c=5.则原方程为x2+4x+5=0,所以Δ=16-4×1×5=-4<0,所以原方程无实数根.
9.A　设点P运动t s后,四边形APQC的面积为9 cm2,则BP=(8-t)cm,BQ=2t cm,由题意得×(8-t)×2t=24-9,解得t1=3,t2=5.∵点P从点A运动到点B所需时间为8÷1=8(s),点Q从点B运动到点C所需时间为6÷2=3(s),∴010.C　由题图(2)可知,先构造一个面积为x2的正
方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形,得到大正方形的面积为39+()2×4=39+25=64,∴该方程的正数解为-×2=3.
11.3x-4-5=0
12.6　令h=0,则30t-5t2=0,解得t=0或t=6,∴小球从抛出到落地共用时6 s.
13.x1=0,x2=5　(整体思想)把方程a(x-2)2+b(x-2)+2=0看作关于x-2的方程.∵关于x的方程ax2+bx+2=0的两根分别为x1=-2,x2=3,∴x-2=-2或x-2=3,解得x=0或x=5,∴方程a(x-2)2+b(x-2)+2=0的两根分别为x1=0,x2=5.
14.81　设个位上的数字为x,则十位上的数字为x+7.由题意,得(x+7+x)2=10(x+7)+x,整理,得4x2+17x-21=0,解得x1=1,x2=-(舍去),所以x=1,x+7=8,所以这个两位数是81.
15.-1　∵关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根,∴Δ=[-2(a-1)]2-4×1×(a2-a-2)>0,∴a<3.∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0的两个实数根,∴x1+x2=2(a-1),x1x2=a2-a-2,∴+-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=16,即[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16,整理得a2-5a-6=0,解得a1=-1,a2=6(不合题意,舍去).故a=-1.
16.【参考答案】(1)移项,得3x(x-2)-(x-2)=0, (2分)
分解因式,得(3x-1)(x-2)=0, (3分)
∴x1=,x2=2. (4分)
(2)解法一:配方,得(x-)2=1, (2分)
∴x-=±1, (3分)
∴x1=+1,x2=-1. (4分)
解法二:∵a=1,b=-2,c=1,
∴b2-4ac=4, (1分)
∴x=, (3分)
∴x=±1,
∴x1=+1,x2=-1. (4分)
(3)原方程可化为x2+2x-3=0. (1分)
∵a=1,b=2,c=-3,
∴b2-4ac=22-4×1×(-3)=16, (2分)
∴x==-1±2, (3分)
∴x1=-3,x2=1. (4分)
17.【思路导图】
【参考答案】(1)根据题意得Δ=(2m-1)2-4(m2-1)>0,
解得m<. (3分)
(2)由(1)知,m可取的最大整数是1, (4分)
∴当m=1时,方程为x2+x=0,
解得x1=-1,x2=0. (7分)
18.【解题思路】(1)根据菱形的性质可得出AB=AD,根据Δ=0可求出m的值,将其代入原方程,解方程即可求出菱形的边长.(2)将x=2代入原方程求出m的值,再将m的值代入原方程,解方程即可求出AD的长,进而可求出 ABCD的周长.
【参考答案】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
∴关于x的方程x2-mx+-=0有两个相等的实数根,
∴Δ=m2-4(-)=m2-2m+1=(m-1)2,
∴当(m-1)2=0,即m=1时,四边形ABCD是菱形.(2分)
把m=1代入x2-mx+-=0,
得x2-x+=0,解得x1=x2=,
∴菱形ABCD的边长是. (4分)
(2)∵AB=2,
∴x=2是关于x的方程x2-mx+-=0的一个根.
把x=2代入x2-mx+-=0中,
得4-2m+-=0,解得m=. (5分)
把m=代入x2-mx+-=0中,
得x2-x+1=0,解得x1=2,x2=.
∴AD=.
∴ ABCD的周长是2×(2+)=5. (8分)
19.【参考答案】(1)(60-3a) (3分)
解法提示:57-2a-(a-1)+2=60-3a.
(2)结合(1)得a(60-3a)=297,
整理得a2-20a+99=0.
解得a1=11,a2=9.
当a=9时,60-3a=60-27=33>30,不符合要求,舍去;
当a=11时,60-3a=60-33=27<30,符合要求. (7分)
答:饲养场的长为27 m,宽为11 m. (8分)
20.【解题思路】(1)先求出方程的两根,再根据“倍根方程”的定义判断即可.(2)根据“倍根方程”的定义可知-=1或4,据此可将n用含m的式子表示出来,代入所要求证的式子即可.(3)根据“倍根方程”的定义,进行相关问题的求证与探究即可.
【参考答案】(1)是. (1分)
理由:解方程x2-3x+2=0,
得x1=1,x2=2. (2分)
∵2是1的2倍,
∴一元二次方程x2-3x+2=0是“倍根方程”. (3分)
(2)证明:解方程(x-2)(mx+n)=0,
得x1=2,x2=-.
根据“倍根方程”的定义,得-=1或4,
∴n=-m或n=-4m.
将n=-m代入4m2+5mn+n2,
得4m2-5m2+m2=0;
将n=-4m代入4m2+5mn+n2,
得4m2-20m2+16m2=0.
综上,当(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”时,
4m2+5mn+n2=0. (6分)
(3)由“倍根方程”的定义可设方程ax2-6ax+c=0(a≠0)的两根分别为t和2t.
此时Δ=(-6a)2-4ac=36a2-4ac>0.
由根与系数的关系可知,3t=6,2t2=,
∴t=2,=8,∴c=8a. (9分)
当c=8a时,满足Δ=36a2-4ac=4a2>0.
∴a和c的关系为c=8a. (10分)
21.【参考答案】(1)①28 (1分)
②(x-1)　 　 =28 (4分)
(2)设有b人参加聚会,
由题意得=10,
解得b1=5,b2=-4(舍去),
答:有5人参加聚会. (6分)
(3)琪琪的思考对,理由如下: (8分)
由题意得(a+2)(a+1)=20,
解得a1=,a2=.
因为a为正整数, (9分)
所以角的总数不可能为20. (10分)
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