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（总课时51）§7.4平行线的性质
一.选择题：
1.如图，已知AB∥CD，直线分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
2.如图，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
3.如图，直线a∥b，直角三角形的直角顶点在直线b上，已知∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．42° B．52° C．48° D．58°
4.将一幅三角板如图所示摆放，若BC∥DE，那么∠1的度数为（ ）A.45° B.60° C.75° D.80°
5.如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（ ）
A．∠α+∠β+∠γ=180° B．∠α+∠β﹣∠γ=360°
C．∠α﹣∠β+∠γ=180° D．∠α+∠β﹣∠γ=180°
二.填空题：
6.如图，已知，，则______.
7.如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为__________．
8.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=_____．
9.如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=_____．
10.如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠C＝_____度．
三.解答题：
11.如图，已知AB∥CD，点E在BC延长线上，联结AE交CD于点F，
若∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE的理由.
解:
12.如图，在四边形ABCD中,E、F分别是CD、AB延长线上的点连结EF,分别交AD、BC于点G、H.若∠1=∠2,∠A=∠C,试说明AD//BC和AB//CD．
证明：
13.如图，D，E为△ABC边AB上两点，F，H分别在AC，BC上，∠1+∠2＝180°
（1）求证：EF∥DH；（2）若∠ACB＝90°，∠DHB＝25°，求∠EFC的度数．
证明：
14.如图，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG.
（1）证明：DC∥AB；（2）求∠PFH的度数.
解：
15.如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠CDE=30°，求∠AFG的度数．
解:
第4题
第1题
第2题
第3题
第8题
第9题
第6题
第5题
第7题
第10题
第11题
第12题
第13题
第14题
第15题
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（总课时51）§7.4平行线的性质
一.选择题：
1.如图，已知AB∥CD，直线分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是（B）
A．60° B．70° C．80° D．90°
2.如图，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（A）
A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
3.如图，直线a∥b，直角三角形的直角顶点在直线b上，已知∠1＝42°，则∠2的度数是（C）
A．42° B．52° C．48° D．58°
4.将一幅三角板如图所示摆放，若BC∥DE，那么∠1的度数为（C）A.45° B.60° C.75° D.80°
5.如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（D）
A．∠α+∠β+∠γ=180° B．∠α+∠β﹣∠γ=360°
C．∠α﹣∠β+∠γ=180° D．∠α+∠β﹣∠γ=180°
二.填空题：
6.如图，已知，，则105°.
7.如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为北偏东30°．
8.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=73°．
9.如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=60°．
10.如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠C＝20度．
三.解答题：
11.如图，已知AB∥CD，点E在BC延长线上，联结AE交CD于点F，
若∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE的理由.
解:∵AB∥CD∴∠1=∠ACD∵∠1=∠2∴∠2=∠ACD
∴∠2+∠CAF=∠ACD+∠CAF∴∠DAC=∠4∵∠3=∠4∴∠DAC=∠3∴AD∥BE
12.如图，在四边形ABCD中,E、F分别是CD、AB延长线上的点连结EF,分别交AD、BC于点G、H.若∠1=∠2,∠A=∠C,试说明AD//BC和AB//CD．
证明：∵∠1和∠AGH对顶角，∠1=∠2，∴∠AGH=∠2，
∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠FBC,
又∵∠A= ∠C，∴∠FBC= ∠C，∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）.
13.如图，D，E为△ABC边AB上两点，F，H分别在AC，BC上，∠1+∠2＝180°
（1）求证：EF∥DH；（2）若∠ACB＝90°，∠DHB＝25°，求∠EFC的度数．
（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠ADH+∠2＝180°，∴∠1＝∠ADH，∴EF∥DH；
（2）解：过点C作CG∥DH，交AB于G，如图所示：则∠GCB＝∠DHB＝25°，
∴∠ACG＝∠ACB﹣∠GCB＝90°﹣25°＝65°，由（1）得：EF∥DH，∴CG∥EF，
∴∠EFC+∠ACG＝180°，∴∠EFC＝180°﹣∠ACG＝180°﹣65°＝115°．
14.如图，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG.
（1）证明：DC∥AB；（2）求∠PFH的度数.
解：（1）∵DC∥FP，∴∠3＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠1，∴DC∥AB；
（2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠FED＝28°，∴∠FED＝∠EFP＝28°，AB∥FP，
又∵∠AGF＝80°，∴∠AGF＝∠GFP＝80°，∴∠GFE＝∠GFP＋∠EFP＝80°＋28°＝108°，
又∵FH平分∠EFG，∴∠GFH＝0.5×∠GFE＝54°，∴∠PFH＝∠GFP ∠GFH＝80° 54°＝26°．
15.如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠CDE=30°，求∠AFG的度数．
解:（1）BF与DE的位置关系是：BF∥DE．理由：∵∠AGF=∠ABC，∴BC∥GF（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠3；又∵∠1+∠2=180°，∴∠2+∠3=180°，∴BF∥DE；
（2）∵BF∥DE，BF⊥AC，∴DE⊥AC，∵∠CDE=30°，∠CDE +∠2=180°
∵∠1+∠2=180°，∴∠1=∠CDE=30°，∴∠AFG=90°-30°=60°．
第4题
第1题
第2题
第3题
第8题
第9题
第6题
第5题
第7题
第10题
第11题
第15题
第14题
第13题
第12题
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（总课时51）§7.4平行线的性质
【学习目标】掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算；
【学习重难点】进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达能力.
