第六章反比例函数测试卷（含答案）

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2024北师版九年级数学上学期单元测试卷
第六章　反比例函数
时间:90分钟　 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.(2022·广东茂名期末)点(3,4)在反比例函数y=的图象上,则下列各点在此函数图象上的是(　　)
A.(3,-4) B.(-1,-12)
C.(-1,12) D.(-3,4)
2.(2022·广东揭阳期末)反比例函数y=(k≠0)的图象如图所示,则k值可能是 (　　)
A.2 B.-2
C.4 D.8
3.(2022·安徽六安金安区期中)已知关于x的反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则反比例函数y=的图象位于 (　　)
A.第二、四象限 B.第一、三象限
C.第一、二象限 D.第三、四象限
4.(2021·安徽期中)下列各问题中,两个变量之间的关系不是反比例函数的是 (　　)
A.小明完成100 m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系
B.菱形的面积为48 cm2,它的两条对角线的长y(cm)与x(cm)之间的关系
C.一个玻璃容器的体积为30 L时,所盛液体的质量m 与所盛液体的密度ρ之间的关系
D.压力为600 N时,压强p与受力面积S之间的关系
5.(2022·河北唐山路北区期末)如图,直线l⊥x轴于点P,且与反比例函数y1=(x>0)及y2=(x>0)的图象分别交于点A,B,连接OA,OB,已知k1=k2+2,则△OAB的面积是 (　　)
A.0.5 B.4 C.2 D.1
6.(2022·河南郑州五十七中期末)点A(x1,-1),B(x2,2),C(x3,3)都在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是(　　)
A.x1>x2>x3 B.x1>x3>x2
C.x3>x2>x1 D.x2>x3>x1
7.(2022·山东济南市中区期末)如图,关于x的函数y=-(k≠0)和y=k(x-1),它们在同一坐标系内的图象大致是 (　　)
　　 A　　　　B　　　　C　　　　D
8.(2021·广东佛山模拟)如图,ABCD是矩形,反比例函数y1=的图象经过点D,反比例函数y2=的图象经过点C.点A在x轴的负半轴上运动,点B在x轴的正半轴上运动.若矩形ABCD的面积为定值,则下列是定值的是(　　)
A.a+b　　 B.a-b　　 C.　　 D.ab
(第8题)　　　(第9题)
9.如图,为某公园“水上滑梯”的侧面图,其中BC段可看成是一段双曲线,建立如图所示的坐标系,矩形AOEB为向上攀爬的梯子,OA=5米,进口AB∥OD,AB=2米,出口点C距水面的垂直距离CD为1米,则B,C之间的水平距离DE的长度为 (　　)
A.8米 B.6米 C.7米 D.5米
10.如图,已知A(,y1),B(3,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是 (　　)
A.(,0)　 B.(,0)
C.(,0)　　 D.(,0)
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.如果y与x+2成反比例,且当x=4时,y=1,那么y与x之间的函数关系式是　　　　　　.
12.已知A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=的图象上,若x1x2=-3,则y1y2=　　　　.
13.在平面直角坐标系中,对于点P(x,y)和Q(x,y'),给出如下定义:如果当x≥0时,y'=y,当x<0时,y'=-y,那么称点Q为点P的“关联点”.例如:点(-5,6)的“关联点”为(-5,-6).若点N(t,t-1)在反比例函数y=的图象上,且点N是点M的“关联点”,则点M的坐标为　　　　　.
14.如图,已知双曲线y=与直线y=2x交于点A,B,与另一直线y=kx交于点C,D,且四边形ACBD的面积为6,则点C的横坐标为　　　　.
15.如图,在反比例函数y=(x>0)的图象上,有一系列点A1,A2,A3,…,An,An+1,若点A1,A2,A3,…的横坐标分别为2,4,6,…,现分别过点A1,A2,A3,…,An,An+1作x轴、y轴的垂线段,构成若干个矩形,将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1,S2,S3,…,Sn,则S1=　　　　,S1+S2+S3+…+Sn=　　　　(用含n的代数式表示).
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(6分)(2022·吉林期末)已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(2,-3).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)当x≤1且x≠0时,直接写出y的取值范围.
17.(8分)某游泳池每次换水前后水的体积基本保持不变,当该游泳池以300 m3/h的速度放水时,经3 h能将池内的水放完.设放水的速度为x m3/h,将池内的水放完需y h.已知该游泳池的最大放水速度为350 m3/h.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)该游泳池能否在2.5 h内将池内的水放完 请说明理由.
18.(10分)(2022·上海普陀区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点A,且点A的横坐标为1.
(1)求这个反比例函数的表达式;
(2)已知B是正比例函数图象在第一象限内的一点,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C,BC与反比例函数的图象交于点D,如果AB=AC,求点D的坐标.
19.(10分)如图,已知四边形OABC是菱形,OC在x轴上,点B(18,6),反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A,与OB交于点E.
(1)求k的值;
(2)求的值.
