函数的抽象性

抽象函数
抽象函数是没有给出具体的解析式的函数，面对这些问题时，常感到无所适从，其实这类这类问题的解法是有一定的规律可循.以下是一些探索.
1.1具有明显初等函数背景的抽象函数问题
有些抽象函数有明显的初等函数背景，利用这些初等函数能帮助我们分析和解决问题，尤其是客观题能很快得到答案，但解答题则要写出合理的解题步骤.
例1　是定义在R上的奇函数，且满足下列条件：
（1） 对任意实数，都有；
（2） 当时，，且.
求在区间上的最大值和最小值.
解析：（这个函数可以类比一次函数，再由得，即函数为.所以最大值为3，最小值为－4.以上的过程只能作为客观题的解答过程，不能作为解答题的解题过程.）
设，则，
∵.即在区间上是减函数.
又.则奇函数的性质得，即的最小值为－4,最大值为3.
1.1.1类比一：指数函数
已知函数的定义域为R，对任意实数都有，证明，且.
解题过程注意：怎样证明.
令,则，怎么约去？又，怎么证明？
需增加“时，有”条件，这样就可以证明了.若，则对任意的，令，则，与已知矛盾.所以.
当时，，若，则，与已知矛盾，所以，从而.
所以，这个问题要能够证出就要添加.
类比指数函数还可以得到：（1）当时，，则当时，；（2）在（1）的条件下在区间上是增函数；（3）对，有.
证明：（1）当时，，则，
∴，又，故.
（2）设，则，故在上是增函数.
（3）
.
（总结：变形用到、应注意领会）
对于以上的条件还有结论：如果时，，则当时，，且在区间上是减函数.
上述结论可归结为：定义在区间上的函数满足：
1 对任意的，使得；
2 对任意的实数、，.求证：
（1）；（2）对任意实数，；（3）如果时，，则当时，，且在区间上是增函数（减函数）；（4）对，有.
　　　如果利用上述函数的单调性编一个题目，比如要设计一条直线与圆相交有一个、两个或没有交点的题目，而直线和圆的方程直接给出就太简单了，于是用此处的单调性给出.题目中又不能指出是直线和圆，再用集合来“包装”一下：设集合，.当为何值时，①②.这样就可以得到一个综合题：
定义在区间上的函数满足：
①对任意的，使得；
②对任意的实数、，.
（Ⅰ）求证；（Ⅱ）如果时，，讨论在区间上的单调性；（Ⅲ）设集合，，当为何时，①②.
还可以把（Ⅲ）改编成直线与其他曲线的位置关系问题.
1.1.2类比二：对数函数
类比对数函数得到：是定义在区间上，且满足对任意的、，都有①（或）；②当时，.求证：
（1）；（2）当时，；（3）在区间上是增函数；（4）.
证明：令，则，即（或）.
（2）设，则，那么，∵，
∴.
（3）设，则，从而
.所以是定义在区间上的增函数.
（4）
.
编题：是定义在区间上的增函数，对定义域内任意的、，.
（1）当时，求证：；
（2）当，时，求证：必有反函数；
（3）设是的反函数，求证：在其定义域内有.
（说明：的原形函数是对数函数，想到它的反函数是指数函数，而要有反函数，只要它单调函数即可，这由已知条件可以得到，但没有要求证明的单调性而是要求证明其有反函数，增加了题目的难度.）
（1）（2）证明略.
（3）解析：只要证明，左边＝，右边＝＋，由的单调性知结论成立.
1.1.3类比三：幂函数
类比幂函数得到：已知函数的定义域是R，且对任意的、，都有，且当时，.
求证：（1），；（2）在上是奇函数；（3）当时，则在上是增函数；（4）.
证明：（1）令，则，所以或.若，则，与已知“则”矛盾，所以.再令，则，则或.因，故不满足题意，∴.
（2）∵，∴，于是，所以是奇函数.
（3）设，则，∵，∴在区间上是增函数.由函数是奇函数知在上也是函数，故在上是增函数.
（4）.
编题：已知函数满足：
1 对任意实数、，都有；
2 ，，且当时，.
（1）判断的奇偶性，并证明；（2）判断在上的单调性，并证明；（3）若，求的取值范围.
1.1.4类比四：三角函数
1.类比正切函数，，则是它的一个周期.类比得到且，则是函数的的一个周期.
2.类比，因为是的一个周期，由此得到，由是的一个周期.
3.类比余弦函数的和差化积公式，得到对任意实数、，都有证明：是偶函数和周期函数.（注意这儿条件不够）
分析：要证明是偶函数，就需要得到，令，则，必须.但令时，有，得到，没有办法说明.于是想到仿照前面的方法，添加条件不恒为0，则存在实数，使.令，则，所以.
添上的对称轴是，则，就是函数的一个周期了.
在此例中，令，并添加条件③设不恒为0，且当时，.
求.
这就是2005年湖北省部分学校联考试题.
