2.2基本不等式 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
2.2.1　基本不等式
学习目标
1.能够推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义,并掌握不等式中“≥”取等号的条件；
2.掌握基本不等式 ；会应
用基本不等式求一些函数的最值能够解决一些简单的实际问题
3.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.
复习导入
重要不等式：一般地，
当且仅当a=b时，等号成立
特别地，如果a>0,b>0,我们用,,可得
当且仅当a=b时，等号成立
当通常把上式称为基本不等式
说明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数
复习导入
当且仅当a=b时，等号成立
说明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数
算数平均数
几何平均数
重要不等式与基本不等式的比较
适用范围
文字叙述
“=”成立条件
a=b
a=b
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两数的平方和不小于它们积的2倍
a,b∈R
a>0,b>0
证明：要证
只要证
①
要证①，只要证
②
要证②，只要证
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
分析法
问题
证明不等式：
探究点 利用基本不等式证明简单不等式
求证：
探究点 利用基本不等式证明简单不等式
试一试：能否从几何的角度解释基本不等式？
②如何用a, b表示CD CD=______
①如何用a, b表示OD OD=______
③OD与CD的大小关系怎样 OD_____CD
≥
几何意义：半径不小于半弦长
当点C在什么位置时OD=CD？
此时a与b的关系是？
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
A
B
C
D
E
a
b
O
例1.已知求的最小值.
解：∵∴
当且仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为2.
在本题的解答中，我们不仅明确了有而且给出了“当且仅当即时，等号成立”，这是为了说明2是的一个取值.
想一想，当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？
例2.已知都是正数，求证：
(1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
证明：∵都是正数，∴
(1)当积等于定值时，∴
积定和最小
当且仅当时，上式等号成立.
于是，当时，和有最小值.
已知都是正数，求证：
(2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值
和定积最大
当且仅当上式等号成立.
于是，当时，积有最大值
证明：(2)当和等于定值时，
∴
1.已知a，b，c都是正数，求证：
(１) (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc；
(２) (a+b+c)(++)≥9．
方
法
总结
数学思想 之 转化与化归
问
题
分
析
(１) 提示: (a+b)≥2； (b+c)≥2； (c+a)≥2
(２) (a+b+c)(++)=++
=3+()+()+()≥3+2+2+2=9．
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当一侧为定值时，即为另一侧的一个最值；当然，先要满足取等条件.
2. (1) 已知x>0，则y=的最小值为 ；
(2) 已知x>1，则y=x+的最小值为 ；
(3) 已知0方
法
总结
数学思想 之 转化与化归
问
题
解
析
(1) y=3+(x+) ≥3+4=7 (2)y=(x-1)+ +1 ≥3
(3) y=x(3-2x) =≤=
(1)变形后局部可用基本不等式；
(2)与 (3)根据和或积的结构特征，可先配凑，再用基本不等式.
3.已知a>0，b>0，若不等式+≥恒成立，求m的
最大值.
方
法
总结
数学思想 之 极端思想 + 转化与化归
问
题
分
析
由+≥恒成立得m≤()(a+4b)恒成立；
而()(a+4b)=8+(+)≥8+8=16(当a=4b时取等号)
所以, m的最大值为16.
先将恒成立问题转化为求最值问题，再根据目标式的结构特点，局部使用基本不等式求得最值.
4.已知a+b=2，b>0，求+的最小值.
方
法
总结
数学思想 之 分类讨论 + 逆向思维
问
题
分
析
1)当02)当a<02时, ==+()≥-+1=；
所以, m的最小值为.
1.目标式含有绝对值的，要分类讨论； 2. 根据结构的需要，对常数1可以作逆向代换，以迎合基本不等式一侧积为常数的需要.
常用变形和结论
1.所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果。
2.要先观察题中要证明不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式.
3.累加法是不等式性质的应用，也是证明不等式的一种常用方法。注意多次运用基本不等式时是否能同时取等号.
利用基本不等式证明不等式的方法
课堂小结
谢谢大家
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