20.(10分)【问题呈现】我们知道反比例函数y=的图象是双曲线,那么函数y=+n(k,m,n为常数且k≠0)的图象还是双曲线吗 它与反比例函数y=的图象有怎样的关系呢 让我们一起开启探索之旅……
【探索思考】我们可以借鉴学过的研究函数的方法,探索函数y=的图象.
(1)补全表格,并画出函数的图象.
①列表:
x … -5 -3 -2 0 1 3 …
y … 　 -2 　 　 2 　 …
②描点并连线.
(2)观察图象,写出该函数图象的两条不同类型的特征:
①　;
②　.
【理解运用】
(3)函数y=的图象是由函数y=的图象向　　　平移　　　个单位长度后得到的,其对称中心的坐标为　　　　　.
【灵活应用】
(4)根据上述画函数图象的经验,想一想函数y=+2的图象的大致位置,并直接写出当y≥3时,x的取值范围.
21.(11分)(2022·辽宁鞍山铁东区模拟)在矩形AOBC中,OA=3,OB=4,分别以边OB,OA所在直线建立如图所示的平面直角坐标系.F是BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点F的反比例函数y=(x>0)的图象与AC边交于点E,连接OE,OF,作直线EF.
(1)若BF=1,求反比例函数的表达式;
(2)在(1)的条件下,求出△EOF的面积;
(3)在点F运动的过程中,试说明是定值.
第六章　反比例函数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A B C D D B B A B
11.y= 12.-12 13.(2,1)或(-1,2)
14.2 15.5　
1.B
2.A　(排除法)∵反比例函数的图象在第一、三象限,∴k>0.∵当图象上的点的横坐标为2时,纵坐标小于2,∴k<4.故选A.
3.B　∵关于x的反比例函数y=的图象位于第二、四象限,∴k-3<0,∴k<3,∴4-k>0,∴反比例函数y=的图象位于第一、三象限.
4.C　根据速度和时间的关系得v=,所以选项A不合题意;因为菱形的对角线互相垂直平分,所以xy=48,即y=,所以选项B不合题意;根据体积、质量m与所盛液体的密度ρ之间的关系得m=30p,所以选项C符合题意;根据压力、压强p与受力面积S之间的关系得p=,所以选项D不合题意.
5.D　根据反比例函数中k的几何意义可知,△AOP的面积为,△BOP的面积为,∴△AOB的面积为(-)=(k1-k2).∵k1=k2+2,∴k1-k2=2,∴△AOB的面积为×2=1.
6.D　∵k2+1>0,∴反比例函数的图象在第一、三象限,且在每个象限内,y随x的增大而减小.∵点A(x1,-1),B(x2,2),C(x3,3)都在反比例函数y=的图象上,且y3>y2>0>y1,∴点A(x1,y1)在第三象限,点B(x2,y2),C(x3,y3)在第一象限,∴x1<0,0x3>x1.
7.B　当k>0时,一次函数y=k(x-1)的图象经过第一、三、四象限,反比例函数y=-的图象经过第二、四象限;当k<0时,一次函数y=k(x-1)的图象经过第一、二、四象限,反比例函数y=-的图象经过第一、三象限.故选B.
8.B　∵四边形ABCD是矩形,且面积为定值,∴|a|+|b|为定值,∵a<0,b>0,∴-a+b是定值.∵a-b与-a+b互为相反数,∴a-b是定值.
9.A　∵四边形AOEB是矩形,∴BE=OA=5米,OE=AB=2米,∴B(2,5).设双曲线的表达式为y=(k≠0),把B(2,5)代入y=,得k=10,∴y=.∵CD=1米,∴设C(x,1).把C(x,1)代入y=,得x=10,即OD=10米,∴DE=OD-OE=10-2=8(米),故选A.
10.B　把A(,y1),B(3,y2)分别代入反比例函数y=,得y1=3,y2=,∴A(,3),B(3,).如图,连接AB,在△ABP中,由三角形的三边关系定理得|AP-BP|11.y=　∵y与x+2成反比例,∴可设y=(k≠0)∵当x=4时,y=1,∴k=6,故y与x之间的函数关系式是y=.
12.-12　因为A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=的图象上,所以y1=,y2=.把这两个等式的两边分别相乘,得y1y2=·.又x1x2=-3,所以y1y2==-12.
13.(2,1)或(-1,2)　∵点N(t,t-1)在反比例函数y=的图象上,∴t(t-1)=2,解得t=2或t=-1,∴N(2,1)或(-1,-2),∴点M的坐标为(2,1)或(-1,2).
14.2　联立得解得或∴A(1,2),B(-1,-2),如图,∵反比例函数和正比例函数的图象均关于原点对称,∴A,B两点关于原点对称,C,D两点关于原点对称,∴S△AOC=S四边形ACBD=×6=.作AM⊥x轴于点M,CN⊥x轴于点N,∵S△AOM=S△CON=×2×1=1,∴S△AOC=S△AOM+S梯形AMNC-
S△CON=S梯形AMNC=,∴(AM+CN)·MN=.设C(m,),则(2+)(m-1)=.整理得2m2-3m-2=0,解得m=2或m=-(舍去),故点C的横坐标为2.