因为2是的一个周期，所以，令，则由已知可得，即，因为当时，，故.
（以下赋值部分不容易想到，多注意）
令，，　　　①
令，，　　②
由①、②可解得.因为的图象关于直线对称，所以从而，于是
原式＝.
此题是以抽象函数为主干的综合性函数问题，解答时首先是根据题意，对其变量赋于特殊值，再结合其他条件解题.
1.2以抽象函数为主干的综合性问题
例2　设是定义在R上不恒为0的函数，且对任意的都满足.
　　（1）求、的值；（2）判断的奇偶性，并证明；（3）若，求数列的前项和.
解：（1）令，；令，.
　（2）令则.而，即，∴，是奇函数.
（对于（3）把变为我们熟悉的方法）
（3）把变形为，令，从而，于是，即.
∵，∴，
∴.
练习：
　已知是定义在区间上恒不为0的减函数，对任意，，都有.
（1） 求的值，并证明；
（2） 设表示数列的前项和，求集合中的最大元素与最小元素.
1.3小结
（1）运用类比思想，由特殊到一般归纳抽象出结论，这是一种重要的创新方法.
（2）抽象函数类问题的解题规律：合理赋值，适当变形，找出规律，脱掉“”，让其还俗（揭示本质）.在证明单调性时，加一项减一项、乘一项除一项是常用技巧.
16、(南京市2007届高三第二次调研测试卷)已知定义域为的函数对任意实数满足，且，给出下列结论：
① ；②为奇函数；③是周期函数；④在内为单调函数
其中正确的结论是 （填上所有正确结论的序号）
已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减 ( http: / / www. / wxc / )
命题意图 ( http: / / www. / wxc / ) 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力 ( http: / / www. / wxc / )
知识依托 ( http: / / www. / wxc / ) 奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想 ( http: / / www. / wxc / )
错解分析 ( http: / / www. / wxc / ) 本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得 ( http: / / www. / wxc / )
技巧与方法 ( http: / / www. / wxc / ) 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点 ( http: / / www. / wxc / )
证明 ( http: / / www. / wxc / ) (1)由f(x)+f(y)=f(),
令x=y=0,得f(0)=0,
令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0 ( http: / / www. / wxc / )
∴f(x)=－f(－x) ( http: / / www. / wxc / ) ∴f(x)为奇函数 ( http: / / www. / wxc / )
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减 ( http: / / www. / wxc / )
令0∵00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由题意知f()<0，?
即f(x2)∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 ( http: / / www. / wxc / )
∴f(x)在(－1，1)上为减函数 ( http: / / www. / wxc / )
例2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)命题意图 ( http: / / www. / wxc / ) 本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法 ( http: / / www. / wxc / )
知识依托 ( http: / / www. / wxc / ) 逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题 ( http: / / www. / wxc / )
错解分析 ( http: / / www. / wxc / ) 逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱 ( http: / / www. / wxc / )
技巧与方法 ( http: / / www. / wxc / ) 本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法 ( http: / / www. / wxc / )
解 ( http: / / www. / wxc / ) 设0∴f(－x2)∴f(x2)由f(2a2+a+1)3a2－2a+1 ( http: / / www. / wxc / ) 解之，得0又a2－3a+1=(a－)2－ ( http: / / www. / wxc / )
∴函数y=()的单调减区间是［，+∞］
结合0(安徽省皖南八校2007届高三第二次联考)设定义在R的函数f（x）满足：①对任意的实数x、y∈R有f（x＋y）＝f（x）·f（y）．②当x>0时，f（x）>1、数列{an}满足a1＝f（0）,且f（an＋1）＝,（n∈N*）
（1）求f（0）,并判断f（x）的单调性；
（2）求数列{an}的通项公式an．
（3）令bn是最接近的正整数，即∈N*，设Tn＝（n∈N*）,求T1000。
（1）令y＝0,x＝1,得f（1）·f（0）,即f（1）·[f（0）－1]＝0
∵x>0时f（x）>1 ，故f（1）>1≠0，∴f（0）＝1
由①可知f（x）·f（－x）＝f（0）＝1
∵x>0时，f（0）>1，∴x<0时,00
设x1∵x2－x1>0，∴f（x2－x1）>1
又f（x1）>（x1），∴f（x2）>f（x1），∴f（x）在R上为增函数
（2）∵a1＝f（0），∴a1＝1
由（1）得f（1＋an）＝
∵f（x）为R上为单调函数，∴an＋1＝an＋1，∴an＝a1＋（n－1）×1＝n
即（an）的通项公式为an＝n (n∈N). 8分
（3）令bn＝k,（k∈N*）是接近的正整数，则k－
则k2－k＋
由于k, n均为正整数，∴k2－k＋1≤n≤k2＋k
由于k ,n均为正整数n有k2＋k－（k2－k＋1）＋1＝2k个 10个
∴312>1000<322，322－32＋1＝993
∴T1000＝ ＝2×1＋4×＝62
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