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（总课时50）§7.3平行线的判定
【学习目标】经历探索平行线判定定理的过程，初步了解证明的步骤和书写格式.
【学习重难点】在证明过程中发展初步的演绎推理的能力.
【导学过程】
一.知识回顾：
1.平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
2.如图1，直线a，b被直线c所截，
图中的同位角有∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；
内错角：∠4与∠5，∠3与∠6；同旁内角：∠3与∠5，∠4与∠6.
3.两直线平行的判定条件有：
（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行.
二.探究新知：
引例1.已知：如图2，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.
求证：a∥b
证明：∵∠1与∠2互补（已知）
∴∠1+∠2=180°（互补定义）∴∠1=180°－∠2（等式的性质）
∵∠3+∠2=180°（平角定义）∴∠3=180°－∠2（等式的性质）
∴∠1=∠3（等量代换）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．
注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．
（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．
（3）在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．
引例2.已知：如图3，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b
证明：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠2=∠3（等量代换）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
这一定理可简单地写成：内错角相等，两直线平行．
引例3：已知，如图4，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．
证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）
∴∠1=∠2（等量代换）∴b∥a（同位角相等，两直线平行）
定理：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行.
三.典例与练习：
例1.已知：如图5，点D,E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠DCB=40°，∠AED=80°求证：DE∥BC.
证明：∵CD平分∠ACB，∠DCB=40°（已知）
∴∠ACB=80°（角平分线定义）
∵∠AED=80°（已知）∴∠ACB=∠AED（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
练习1如图6，下列推理中，正确的是( B )
A．∵∠2＝∠4，∴AD∥BC B．∵∠1＝∠3，∴AD∥BC
C．∵∠4＋∠D＝180°，∴AD∥BC D．∵∠4＋∠B＝180°，∴AB∥CD
例2.如图7，∠1=70°，∠2=110°，AB与ED平行吗？为什么？
证明：∵∠1+∠COA=180°（平角定义），∠1=70°（已知），
∴∠COA=180°﹣70°=110°（等量代换），
∵∠2=110°（已知），∴∠AOC=∠2（等量代换），
∴AB∥ED．（同位角相等，两直线平行）
练习2.如图8，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；
②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠3＝180°；
⑤∠6＝∠8，其中能判断a∥b的是①③⑤（填序号）
练习3.如图9，∠B＝40°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝65°．求证：AB∥CD．
证明：在△ABC中，∵∠A+∠B+∠1=180°(三角形内角和等于180°)
∠B=40°，∠1=∠A+10°(已知)
∴∠A+∠B+∠1=∠A+40°+∠A+10°=180°（等量代换）
∴∠A=65°（等式性质）∵∠ACD＝65°（已知）∴∠A=∠ACD（等量代换）
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
例3.已知：如图10：∠AHF＋∠FMD＝180°，GH平分∠AHM，MN平分∠DMH.
求证：GH∥MN.
证明：∵∠DMH+∠FMD=180°（平角定义）∠AHF＋∠FMD＝180°（已知）
∴∠DMH=∠AHF（等量代换）∵GH平分∠AHM，MN平分∠DMH（已知）
∴∠NMH=∠GHF（等式性质）∴GH∥MN（内错角相等，两直线平行）
四.课堂小结：
1.平行线判定定理：①同位角相等，两直线平行②同旁内角互补，两直线平行③内错角相等，两直线平行.
2.由角的大小关系来证两直线平行的方法，体现了“数”与“形”的关系；
3.注意：证明语言的规范化，格式化．推理过程要有依据.