15.5　　∵点A1,A2在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴A1(2,5),A2(4,),∴S1=2×(5-)=5.易知An(2n,),An+1(2n+2,),∴S2=2×(-)=,S3=2×(-)=,…,Sn=2×(-)=.∵=-,∴S1+S2+S3+…+Sn=10×[++…+]=10×(1-+-+…+-)=.
16.【参考答案】(1)∵反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(2,-3),
∴k=2×(-3)=-6,
∴反比例函数的表达式为y=-. (3分)
(2)y>0或y≤-6. (6分)
解法提示:∵-6<0,
∴反比例函数的图象在第二、四象限.
把x=1代入y=-,得y=-6,
∴当x≤1且x≠0时,y>0或y≤-6.
17.【参考答案】(1)由题意得 xy=300×3=900,
∴y=(0(2)该游泳池不能在 2.5 h内将池内的水放完. (5分)
理由:若x=350,
则y=≈2.57.
∵2.57>2.5,
∴该游泳池不能在 2.5 h内将池内的水放完. (8分)
18.【解题思路】(1)把x=1代入y=2x求出点A的坐标,把点A的坐标代入y=(k≠0)求出k的值可得结论;(2)过点A作AE⊥BC于点E,求出CE=2,根据等腰三角形的性质,求出CE=BE=2,得出点B的纵坐标为4,代入y=2x求出点B的坐标,进而得点D的横坐标,代入反比例函数表达式求得结论.
【参考答案】(1)把x=1代入y=2x,
得y=2,
∴点A的坐标为(1,2). (2分)
把点A的坐标代入y=,
得k=1×2=2,
∴反比例函数的表达式为y=. (4分)
(2)如图,过点A作AE⊥BC于点E.
∵BC⊥x轴,
∴AE∥x轴.
∵A(1,2),
∴CE=2. (6分)
∵AC=AB,AE⊥BC,
∴CE=BE=2,
∴点B的纵坐标为4.
把y=4代入y=2x,得4=2x,
解得x=2,
∴点B的坐标为(2,4). (8分)
把x=2代入y=,
得y=1,
∴D(2,1). (10分)
19.【解题思路】(1)过点B作BF⊥x轴于点F,根据菱形的性质、勾股定理即可求得菱形的边长,从而求得点A的坐标,然后代入反比例函数的表达式,即可求得k的值;(2)设出点E的坐标,过点E作EG⊥x轴于点G,证得△OGE∽△OFB,然后根据相似三角形的性质求解即可.
【参考答案】(1)如图,过点B作BF⊥x轴于点F.
由题意可得BF=6,OF=18.
∵四边形OABC是菱形,
∴OC=BC.
在Rt△BCF中,62+(18-BC)2=BC2,
解得BC=10. (3分)
∴易得点A的坐标为(8,6),
将点A(8,6)代入y=,得k=48. (5分)
(2)由(1)知y=,可设E(a,),如图,过点E作EG⊥x轴于点G,则OG=a,EG=.
∵EG⊥x轴,BF⊥x轴,
∴EG∥BF,
∴△OGE∽△OFB,
∴=,
即=,
解得a=12, (8分)
∴===,
∴==2. (10分)
20.【参考答案】 (1)①
x … -5 -3 -2 0 1 3 …
y … -1 -2 -4 　4　 2 　1　 …
(2分)
② (4分)
(2)图象是中心对称图形 (5分)
当x>-1时,y随x的增大而减小 (6分)
(3)左　1　(-1,0) (8分)
(4)当y≥3时,-1解法提示:函数y=+2的图象是由函数y=的图象向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后得到的.
21.【解题思路】(1)由BF和OB的长可求出点F的坐标,进而可求出反比例函数的表达式;(2)用矩形的面积-△AOE的面积-△ECF的面积-△OBF的面积即可求出;(3)由点F和点E在函数图象上,可分别得出点E和点F的坐标,表示出EC和FC的长,进而求解.
【参考答案】(1)∵OB=4,BF=1,
∴F(4,1).
∵反比例函数y=的图象过点F,
∴k=1×4=4,
∴反比例函数的表达式为y=(x>0). (3分)
(2)由题意得,点E的纵坐标为3.
当y=3时,x=,
∴E(,3),
∴CE=4-=,CF=3-1=2,
∴S△ECF=×2×=,
S△AOE=×3×=2,
S△OBF=×4×1=2,
∴S△OEF=3×4-S△ECF-S△AOE-S△OBF
=12--2-2
=. (7分)
(3)∵反比例函数y=(x>0)的图象过点F,E,且点E的纵坐标为3,点F的横坐标为4,
∴E(,3),F(4,),
∴AE=,BF=,
∴EC=4-=,FC=3-=,
∴=. (11分)
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