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（总课时53）§7.5三角形内角和定理（2）
【学习目标】掌握三角形外角的两条性质；进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．
【学习重难点】灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。
【导学过程】
一.知识回顾:
1.三角形内角和等于____.
2.△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是∠A的平分线，则∠DAC的度数为____.
3.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是____三角形。
二.探究新知：
探究1：外角的概念
在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？
三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.
如图1.∠ACD是△ABC是∠ACB的外角.
特征：①顶点在三角形的一个顶点上．
②一条边是三角形的一边．
③另一条边是三角形某条边的延长线．
思考：(1)一个三角形有几个外角 ________(2)试在图中作出△ABC的其它外角.
探究2：外角的性质
问题：如图2，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是
△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，
∠ACD与∠A、∠B有什么关系？
解：________________________________________________
推论：1.三角形的一个外角等于_______________________.
2.三角形的一个外角大于________________________.
三.典例与练习
例1.已知：如图3,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证：AD∥BC
证明：∵∠EAC=_________(推论1)∠B=∠C(已知)
∴_____=∠EAC(等式性质)∵AD平分∠EAC(已知)∴∠DAC=0.5×∠EAC(角平分线的定义)
∴∠DAC=∠C(等量代换)∴ a∥b(___________________________).
练习1.如图4，D是△ABC边BC上的一点，∠DAC=∠B.求证：∠ADC=∠BAC.
证明：∵∠ADC=_________(推论1)∠DAC=∠B∴∠ADC=_________=∠BAC
练习2.已知三角形的一个外角为110°，∠B=∠C，则这个三角形的三个内角分别为
____________________________________．
例2.已知：如图5，P是△ABC内的一点,连接PB,PC,求证：∠BPC>∠A.
证明：
练习3.已知：如图6，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延
长BC到D，连接DE．求证：∠1>∠2．
证明：
练习4.如图7，在△ABC中，∠1=100，∠C=80，
∠2=0.5×∠3，BE平分∠ABC交AD于E，求∠4的度数．
解：
练习5.如图8，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，那么∠1+∠2+∠3=？
解：
四.课堂小结：
1.三角形的外角和等于360°.
2.遇到证明角的不等关系时，应想到用三角形的外角性质
五.分层过关：
1.小桐把一副直角三角尺按如图9的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于( ）A．150° B．180° C．210° D．270°
2.如图10，在△ABC中，∠B=33°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（ ）
A．33° B．56° C．65° D．66°
3.如图11，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝28°，则∠AEC的大小为( )A．17° B.62° C.63° D.73°
4.如图12，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝25°，则∠BDC等于（ ）A．44° B．60° C．67° D．70°
5.如图13，将一张长方形纸片分別沿着EP，FP对折，使点B落在点B，点C落在点C′．若点P，B′，C′不在一条直线上，且两条折痕的夹角∠EPF＝85°，则∠B′PC′＝_________．
6.如图14，在△ABC中，∠A＝β度，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…∠A2017BC与∠A2017CD的平分线交于点A2018，得∠A2018．则∠A2018＝_________度．
7.如图15，求证：（1）∠BDC>∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.
如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
证：
8.（1）如图16.1，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度数.
解：
（2）如图16.2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的角平分线交于点D，
若∠BMN=130°，∠CNM=100°，求∠D的度数.
解：
图1
图2
图3
图4
图5
A
B
C
D
E
1
F
2
图6
图7
图8
图12
图11
图10
图9
图14
图13
图15
图16.1
图16.2
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（总课时53）§7.5三角形内角和定理（2）
【学习目标】掌握三角形外角的两条性质；进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．
【学习重难点】灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。
【导学过程】
一.知识回顾:
1.三角形内角和等于180°
2.△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是∠A的平分线，则∠DAC的度数为40°.
3.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是直角三角形。
二.探究新知：
探究1：外角的概念
在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？
三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.
如图1.∠ACD是△ABC是∠ACB的外角.
特征：①顶点在三角形的一个顶点上．
②一条边是三角形的一边．
③另一条边是三角形某条边的延长线．
思考：(1)一个三角形有几个外角 6个外角(2)试在图中作出△ABC的其它外角.
探究2：外角的性质
问题：如图2，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是
△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，
∠ACD与∠A、∠B有什么关系？
解：(1)∠ACD=∠A+∠B=130°(2)∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.