【导学过程】
一.知识回顾:
平行线的判定定理
二.探究新知：
探究1：证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简称：两直线平行,同位角相等.
已知：如图1.直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=∠2，如图所示
根据“同位角相等，两直线平行”，可知__∥___.又因为AB∥CD，这样经过点
M存在两条直线AB和___都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点_________一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
探究2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两条平行，内错角相等.
已知：如图2.直线a∥b，∠2和∠3是直线a，b被直线c截出的内错角.
求证：∠2=∠3.
证明：∵a∥b(已知),∴∠1=∠2（_________________________）,
∵∠1=∠3(__________)∴∠2=∠3（等量代换）
探究3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简称：两直线平行，同旁内角互补.
已知：如图3.直线a∥b，∠2和∠4是直线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证：∠2+∠4=180°
证明：∵a∥b(已知)∴∠1=∠2（____________________）
∵∠1+∠4=180°（__________）∴∠2+∠4=180°（等量代换）
三.典例与练习：
例1.如图4，(1)已知：AD∥BC,∠ABD=∠D.求证：BD平分∠ABC.
证明：∵AD∥BC∴∠D=∠DBC（_______________）
又∵∠ABD=∠D∴∠ABD=∠DBC（等量代换）
∴BD平分∠ABC（__________）
(2)已知：AD∥BC,BD平分∠ABC.求证：∠ABD=∠D.
证明：
例2.如图5，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，试问∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？
解：∠A=∠C,∠B=∠D.理由：∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠C=180°（_________________________）
又∵AD∥BC（已知）∴∠C+∠D=180°（____________________）
∴∠B=∠D（_______________）同理∠A=∠C.
练习1.如图6，已知AC平分∠DAB，∠1=∠2，∠D=126°，求∠DAB的度数．
解：
例3.如图7，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．
解：AB∥ED，理由如下：
如图，过点C作直线CF∥AB
∴∠BCF=∠B=25°（____________________）
又∵∠BCD＝67°∴∠FCD＝67°-25°=42°
∴∠D=∠DCF∴CF∥ED（_________________________）
∴AB∥ED（______________________________）
练习2.已知：如图8，∠ABC=∠ADC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，且DE∥BF．
求证：AB∥DC.（2）AD与BC是否平行？若平行，给出证明；若不平行，说明理由．
（1）证明：
（2）解：
练习3.在横线上完成下面的证明，并在括号内注明理由．
已知：如图9，∠ABC+∠BGD＝180°，∠1＝∠2．求证：EF∥DB．
证明：∵∠ABC+∠BGD＝180°，（已知）
∴____∥____．（________________）∴∠1＝∠3．（____________________）
又∵∠1＝∠2，（已知）∴________．（等量代换）∴EF∥DB．（____________________）
四.课堂小结：
1.平行线的性质定理
2.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相____.
3.证明的一般步骤：（1）根据题意，画出图形．（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
五.分层过关：
1.将一副三角板（∠A=30°,∠E=45°）按如图10方式摆放，使得BA∥EF，
则∠AOF等于（ ）A．75° B．90° C．105° D．115°
2.如图11，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
3.已知：如图12，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C的度数是（ ）
A．135° B．115° C．65° D．35°
4.如图13，a∥b，∠1＝110°，∠3＝50°，则∠2的度数是____.．
5.如图14，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是____.
6.如图15，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4=∠5，则EF也是∠AED的平分线．完成下列推理过程：证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）
∵ED∥BC（已知）∴∠5=∠2（______________________）∴∠1=∠5（等量代换）
∵∠4=∠5（已知）∴EF∥___（______________________）∴∠3=∠1（______________________）∴∠3=∠4（等量代换）∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）
7.已知：点P在直线CD上，，．
求证：AB∥CD，．
解:
8.完成推理填空：如图在△ABC中，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试说明∠AED=∠C．
解：∵∠1+∠EFD=180°（_________），∠1+∠2=180°（已知）
∴____________（同角的补角相等）①
∴____________（内错角相等，两直线平行）②
∴∠ADE=∠3（__________________）③
∵∠3=∠B（已知）④∴____________（等量代换）⑤
∴DE∥BC（________________________）⑥∴∠AED=∠C（__________________________）⑦
1.____________
2.____________
3.____________
两直线平行
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
1.___________
2.___________
3.___________
两直线平行
图10
图11
图15
图12
图14
图13
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（总课时51）§7.4平行线的性质
【学习目标】掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算；
【学习重难点】进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达能力.
【导学过程】
一.知识回顾:
平行线的判定定理
二.探究新知：
探究1：证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简称：两直线平行,同位角相等.
已知：如图1.直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=∠2，如图所示
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.又因为AB∥CD，这样经过点
M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
探究2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两条平行，内错角相等.
