2.2基本不等式 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
2.2基本不等式
一
二
三
教学目标
掌握基本不等式，了解基本不等式的证明过程
理解基本不等式的取最值成立条件
（一正二定三相等）
利用基本不等式解决简单的最值问题
教学目标
难点
重点
易错点
会标
2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标
思考1：这图案中含有哪些几何图形？
思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？
（1）大正方形边长为___________，
面积S为______________
（2）四个直角三角形________，
面积和S’为_______________
（3）S与S’的大小关系是_________，故有_______
思考3：S与S’可能相等吗？满足什么条件时相等？
A
D
C
B
H
F
G
E
A
B
C
D
E(FGH)
a
b
a=b时，S与S’能相等
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立。
文字叙述为:
两数的平方和不小于它们积的2倍.
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？本节就来研究这个问题。
新课讲授
新课讲授
通常称不等式(1)为基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
即：
上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.
要证 ，①
只要证 ②
要证②，只要证 ③
要证③，只要证 ④
要证④，只要证 ⑤
显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立.
只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.
基本不等式的证明
代数法
基本不等式
基本不等式的证明
用圆的性质证明
B
C
A
D
E
a
b
O
AB为圆O的直径。用,b表示线段AC,BC
OD=______
CD=______
OD_____CD
≥
“半径不小于半弦”
例1 已知求的最小值.
解：∵∴
当且仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为2.
在本题的解答中，我们不仅明确了有而且给出了“当且仅当即时，等号成立”，这是为了说明2是的一个取值.想一想，当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？
例2 已知都是正数，求证：
(1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
(2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值
证明：∵都是正数，∴
(1)当积等于定值时，∴当且仅当时，上式等号成立.
于是，当时，和有最小值.
积定和最小
例2 已知都是正数，求证：
(1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
(2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值
证明：∵都是正数，∴
(2)当和等于定值时，
∴
当且仅当上式等号成立.
于是，当时，积有最大值
和定积最大
【例】已知都是正数，求证：
（1）如果等于定值P，那么当时，有最小值
【证明】所以
（1）等于定值P时， ，所以
当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值
（2）如果等于定值S，那么当时，有最大值
（2）时， ，两边平方，所以
，当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值
最值定理及其应用
①当时，，，
当且仅当时，等号成立.
②当时，，
当且仅当时，等号成立.
最值定理及其应用
常见题型分类
题型一：对基本不等式的理解
例1 不等式+中，等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
D
变1 （多选）已知且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．C． D．
BC
题型二：利用基本不等式比较大小
例2 设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
A
题型二：利用基本不等式比较大小
变2 若，，且，则，，，中最大的是（ ）.
A． B． C． D．
D
∵，，且，
∴
∴四个数中最大的应从，中选择.
而
又∵，，∴
∴即
∴最大
题型三：利用基本不等式证明不等式
例3 已知均为正数且求证：.
证明：
∴
当且仅当时，等号成立.
∴.
题型三：利用基本不等式证明不等式
变3-1 已知且求证：.
题型三：利用基本不等式证明不等式
变3-2 已知求证：.
题型三：利用基本不等式证明不等式
变3-3 已知求证：.
证明：∵
∴利用基本不等式有：
∴
∴.
当且仅当时等号成立.
课堂小结
1、利用基本不等式求最值时，要注意
2、已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P (当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2) x+y=S xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
1
4
一正二定三相等
知识像一艘船让它载着我们驶向理想的
……
谢谢
再 见