推论：1.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三.典例与练习
例1.已知：如图3,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证：AD∥BC
证明：∵∠EAC=∠B+∠C(推论1)∠B=∠C(已知)
∴2∠C=∠EAC(等式性质)∵AD平分∠EAC(已知)∴∠DAC=0.5×∠EAC(角平分线的定义)
∴∠DAC=∠C(等量代换)∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
练习1.如图4，D是△ABC边BC上的一点，∠DAC=∠B.求证：∠ADC=∠BAC.
证明：∵∠ADC=∠B+∠BAD(推论1)∠DAC=∠B∴∠ADC=∠DAC+∠BAD=∠BAC
练习2.已知三角形的一个外角为110°，∠B=∠C，则这个三角形的三个内角分别为70°，70°，40°或70°，55°，55°．
例2.已知：如图5，P是△ABC内的一点,连接PB,PC,求证：∠BPC>∠A.
证明：如图：连接AP并延长交BC于点D.
∵∠BPD>∠BAP，∠CPD>∠CAP（三角形的外角大于任何一个不相邻的内角）
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD>∠BAP+∠CAP=∠BAC，即∠BPC>∠A.
练习3.已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延
长BC到D，连接DE．求证：∠1>∠2．
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）∴∠1>∠ACB(推论2)
∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）∴∠ACB>∠2(推论2)
∴∠1>∠2（不等式的性质）
练习4.（2020·江西初二期末）如图，在△ABC中，∠1=100，∠C=80，
∠2=0.5×∠3，BE平分∠ABC交AD于E，求∠4的度数．
解：∵∠1=∠3+∠C，∠1=100°，∠C=80°，∴∠3=20°，
∵∠2=0.5×∠3，∴∠2=10°，∴∠ABC=180°-100°-10°=70°，
∵BE平分∠BAC，∴∠ABE=35°，∵∠4=∠2+∠ABE，∴∠4=45°．
练习5.如图8，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，那么∠1+∠2+∠3=？
解：∵∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠BAC+∠BCA，∠3=∠CBA+∠CAB
∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+
=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC）=2×180°=360°
四.课堂小结：
1.三角形的外角和等于360°.
2.遇到证明角的不等关系时，应想到用三角形的外角性质
五.分层过关：
1.小桐把一副直角三角尺按如图9的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于(C）A．150° B．180° C．210° D．270°
2.如图10，在△ABC中，∠B=33°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（D）
A．33° B．56° C．65° D．66°
3.如图11，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝28°，则∠AEC的大小为(D )A．17° B.62° C.63° D.73°
4.如图12，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝25°，则∠BDC等于（D ）A．44° B．60° C．67° D．70°
5.如图13，将一张长方形纸片分別沿着EP，FP对折，使点B落在点B，点C落在点C′．若点P，B′，C′不在一条直线上，且两条折痕的夹角∠EPF＝85°，则∠B′PC′＝10°．
6.如图14，在△ABC中，∠A＝β度，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…∠A2017BC与∠A2017CD的平分线交于点A2018，得∠A2018．则∠A2018＝度．
7.如图15，求证：（1）∠BDC>∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.
如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
证：（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1>∠3.∠2>∠4（推论2）
∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）即：∠BDC>∠BAC.
（2）连结AD，并延长AD，如图.则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（推论1）
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC
8.（1）如图16.1，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度数.
解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBC=0.5∠ABC，∠DCE=0.5∠ACE.
∵∠ACE=∠ABC+∠A，∠DCE=∠DBC+∠D，∴∠DCE=0.5∠ACE=0.5(∠ABC+∠A），即∠DBC+∠D=0.5(∠ABC+∠A)，∴∠D=0.5∠A.
∵∠ABC=75°，∠ACB=45°，∠A=60，∴∠D=30°.
（2）如图16.2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的角平分线交于点D，
若∠BMN=130°，∠CNM=100°，求∠D的度数.
解：（2）如图，延长BM，CN交于点A.
∵∠BMN=∠ANM+∠A，∠CNM=∠AMN+∠A，
∴∠A=∠BMN+∠CNM-180°=50°，
由（1）知∠D=0.5∠A=25°.