已知：如图2.直线a∥b，∠2和∠3是直线a，b被直线c截出的内错角.
求证：∠2=∠3.
证明：∵a∥b(已知),∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）,
∵∠1=∠3(对顶角相等)∴∠2=∠3（等量代换）
探究3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简称：两直线平行，同旁内角互补.
已知：如图3.直线a∥b，∠2和∠4是直线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证：∠2+∠4=180°
证明：∵a∥b(已知)∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠1+∠4=180°（平角的定义）∴∠2+∠4=180°（等量代换）
三.典例与练习：
例1.如图4，(1)已知：AD∥BC,∠ABD=∠D.求证：BD平分∠ABC.
证明：∵AD∥BC∴∠D=∠DBC（两直线平行，内错角相等）
又∵∠ABD=∠D∴∠ABD=∠DBC（等量代换）
∴BD平分∠ABC（角平线的定义）
(2)已知：AD∥BC,BD平分∠ABC.求证：∠ABD=∠D.
证明：∵AD∥BC∴∠D=∠DBC（两直线平行，内错角相等）
又∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC(角平分线定义)
∴∠ABD=∠D（等量代换）.
例2.如图5，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，试问∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？
解：∠A=∠C,∠B=∠D.理由：∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵AD∥BC（已知）∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B=∠D（同角的补角相等）同理∠A=∠C.
练习1.如图6，已知AC平分∠DAB，∠1=∠2，∠D=126°，求∠DAB的度数．
解：∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠BAC，
∵∠1=∠2，∴∠2=∠BAC，∴DC∥AB，∴∠D+∠DAB=180°，
∵∠D=126°，∴∠DAB=54°
例3.如图7，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．
解：AB∥ED，理由如下：
如图，过点C作直线CF∥AB
∴∠BCF=∠B=25°（两直线平行，内错角相等）
又∵∠BCD＝67°∴∠FCD＝67°-25°=42°
∴∠D=∠DCF∴CF∥ED（内错角相等，两直线平行）
∴AB∥ED（平行于同一条直线的两直线平行）
练习2.已知：如图，∠ABC=∠ADC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，且DE∥BF．
（1）求证：AB∥DC.（2）AD与BC是否平行？若平行，给出证明；若不平行，说明理由．（1）证明：∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠2=0.5×∠ABC，∠CDE=0.5×∠ADC，而∠ABC=∠ADC，∴∠2=∠CDE，
∵DE∥BF，∴∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠CDE，∴AB∥CD；
（2）解：AD∥BC．理由如下：∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠A=180°，∠ABC=∠ADC∴∠ABC+∠A=180°，∴AD∥BC．
练习3.在横线上完成下面的证明，并在括号内注明理由．
已知：如图，∠ABC+∠BGD＝180°，∠1＝∠2．求证：EF∥DB．
证明：∵∠ABC+∠BGD＝180°，（已知）
∴AB∥DG．（同旁内角互补，两直线平行）∴∠1＝∠3．（两直线平行,内错角相等）
又∵∠1＝∠2，（已知）∴∠2＝∠3．（等量代换）∴EF∥DB．（同位角相等，两直线平行）
四.课堂小结：
1.平行线的性质定理
2.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
3.证明的一般步骤：（1）根据题意，画出图形．（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
五.分层过关：
1.将一副三角板（∠A=30°,∠E=45°）按如图10方式摆放，使得BA∥EF，
则∠AOF等于（A）A．75° B．90° C．105° D．115°
2.如图11，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE的度数为（B）
A．20° B．35° C．55° D．70°
3.已知：如图12，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C的度数是（ C ）
A．135° B．115° C．65° D．35°
4.如图13，a∥b，∠1＝110°，∠3＝50°，则∠2的度数是_60_．
5.如图14，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是15°
6.如图15，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4=∠5，则EF也是∠AED的平分线．完成下列推理过程：证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）
∵ED∥BC（已知）∴∠5=∠2（两直线平行，内错角相等）∴∠1=∠5（等量代换）
∵∠4=∠5（已知）∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行）∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）∴∠3=∠4（等量代换）∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）
7.已知：点P在直线CD上，，．
求证：AB∥CD，．
证明:∵，(已知)∴．
(同旁内角互补，两直线平行)∴．
(两直线平行,内错角相等)又∵，(已知)
，，∴(等式的基本性质)
∴．(内错角相等，两直线平行)∴．(两直线平行，内错角相等)
8.完成推理填空：如图在△ABC中，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试说明∠AED=∠C．
解：∵∠1+∠EFD=180°（邻补角定义），∠1+∠2=180°（已知）
∴∠EFD=∠2（同角的补角相等）①
∴AB∥EF，（内错角相等，两直线平行）②
∴∠ADE=∠3（两直线平行，内错角相等）③
∵∠3=∠B（已知）④
∴∠ADE=∠B（等量代换）⑤
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）⑥∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）⑦
1.同位角相等
2.内错角相等
3.同旁内角互补
两直线平行
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
F
图8
图9
1.同位角相等
2.内错角相等
3.同旁内角互补
两直线平行
图10
图11
图15
图12
图14
图13
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