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（总课时47）§7.1为什么要证明
一.选择题：
1.下列推理正确的是（ B ）
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁，B．如果a>b，b>c，那么a>c
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多
D．因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
2.下列问题你不能肯定的是（ B ）
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B．三角形与矩形的面积关系
C．三角形的内角和 D．边形的外角和
3.如图1，∠1＝60 ，∠2＝60 ，∠3＝57 ，则∠4＝57 ，下面是A，B，C，D四个同学的推理过程，你认为推理正确的是（C）
A．因为∠1＝60 ＝∠2，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57
B．因为∠4＝57 ＝∠3，所以a∥b，故∠1＝∠2＝60
C．因为∠2＝∠5，又∠1＝60 ，∠2＝60 ，故∠1＝∠5＝60 ，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57
D．因为∠1＝60 ，∠2＝60 ，∠3＝57 ，所以∠1＝∠3＝∠2－∠4＝60 －57 ＝3 ，故∠4＝57
4.下列结论，你能肯定的是（B ）
A．今天是阴天，明天必然还是阴天，B．三个连续整数的积一定能被6整除
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
5.张大伯在中国银行存入10000元人民币，并在存单上留下了6位数的密码，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，但由于年龄的缘故，张大伯忘记了密码中间的两个数字，那么张大伯最多可能实验多少次，才能正确输入密码（C）A. 1次 B. 50次 C. 100次 D. 200次
6.小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（C）
A. 小华用的多 B. 小明用的多
C. 两人用的一样多 D. 不能确定谁用的多
二.填空题：
7.要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步，有根有据地进行推理．
8.为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是1024．
9.现有A，B，C，D，E五名同学，他们分别来自一中、二中、三中．已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中的联欢会上，A，B，E作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）B过去曾在三中学习，后来转学了，现在同D在同一个班学习；（4）D，E是同一所学校的三好学生．根据以上叙述，可以判断E所在的学校为__一中_．
10.若n是整数，2n＋5(n是整数)是奇数，2n－8是偶数．(填“奇数”或“偶数”)
三.解答题：
11.先观察再验证：（如图）
（1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？（2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？
（3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？
解：观察可能得出的结论是：(1)中的实线是弯曲的；(2)a更长一些；(3)AB与CD不平行。
用科学的方法验证可发现：(1)中的实线是直的；(2)a与b一样长；(3)AB与CD平行。
12.一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？
解：正确，上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确性，可作如下证明：
∵原两位数的十位数字为a，个位数字为b（），
∴原两位数为，新两位数为.
∵，是11的整数倍，
∴这两个两位数的和能被11整除.
∵，一定不是11的整数倍，
∴这两个两位数的差不能被11整除，
∴上述说法正确.
图1
图1
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（总课时47）§7.1为什么要证明
一.选择题：
1.下列推理正确的是（ ）
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁，B．如果a>b，b>c，那么a>c
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多
D．因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
2.下列问题你不能肯定的是（ ）
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B．三角形与矩形的面积关系
C．三角形的内角和 D．边形的外角和
3.如图1，∠1＝60 ，∠2＝60 ，∠3＝57 ，则∠4＝57 ，下面是A，B，C，D四个同学的推理过程，你认为推理正确的是（ ）
A．因为∠1＝60 ＝∠2，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57
B．因为∠4＝57 ＝∠3，所以a∥b，故∠1＝∠2＝60
C．因为∠2＝∠5，又∠1＝60 ，∠2＝60 ，故∠1＝∠5＝60 ，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57
D．因为∠1＝60 ，∠2＝60 ，∠3＝57 ，所以∠1＝∠3＝∠2－∠4＝60 －57 ＝3 ，故∠4＝57
4.下列结论，你能肯定的是（ ）
A．今天是阴天，明天必然还是阴天，B．三个连续整数的积一定能被6整除
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
5.张大伯在中国银行存入10000元人民币，并在存单上留下了6位数的密码，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，但由于年龄的缘故，张大伯忘记了密码中间的两个数字，那么张大伯最多可能实验多少次，才能正确输入密码（ ）A. 1次 B. 50次 C. 100次 D. 200次
6.小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（ ）
A. 小华用的多 B. 小明用的多
C. 两人用的一样多 D. 不能确定谁用的多
二.填空题：
7.要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步，有根有据地进行_____．
8.为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是_____．
9.现有A，B，C，D，E五名同学，他们分别来自一中、二中、三中．已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中的联欢会上，A，B，E作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）B过去曾在三中学习，后来转学了，现在同D在同一个班学习；（4）D，E是同一所学校的三好学生．根据以上叙述，可以判断E所在的学校为_______．
10.若n是整数，2n＋5(n是整数)是_____，2n－8是_____．(填“奇数”或“偶数”)
三.解答题：
11.先观察再验证：（如图）
（1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？（2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？
（3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？
解：
12.一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？
解：
图1
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（总课时47）§7.1为什么要证明
【学习目标】了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等
【学习重难点】体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性。
【导学过程】
一.知识回顾：
1.观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？
2.下列结论是人们利用观察，实验，归纳和类比得到的。判断是否是正确的.