五.分层过关：
1.如图，给出下列条件：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；⑤∠B=∠D.其中，一定能判定AB∥CD的条件的个数有（ C ）A．5 B．4 C．3 D．2
2.同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（B）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定
3.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是(A)
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
4.如图所示，已知∠1=∠3，∠2=∠4，不能判定AB∥CD的条件是（A）
A．∠1=∠2 B．∠1+∠2=90． C．∠3+∠4=90． D．∠2+∠3=90．
5.下列图形中，已知∠1=∠2,则可得到AB∥CD的是( B )
A．B．C．D．
6.如图：请你添加一个条件∠EDC=∠C或∠E=∠EBC可以得到DE∥AB
7.如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，
第1步：画直线AB，将三角尺的一边紧靠直线AB，将直尺紧靠三角尺的另一边：
第2步：将三角尺沿直尺下移：
第3步：沿三角尺原先紧靠直线AB的那一边画直线CD．
这样就得到AB∥CD．这种画平行线的依据是同位角相等，两直线平行．
8.在同一平面内有直线a1，a2，a3，a4…a2 020，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，按此规律下去，则a1与a2 020的位置关系是_平行_．
9.如图，已知△ABC≌△DEF，点B、E、C、F在同一直线上，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
(1)求∠F的度数与DH的长；(2)求证：AB∥DE．
解：（1）∵∠A=85°，∠B=60°(已知)，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=35°，（三角形内角和定理）
∵△ABC≌△DEF，AB=8(已知)，∴∠F=∠ACB=35°DE=AB=8，（全等三角形对应角、对应边相等），
∵EH=2，∴DH=8-2=6（等式的性质）；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠DEF=∠B，∴AB∥DE．（同位角相等，两直线平行）
10.已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．
证明：∵AD=BC，∴AC=BD，
在△ACE和△BDF中，
，∴△ACE≌△BDF（SSS）
∴∠A=∠B，∴AE∥BF；（内错角相等，两直线平行）
图1
图2
图3
图4
A
D
B
E
C
图5
图6
图7
图8
图9
图10
第1题
第3题
第4题
第6题
第7题
第9题
第10题
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（总课时50）§7.3平行线的判定
一.选择题：
1.如图，∠1，∠2，...∠8是两条直线a,b被直线c所截后形成的八个角，则能够判定直线a∥b的是（B）
A．∠3+∠4=180° B．∠1+∠8=180° C．∠5+∠7=180° D．∠2+∠6=180°
2.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（B）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
3.如图，点C是直线AB，DE之间的一点，∠ACD=90°，下列条件能使得AB∥DE的是（B）
A.∠α+∠β=180° B.∠β﹣∠α=90° C.∠β=3∠α D.∠α+∠β=90°
4.如图，下列推理中正确的有（ A ）
①因为∠1＝∠2，所以BC∥AD； ②因为∠2＝∠3，所以AB∥CD；
③因为∠BCD+∠ADC=180°，所以BC∥AD；④因为∠BCD+∠ABC=180°，所以BC∥AD．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.（2019春）如图，下列四个条件中，能判断DE∥AC的是（A）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠EDC+∠EFC＝180° D．∠ACD＝∠AFE
二.填空题：
6.如图，已知CE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AB，垂足为点F，AF=BE，AC=BD，则下列结论：①Rt△AEC≌Rt△BFD；②∠C+∠B=90°；③AC∥BD；④∠A=∠D．其中正确的结论为①②③．（填序号）
7.如图，在四边形ABCD中，∠C＋∠D＝1800，∠A－∠B＝400，则∠B＝70°.
