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（总课时52）§7.5三角形内角和定理（1）
一.选择题：
1.如图1，在△ABC中，CD、BE分别是AB，AC边上的高，并且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC等于（B）A．90° B．130° C．270° D．315°
2.如图2，王涵书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得看得见的两个角的度数分别为32°，58°，则这个三角形( A )A．是直角三角形 B．是钝角三角形 C．是锐角三角形 D．无法判断出形状
3.（2019·贵州）如图3，将△ABC沿DE，EF分别翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF=141°，则∠C为（B）A．38° B．39° C．40° D．41°
4.如图4，△ABC≌△ADE，∠B=20°，∠E=110°，则∠EAD的度数为（C）
A．80° B．70° C．50° D．130°
5已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为BA.85° B.95° C.100° D.110°
6.如图5，一个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（D ）
A．150° B．180° C．240° D．270°
二.填空题：
7.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为300．
8.如图6，B处在A处的南偏西42°的方向，C处在A处的南偏东16°的方向，C处在B处的北偏东72°的方向，则从C处观测A，B两处的视角∠C的度数为__92__度．
9.如图7，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E为AC上一点，将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，若∠AEF=50°，则∠A为65度．
10.如图8，∠E=50°，则∠A+∠B+∠C+∠D=__130°___．
11.如图9，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝___300°_．
三.解答题：
12.将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F，
（1）求证：CF∥AB，（2）求∠DFC的度数．
解：（1）证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1=∠2=0.5∠DCE．
∵∠DCE=90°，∴∠1=45°．∵∠3=45°，∴∠1=∠3．∴AB∥CF．
（2）∵∠D=30°，∠1=45°，∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．
13.如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
解：如图，∵BO、CO是角平分线，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴2∠1+2∠2+∠A=180°，
∵∠1+∠2+∠BOC=180°，∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，∴2∠BOC﹣∠A=180°，∴∠BOC=90°+0.5∠A，
（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∴∠BOC=90°+0.5×70°=125°；
（2）∠BOC=90°+0.5n°．
14.（1）如图①，△ABC中，点D，E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数；（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC“变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠F的度数．
解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝0.5∠BAC＝40°，
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°；
（2）作AH⊥BC于H，如图②，由（1）可得∠DAH＝15°，∵FE⊥BC，∴AH∥EF，∴∠DFE＝∠DAH＝15°；
15.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E得度数．
（2）当点P在线段AD上运动时，设∠B=α，∠ACB=β（β＞α），求∠E得大小．（用含α、β的代数式表示）
解(1)∵∠B=35°,∠ACB=85°,∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=60°.
∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAD=30°.∴∠ADC=∠B+∠BAD=65°.
又∵PE⊥AD,∴∠DPE=90°,∴∠E=90°-∠ADC=25°.
(2)∵∠B=α,∠ACB=β,∴∠BAC=180°-α-β.∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAD=(180°-α-β).
∴∠ADE=∠B+∠BAD=90°+α-β,又∵PE⊥AD,∴∠DPE=90°,∴∠E=90°-∠ADE=β-α.
图5
图4
图1
图2
图3
图8
图9
图7
图6
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（总课时52）§7.5三角形内角和定理（1）
一.选择题：
1.如图1，在△ABC中，CD、BE分别是AB，AC边上的高，并且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC等于（ ）A．90° B．130° C．270° D．315°
2.如图2，王涵书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得看得见的两个角的度数分别为32°，58°，则这个三角形( )A．是直角三角形 B．是钝角三角形 C．是锐角三角形 D．无法判断出形状
3.（2019·贵州）如图3，将△ABC沿DE，EF分别翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF=141°，则∠C为（ ）A．38° B．39° C．40° D．41°
4.如图4，△ABC≌△ADE，∠B=20°，∠E=110°，则∠EAD的度数为（ ）
A．80° B．70° C．50° D．130°
5已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为( )A.85° B.95° C.100° D.110°
6.如图5，一个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．150° B．180° C．240° D．270°
二.填空题：
7.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为___．
8.如图6，B处在A处的南偏西42°的方向，C处在A处的南偏东16°的方向，C处在B处的北偏东72°的方向，则从C处观测A，B两处的视角∠C的度数为_______度．
9.如图7，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E为AC上一点，将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，若∠AEF=50°，则∠A为___度．
10.如图8，∠E=50°，则∠A+∠B+∠C+∠D=________．
11.如图9，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝______．
三.解答题：
12.将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F，
（1）求证：CF∥AB，（2）求∠DFC的度数．
解：
13.如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
解：
14.（1）如图①，△ABC中，点D，E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数；（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC“变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠F的度数．
解：
15.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E得度数．
（2）当点P在线段AD上运动时，设∠B=α，∠ACB=β（β＞α），求∠E得大小．（用含α、β的代数式表示）
解:
图5
图4
图1
图2
图3
图8
图9
图7
图6
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（总课时52）§7.5三角形内角和定理（1）
【学习目标】能用不同的方法来证明三角形的内角和定理。
【学习重难点】能用三角形的内角和定理解决实际问题。
【导学过程】
一.知识回顾:
1.同一平面内，不相交的两条直线叫做_______.