（1）两点之间，线段最短。（______）（2）n边形有n条对角线.(______)
（3）对顶角相等。(______)
二.探究新知：
探究1.（1）观察：图1中的线段a,b是一样长吗？图2中的四边形是正方形吗？图3中的a,b,c中的哪条线段与线段d在同一条直线上？
（2）把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大 猜一猜能放进一个枣吗？能放进一个拳头吗？
解：
点评：通过计算发现，空隙的大小与原物体周长无关。那么篮球与铁丝的空隙也应该为______
探究2.（3）小亮通过计算发现，当n=1,2,3,4,5时，代数式n2-n+11的值是质数，于是得出结论，当n为自然数时，n2-n+11的值一定是质数。请问这个结论正确吗？请举例说明。
解：_________________________________________________________________________
（4）我们知道：2×2＝4,2＋2＝4.
试问：对于任意数a与b，是否一定有结论a×b＝a＋b
解：__________________________________________________________________________________
点评：要判断一个结论是错误的，只要举出一个反例就可以了.
探究3.（5）有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：①红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里．”②黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里．”③蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里．”已知①②③中只有一句是真的，那么苹果在哪个箱子里？
解：
三.典例与练习：
例1.八(1)班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n的取值(n＝1，2，3，…，39)代入式子n2+n+41，结果发现式子的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然数，式子的值都是质数．”
你认为这个猜想正确吗？验证一下n＝40的情形．
解：______________________________________________________________
练习1.若P（P≥5）是一个质数而且P2﹣1除以24没有余数，则这种情况（ ）
A.绝不可能 B.只是有时可能 C.总是可能 D.只有当P=5时可能
例2.我校新来了三位年轻老师，蔡老师、朱老师、孙老师，他们每人分别教生物、物理、英语、政治、历史和数学六科中的两科课程．其中，三个人有以下关系：
①物理老师和政治老师是邻居；②蔡老师在三人中年龄最小；
③孙老师、生物老师和政治老师三人经常一起从学校回家；④生物老师比数学老师年龄要大些；
⑤在双休日，英语老师、数学老师和蔡老师三人经常一起打排球．
根据以上条件，可以推出朱老师可能教（ ）A.历史和生物 B.物理和数学 C.英语和生物 D.政治和数学
练习2.下列说法正确的是（ ）
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数
D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
练习3.甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”
三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是____打破的．
练习4.图（①）为雅婷左手拿着3张深灰色与2张浅灰色的牌迭在一起的情形．以下是她每次洗牌的三个步骤：
步骤一：用右手拿出迭在最下面的2张牌，如图（②）．
步骤二：将右手拿的2张牌依序交错插入左手拿的3张牌之间，如图（③）．
步骤三：用左手拿着颜色顺序已改变的5张牌，如图（④）．
若依上述三个步骤洗牌，从图（①）的情形开始洗牌若干次后，其颜色顺序会再次与图（①）相同，则洗牌次数可能为下列何者？（ ）
A. 18 B. 20 C. 25 D. 27
四.课堂小结：
通过以上的数学活动，使学生明确了要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步，有根有据的推理。
五.分层过关：
1.下列结论，你能肯定的是（ ）
A．今天是阴天，明天必然还是阴天，B．三个连续整数的积一定能被6整除
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
2.下列推理正确的是（ ）
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁，
B．如果a>b，b>c，那么a>c，
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多，
D．因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
3.小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … …
那么，当输入数据为8时，输出的数据为___．
4.如图，观察所给算式，找出规律:
1+2+1=4，1+2+3+2+1=9，1+2+3+4+3+2+1=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，.....