8.如图，已知AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，完成下列推理过程：
证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD(已知)，∴∠DAB＝∠ADC＝90°(垂直定义)，
又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠BAD－∠1＝∠CDA－∠2(等式的性质)，
即：∠DAE＝∠ADF.∴DF∥AE(内错角相等，两直线平行)．
三.解答题：9.演绎证明．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，证明AF∥CE．
证明：∵∠1+∠2＝180°，∴AB∥CD，∴∠A＝∠FDC，∵∠A＝∠C，
∴∠FDC＝∠C，∴AF∥CE．
10.如图，已知∠C＝60°，∠ADE＝65°，∠CED比∠A的2倍大10°，请判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
解：DE∥BC，理由如下：
设∠A为x°，所以∠CED为2x°+10°，∵∠CED＝∠A+∠ADE，
可得：2x°+10°＝x°+65°，解得：x＝55，∴∠DEC＝2×55°+10°＝120°，
∵∠C＝60°，∴∠C+∠CED＝180°，∴DE∥BC，
11.已知：如下图所示，BE平分∠ABC，∠CBF＝∠CFB＝65°，∠EDF＝50°．求证：BC∥AE．
证明：∵∠CBF＝∠CFB＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠EDF＝50°，∴∠EDF＝∠C，∴BC∥AE．
12.如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB=DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD=BF．
求证：（1）△ABC≌△EDF；（2）AB∥DE．
证明：（1）∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴△ABC和△EDF为直角三角形，
∵CD=BF，∴CF+BF=CF+CD，即BC=DF，
在Rt△ABC和Rt△EDF中，，∴；
（2）由（1）可知△ABC≌△EDF，∴∠B=∠D，∴AB∥DE．
13.已知：如图，AB=CD,AD=BC．求证：AB∥CD．
解：在△ABD与△CDB中，
，∴△ABD≌△CDB，∴∠ABD=∠CDA，∴AB∥CD．
14.如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，FG⊥AB于G，∠1＝∠2，试问ED∥BC吗？说说你的理由．
解：ED∥BC，理由如下：
∵CD⊥AB，FG⊥AB∴CD∥FG∴∠DCE＝∠2
又∵∠1＝∠2∴∠DCE＝∠1
∴ED∥BC.
第1题
第3题
第6题
第5题
第7题
第4题
第8题
第9题
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（总课时50）§7.3平行线的判定
【学习目标】经历探索平行线判定定理的过程，初步了解证明的步骤和书写格式.
【学习重难点】在证明过程中发展初步的演绎推理的能力.
【导学过程】
一.知识回顾：
1.平行线的定义：在同一平面内_______的两条直线叫做平行线.
2.如图1，直线a，b被直线c所截，
图中的同位角有__________________________________________；
内错角：_____________________；同旁内角：_____________________.
3.两直线平行的判定条件有：
（1）________________________；（2）_____________________；（3）____________________________.
二.探究新知：
引例1.已知：如图2，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.
求证：a∥b
证明：∵∠1与∠2互补（已知）
∴_______（互补定义）∴∠1=_______（等式的性质）
∵∠3+∠2=180°（_______）∴∠3=_______（_______）
∴_______（等量代换）∴a∥b（_____________________）
这一定理可简单地写成：_____________________．
注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．
（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．
（3）在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．
引例2.已知：如图3，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b
证明：∵∠1=∠2（已知）∠1=_____（对顶角相等）
∴_____=_____（等量代换）∴a∥b（____________________）．
这一定理可简单地写成：_________________________．
引例3：已知，如图4，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．
证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）∴∠1=_____∠2=_____（__________）
∴_____=_____（等量代换）∴b∥a（____________________）
定理：______________________________，那么这两条直线平行.
三.典例与练习：
例1.已知：如图5，点D,E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠DCB=40°，∠AED=80°求证：DE∥BC.
证明：∵CD平分∠ACB，∠DCB=40°（已知）
∴∠ACB=_____（_______________）
∵∠AED=80°（已知）∴_____=∠AED（等量代换）
∴DE∥BC（____________________）
练习1如图6，下列推理中，正确的是( )
A．∵∠2＝∠4，∴AD∥BC B．∵∠1＝∠3，∴AD∥BC
C．∵∠4＋∠D＝180°，∴AD∥BC D．∵∠4＋∠B＝180°，∴AB∥CD
例2.如图7，∠1=70°，∠2=110°，AB与ED平行吗？为什么？
证明：∵∠1+∠COA=180°（平角定义），∠1=70°（已知），
∴∠COA=____________________（等量代换），
∵∠2=110°（已知），∴_____=∠2（等量代换），
∴AB∥ED．（____________________）
练习2.如图8，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；
②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠3＝180°；
⑤∠6＝∠8，其中能判断a∥b的是_____（填序号）
练习3.如图9，∠B＝40°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝65°．求证：AB∥CD．
证明：
例3.已知：如图10：∠AHF＋∠FMD＝180°，GH平分∠AHM，MN平分∠DMH.
求证：GH∥MN.