2.同一平面内，两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相_______
3.两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相_______
4.两直线平行，___________.5.两直线平行，___________6.两直线平行，___________.
二.探究新知：
引例1.已知：如图1，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．
∵CE∥BA∴∠B=∠ECD（______________________）
∠A=∠ACE（______________________）
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
引例2.已知：如图2，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：过A点作DE∥BC，则∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（______________________）
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°(平角的定义)∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
点评：“搬三个角”的特点，把角“搬”到一起，让顶点重合、两条边形成一条直线，以便利用平角定义。
引例3.用折纸的方法验证三角形内角和定理．
先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图3.1）然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图3.2，图3.3），最后得图3.4所示的结果.
引例4.已知：如图4，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：过平面上一点O作DE∥BC，交AB于V点，交AC于点P点；作FG∥AB，交AC
于点W点；作HK∥AC.则有：∠A=∠AWF=∠HOW，∠B=∠AVO=∠WOE，∠C=∠WPO=∠HOD；∴∠A+∠B+∠C=∠HOW+∠WOE+∠HOD=180°
三.典例与练习：
例1.如图5.△ABC中,∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数
解：
例2.如图6，在△ABC中，∠C=65°，AD为BC边上的高．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若∠B=45°，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．
解：
练习2.如图7在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，∠ACB的平分线交AB于D，
DE∥BC交AC于E，求∠BDC、∠EDC的度数
解：
例3.如图8，已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直
角边DE，DF恰好分别经过点B、C．
（1）∠DBC+∠DCB=____度；
（2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD=20°，试求∠CAM的大小。
解：
练习3.一个正方形和两个等边三角形的位置如图9，∠3=50°，求∠1+∠2的度数．
解:
四.课堂小结：
1.证明三角形内角和定理有哪几种方法？____________
2.辅助线的作法技巧.________________
3.三角形内角和定理的简单应用.
五.分层过关：
1.如图10，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，AC与DE交于点M，如果∠BDF=105，则∠AMD的度数为（ ）A．80° B．85° C．90° D．95°
2.如图11,在折纸活动中，王强做了一张△ABC纸片，点D，E分别是AB，AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A1重合，且∠A1DB=90°，若∠A=50°，则∠CEA1等于（ ）A.20° B.15° C.10° D.5°
3.如图12，B处在A处的南偏西45°，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数为（ ）A．75° B．80° C．85° D．95°
4.如图13，△ABC中，∠A=55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A’处．如果∠A’EC=70°，那么∠A’DE的度数为____．
5.如图14，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A’处，若∠A=29，∠BDA’=90，则∠A’EC的大小为____.
6.如图15，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，∠A=70°，∠EDB=25°．
（1）求证：DE∥AB；（2）求∠ADB的度数．
证明：
7.线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图16.1的图形称之为“8字形”.如图16.2，在图16.1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：
（1）在图16.1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）图16.2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.
（3）图16.2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.
解:
A
B
C
E
D
图1
A
B
C
E
D
A
B
C
D
E
图2
A
B
C
D
E
F
G
O
H
K
图4
W
V
P
图3.3
图3.4
图3.2
图3.1
图5
图6
图7
图8
图9
图10
图14
图13
图12
图11
图15
图16.1
图16.2
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（总课时52）§7.5三角形内角和定理（1）
【学习目标】能用不同的方法来证明三角形的内角和定理。
【学习重难点】能用三角形的内角和定理解决实际问题。
【导学过程】
一.知识回顾:
1.同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
2.同一平面内，两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行.
3.两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行.
4.两直线平行，同位角相等.5.两直线平行，内错角相等.6.两直线平行，同旁内角相等.
二.探究新知：
引例1.已知：如图1，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°[来源
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．
∵CE∥BA∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等.）
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
引例2.已知：如图2，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：过A点作DE∥BC，则∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°(平角的定义)∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
点评：“搬三个角”的特点，把角“搬”到一起，让顶点重合、两条边形成一条直线，以便利用平角定义。
引例3.用折纸的方法验证三角形内角和定理．
先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图3.1）然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图3.2，图3.3），最后得图3.4所示的结果.