根据规律计算1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=______
5.当时，代数式；当时，__；
当时，__；当时，__．因此，小明推断，不论取任何正整数，的值都是__，这个推断是_____的．（填“正确”或“错误”）
6.如图，A，B，C，D，E五人围坐在圆桌旁，为A祝贺生日，小华问他们当时的座位．
A说：“我在B的旁边．”
B说：“我的左边不是C就是D．”
C说：“我在D的旁边．”
D说：“不，C在B的右边是错的．”
只有E作了如实回答：“除B说正确之外，A，C，D都说错了．”你能确定他们的位置吗？
解：
7.观察下列各个等式的规律：
第一个等式：=1，第二个等式： =2，第三个等式：=3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．
解：
8.三个同学在玩“我是大侦探”游戏，小张、小王、小李三人中有一个是卧底．小张说：“我就是卧底．”小王说：“我不是卧底．”小李说：“小张不是卧底．”他们三人中只有一人说的是真话，那么谁是真正的卧底？
解：
答：______
点评：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．
答:______________________________________________________
____________________________.
点评：仅凭观察得到的结论不一定正确．眼睛看到的并一定可靠，直觉有时会产生错误，不是永远可信的.
图1
a
b
图2
图3
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（总课时47）§7.1为什么要证明
【学习目标】了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等
【学习重难点】体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性。
【导学过程】
一.知识回顾：
1.观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？
2.下列结论是人们利用观察，实验，归纳和类比得到的。判断是否是正确的.
（1）两点之间，线段最短。（正确）（2）n边形有n条对角线.(不正确)
（3）对顶角相等。(正确)
二.探究新知：
探究1.（1）观察：图1中的线段a,b是一样长吗？图2中的四边形是正方形吗？图3中的a,b,c中的哪条线段与线段d在同一条直线上？
（2）把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大 猜一猜能放进一个枣吗？能放进一个拳头吗？
解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为：
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头。
点评：通过计算发现，空隙的大小与原物体周长无关。那么篮球与铁丝的空隙也应该为0.16m.
探究2.（3）小亮通过计算发现，当n=1,2,3,4,5时，代数式n2-n+11的值是质数，于是得出结论，当n为自然数时，n2-n+11的值一定是质数。请问这个结论正确吗？请举例说明。
解：不正确,n=0,1,2....10时，结论正确，但当n=11时，n2-n+11=n(n-1)+11=11×10+11=121=112不是质数.
（4）我们知道：2×2＝4,2＋2＝4.
试问：对于任意数a与b，是否一定有结论a×b＝a＋b
解：∵3×2＝6，而3＋2＝5，6≠5，对于任意数a与b，结论a×b＝a＋b不一定成立.
点评：要判断一个结论是错误的，只要举出一个反例就可以了.
探究3.（5）有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：①红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里．”②黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里．”③蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里．”已知①②③中只有一句是真的，那么苹果在哪个箱子里？
解：经分析得①③中有一句是真话，一句是假话，而已知真话只有一句，所以②必是假话，从而可知苹果在黄箱子里．
三.典例与练习：
例1.八(1)班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n的取值(n＝1，2，3，…，39)代入式子n2+n+41，结果发现式子的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然数，式子的值都是质数．”
你认为这个猜想正确吗？验证一下n＝40的情形．
解：这个猜想不正确.当n=40时，n(n+1)+41=40×41+41=41×41,是不是质数.