证明：
四.课堂小结：
1.平行线判定定理：①__________，两直线平行②__________，两直线平行③__________，两直线平行.
2.由角的大小关系来证两直线平行的方法，体现了“数”与“形”的关系；
3.注意：证明语言的规范化，格式化．推理过程要有依据.
五.分层过关：
1.如图，给出下列条件：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；⑤∠B=∠D.其中，一定能判定AB∥CD的条件的个数有（ ）A．5 B．4 C．3 D．2
2.同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（ ）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定
3.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是( )
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
4.如图所示，已知∠1=∠3，∠2=∠4，不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1+∠2=90． C．∠3+∠4=90． D．∠2+∠3=90．
5.下列图形中，已知∠1=∠2,则可得到AB∥CD的是( )
A．B．
6.如图：请你添加一个条件_________________________可以得到DE∥AB
7.如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，
第1步：画直线AB，将三角尺的一边紧靠直线AB，将直尺紧靠三角尺的另一边：
第2步：将三角尺沿直尺下移：
第3步：沿三角尺原先紧靠直线AB的那一边画直线CD．
这样就得到AB∥CD．这种画平行线的依据是____________________．
8.在同一平面内有直线a1，a2，a3，a4…a2 020，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，按此规律下去，则a1与a2 020的位置关系是_____．
9.如图，已知△ABC≌△DEF，点B、E、C、F在同一直线上，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
(1)求∠F的度数与DH的长；(2)求证：AB∥DE．
解：
10.已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．
证明：
图1
图2
图3
图4
A
D
B
E
C
图5
图6
图7
图8
图9
图10
第1题
第3题
第4题
第6题
第7题
第9题
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（总课时50）§7.3平行线的判定
一.选择题：
1.如图，∠1，∠2，...∠8是两条直线a,b被直线c所截后形成的八个角，则能够判定直线a∥b的是（ ）
A．∠3+∠4=180° B．∠1+∠8=180° C．∠5+∠7=180° D．∠2+∠6=180°
2.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
3.如图，点C是直线AB，DE之间的一点，∠ACD=90°，下列条件能使得AB∥DE的是（ ）
A.∠α+∠β=180° B.∠β﹣∠α=90° C.∠β=3∠α D.∠α+∠β=90°
4.如图，下列推理中正确的有（ ）
①因为∠1＝∠2，所以BC∥AD； ②因为∠2＝∠3，所以AB∥CD；
③因为∠BCD+∠ADC=180°，所以BC∥AD；④因为∠BCD+∠ABC=180°，所以BC∥AD．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.（2019春）如图，下列四个条件中，能判断DE∥AC的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠EDC+∠EFC＝180° D．∠ACD＝∠AFE
二.填空题：
6.如图，已知CE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AB，垂足为点F，AF=BE，AC=BD，则下列结论：①Rt△AEC≌Rt△BFD；②∠C+∠B=90°；③AC∥BD；④∠A=∠D．其中正确的结论为_________．（填序号）
7.如图，在四边形ABCD中，∠C＋∠D＝1800，∠A－∠B＝400，则∠B＝______.
8.如图，已知AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，完成下列推理过程：
证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD(已知)，∴______＝______＝90°(垂直定义)，
又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠BAD－∠1＝∠CDA－___(等式的性质)，
即：∠DAE＝∠ADF.∴DF∥___(内错角相等，两直线平行)．
三.解答题：9.演绎证明．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，证明AF∥CE．
证明：
10.如图，已知∠C＝60°，∠ADE＝65°，∠CED比∠A的2倍大10°，请判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
解：
11.已知：如下图所示，BE平分∠ABC，∠CBF＝∠CFB＝65°，∠EDF＝50°．求证：BC∥AE．
证明：
12.如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB=DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD=BF．
求证：（1）△ABC≌△EDF；（2）AB∥DE．
证明：
13.如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，FG⊥AB于G，∠1＝∠2，试问ED∥BC吗？说说你的理由．
解：
第1题
第3题
第6题
第5题
第7题
第4题
第8题
第9题
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