图1
图2
图3
图4
D
图5
A
B
C
D
E
1
F
2
图6
图7
图8
图12
图11
图10
图9
图13
图15
图14
图16.1
图16.2
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（总课时53）§7.5三角形内角和定理（2）
一.选择题：
1.如图1，A处在B处的北偏东45°方向，A处在C处的北偏西15°方向，则∠BAC等于（D）
A．30° B．45° C．50° D．60
2.如图2，直线AB∥CE，∠B=100，∠F=40，则∠E的度数是（B）A．50° B．60° C．70° D．80°
3.如图3，△ABC中∠A=110°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2 等于( C )．
A．110° B．180° C．290° D．310°
4.如图4，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将∠A沿着DE所在直线折叠，A与A′重合，若∠1+∠2＝140°，则∠A的度数是（A）A．70° B．75° C．80° D．85°
5.如图5，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（C ）A．70° B．80° C．90° D．100°
6.如图6，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC 外的A 处，折痕为DE，如果∠A=α，∠CEA =β，∠BDA =γ，那么下列式子中正确的是（A）
A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°-α-β
二.填空题：7.如图7，已知点D是AB上的一点，点E是AC上的一点，BE，CD相交于点F，∠A=50°，∠ACD=40°，∠ABE=28°，则∠CFE的度数为_62o．
8.如图8，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是360°_．
9.如图9，在△ABC中，∠ACB=68°，若P为△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC=_112°__
10.如图10，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC=140°，若BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M=40°．
11.如图11，在△ABC中，∠B=40，将△ABC沿着直线折叠，使点B落在点F的位置，则∠1-∠2=80.
12.如图12，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A=40°，那么∠1+∠2=220°.
三.解答题：
13.如图所示，在△ABC中，∠B=280，∠ACB=720，AD平分∠BAC,EF⊥AD于点F,交BC延长线于点E.求∠DEF的度数.解：∵∠B=28°，∠ACB=72°，∴∠BAC=180°－∠B－∠ACB=80°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=0.5∠BAC=40°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=28°+40°=68°，∵EF⊥AD于点F，∴∠EFD=90°，∴∠DEF=90°－∠ADC=22°.
14.已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α．
（1）当α＝40°时，∠BPC＝70°，∠BQC＝125°；（2）当α＝60°时，BM∥CN；
（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；
（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°
解：（3）∵α＝120°，∴∠MBC+∠NCB＝0.75（∠DBC+∠BCE）＝0.75（180°+α）＝225°，∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°.
15.如图，已知：中，BE，CF分别是的两条高且相交于点D．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
解（1）∵BE，CF分别是△ABC的两条高，
∴∠AEB=90°，∠AFC=90°，
∵∠A=70°，
∴∠ABE=20°，
∴∠BDC=∠BFD+∠FBD=110°；
（2）∵∠BDC=∠BFD+∠FBD=120°，又∠BFD=90°
∴∠FBD=30°，
∴∠A=60°．
图4
图1
图2
图3
图8
图7
图6
图5
图12
图11
图10
图9
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（总课时53）§7.5三角形内角和定理（2）
一.选择题：
1.如图1，A处在B处的北偏东45°方向，A处在C处的北偏西15°方向，则∠BAC等于（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60
2.如图2，直线AB∥CE，∠B=100，∠F=40，则∠E的度数是（ ）A．50° B．60° C．70° D．80°
3.如图3，△ABC中∠A=110°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2 等于( )．
A．110° B．180° C．290° D．310°
4.如图4，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将∠A沿着DE所在直线折叠，A与A′重合，若∠1+∠2＝140°，则∠A的度数是（ ）A．70° B．75° C．80° D．85°
5.（2020·广西初二期末）如图5，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（ ）A．70° B．80° C．90° D．100°
6.如图6，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC 外的A 处，折痕为DE，如果∠A=α，∠CEA =β，∠BDA =γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°-α-β
二.填空题：7.如图7，已知点D是AB上的一点，点E是AC上的一点，BE，CD相交于点F，∠A=50°，∠ACD=40°，∠ABE=28°，则∠CFE的度数为______．
8.如图8，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是_____．
9.如图9，在△ABC中，∠ACB=68°，若P为△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC=______
10.如图10，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC=_____，若BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M=_____．
11.如图11，在△ABC中，∠B=40，将△ABC沿着直线折叠，使点B落在点F的位置，则∠1-∠2=___.
12.如图12，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A=40°，那么∠1+∠2=_____.
三.解答题：
13.如图所示，在△ABC中，∠B=280，∠ACB=720，AD平分∠BAC,EF⊥AD于点F,交BC延长线于点E.求∠DEF的度数.
解：
14.已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α．
（1）当α＝40°时，∠BPC＝____°，∠BQC＝____°；（2）当α＝____°时，BM∥CN；
（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；
（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：____________________.
解：
15.如图，已知：中，BE，CF分别是的两条高且相交于点D．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
解
图4
图1
图2
图3
图8
图7
图6
图5
图12
图11
图10
图9
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