练习1.若P（P≥5）是一个质数而且P2﹣1除以24没有余数，则这种情况（C）
A.绝不可能 B.只是有时可能 C.总是可能 D.只有当P=5时可能
例2.我校新来了三位年轻老师，蔡老师、朱老师、孙老师，他们每人分别教生物、物理、英语、政治、历史和数学六科中的两科课程．其中，三个人有以下关系：
①物理老师和政治老师是邻居；②蔡老师在三人中年龄最小；
③孙老师、生物老师和政治老师三人经常一起从学校回家；④生物老师比数学老师年龄要大些；
⑤在双休日，英语老师、数学老师和蔡老师三人经常一起打排球．
根据以上条件，可以推出朱老师可能教（C）A.历史和生物 B.物理和数学 C.英语和生物 D.政治和数学
练习2.下列说法正确的是（D）
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数
D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
练习3.甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是_乙_打破的．
练习4.图（①）为雅婷左手拿着3张深灰色与2张浅灰色的牌迭在一起的情形．以下是她每次洗牌的三个步骤：
步骤一：用右手拿出迭在最下面的2张牌，如图（②）．
步骤二：将右手拿的2张牌依序交错插入左手拿的3张牌之间，如图（③）．
步骤三：用左手拿着颜色顺序已改变的5张牌，如图（④）．
若依上述三个步骤洗牌，从图（①）的情形开始洗牌若干次后，其颜色顺序会再次与图（①）相同，则洗牌次数可能为下列何者？（B）
A. 18 B. 20 C. 25 D. 27
四.课堂小结：
通过以上的数学活动，使学生明确了要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步，有根有据的推理。
五.分层过关：
1.下列结论，你能肯定的是（ B）
A．今天是阴天，明天必然还是阴天，B．三个连续整数的积一定能被6整除
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
2.下列推理正确的是（B）
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁，
B．如果a>b，b>c，那么a>c，
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多，
D．因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
3.小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … …
那么，当输入数据为8时，输出的数据为___．
4.如图，观察所给算式，找出规律:
1+2+1=4，1+2+3+2+1=9，1+2+3+4+3+2+1=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，.....
根据规律计算1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=__10000_
5.当时，代数式；当时，1；当时，1；当时，1．因此，小明推断，不论取任何正整数，的值都是1，这个推断是错误的．（填“正确”或“错误”）
6.如图，A，B，C，D，E五人围坐在圆桌旁，为A祝贺生日，小华问他们当时的座位．
A说：“我在B的旁边．”B说：“我的左边不是C就是D．”
C说：“我在D的旁边．”
D说：“不，C在B的右边是错的．”
只有E作了如实回答：“除B说正确之外，A，C，D都说错了．”你能确定他们的位置吗？
解：如图，有两种可能．
7.观察下列各个等式的规律：
第一个等式：=1，第二个等式： =2，第三个等式：=3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．
解：（1）由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是：=4；
（2）第n个等式是：=n．
证明如下：∵= = =n
∴第n个等式是：=n．
8.三个同学在玩“我是大侦探”游戏，小张、小王、小李三人中有一个是卧底．小张说：“我就是卧底．”小王说：“我不是卧底．”小李说：“小张不是卧底．”他们三人中只有一人说的是真话，那么谁是真正的卧底？
解：此题可以采用假设法进行讨论推理，根据题干，小张说：“我就是卧底．”小李说：“小张不是卧底．”，那么小张和小李必定有一个人说了真话，从此入手即可展开讨论：假设小张说的是真话，如果能推理得出小王和小李都说的假话，那么假设就成立，反之不成立．∴小王是真正的卧底．
答：一样大
点评：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．
答：图（1）中a=b
图（2）中的四边形是正方形
图(3)中的b与d在同一条直线上.
点评：仅凭观察得到的结论不一定正确．眼睛看到的并一定可靠，直觉有时会产生错误，不是永远可信的.
图1
a
b
图2
图3
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