引例4.已知：如图4，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：过平面上一点O作DE∥BC，交AB于V点，交AC于点P点；作FG∥AB，交AC
于点W点；作HK∥AC.则有：∠A=∠AWF=∠HOW，∠B=∠AVO=∠WOE，∠C=∠WPO=∠HOD；∴∠A+∠B+∠C=∠HOW+∠WOE+∠HOD=180°
三.典例与练习：
例1.如图5.△ABC中,∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数
解：∵∠B=38°，∠C=62°∴∠BAC=180°-38°-62°=80°
∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD=40°，∴∠ADB=180-∠B-∠BAD=180°-38°-40°=102°
例2.如图6，在△ABC中，∠C=65°，AD为BC边上的高．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若∠B=45°，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．
解：（1）∵AD为BC边上的高∴∠ADC=90°
在△ADC中，∠CAD=180°-90°-∠C=25°（三角形内角和定理）.
（2）在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=70°（三角形内角和定理）.
又∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC=35°，∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=35°-25°=10°
练习2.如图7在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，∠ACB的平分线交AB于D，
DE∥BC交AC于E，求∠BDC、∠EDC的度数
解：∵△ABC，∠A=50°，∠B=70°
∴∠ACB=180°-50°-70°=60°（三角形内角和定理）.
又∵CD是∠ACB的角平分线∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=30°
∴∠BDC=180°-∠B-∠DCB=180°-70°-30°=80°（三角形内角和定理）
又∵DE∥BC ∴∠EDC=∠DCB=30°（两直线平行，内错角相等）
例3.如图8，已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直
角边DE，DF恰好分别经过点B、C．
（1）∠DBC+∠DCB=90度；
（2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD=20°，试求∠CAM的大小。
解：∵MN∥DE∴∠NAB=∠ABD（两直线平行，内错角相等）
在△ABC中∵∠BAC+∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD=180°（三角形内角和定理）
∴∠BAC+∠ABD+∠ACD=90°∴∠BAC+∠NAB+∠ACD=90°
∴∠BAC+∠NAB=90°-20°=70°即∠NAC=70°∴∠CAM=180°-70°=110°
练习3.（2019·湖北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图9，∠3=50°，求∠1+∠2的度数．
解:如图,∠BAC=180° 90° ∠1=90° ∠1，∠ABC=180° 60° ∠3=120° ∠3，
∠ACB=180° 60° ∠2=120° ∠2，在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴90 ∠1+120° ∠3+120° ∠2=180°，∴∠1+∠2=150° ∠3，
∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150° 50°=100°.
四.课堂小结：
1.证明三角形内角和定理有哪几种方法？见引例1---引例4
2.辅助线的作法技巧.作平行线可以将角平移
3.三角形内角和定理的简单应用.
五.分层过关：
1.如图10，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，AC与DE交于点M，如果∠BDF=105，则∠AMD的度数为（C）A．80° B．85° C．90° D．95°
2.如图11,在折纸活动中，王强做了一张△ABC纸片，点D，E分别是AB，AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A1重合，且∠A1DB=90°，若∠A=50°，则∠CEA1等于（C）A.20° B.15° C.10° D.5°
3.如图12，B处在A处的南偏西45°，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数为（ C ）A．75° B．80° C．85° D．95°
4.如图13，△ABC中，∠A=55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A’处．如果∠A’EC=70°，那么∠A’DE的度数为70°．
5.如图14，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A’处，若∠A=29，∠BDA’=90，则∠A’EC的大小为32°.
6.如图15，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，∠A=70°，∠EDB=25°．
（1）求证：DE∥AB；（2）求∠ADB的度数．
证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC=50°，∴∠ABD=0.5×∠ABC=25°，
∵∠EDB=25°，∴∠ABD=∠EDB，∴DE∥AB；
（2）由（1）得∠ABD=25°，∵∠A=70°，∴∠ADB=180° ∠A ∠ABD=85°.
7.线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图16.1的图形称之为“8字形”.如图16.2，在图16.1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：
（1）在图16.1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）图16.2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.
（3）图16.2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.
解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，∴∠P=45°；
（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.
A
B
C
E
D
图1
A
B
C
E
D
A
B
C
D
E
图2
A
B
C
D
E
F
G
O
H
K
图4
W
V
P
图3.3
图3.4
图3.2
图3.1
图5
图6
图7
图8
图9
图10
图14
图13
图12
图11
图15
图16.1
图16.2
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