22.1 二次函数的图形和性质 同步练习 （含答案） 2023—2024学年人教版数学九年级上册

22.1 二次函数的图形和性质
一、单选题
1、抛物线的顶点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若二次函数的解析式为y=2x2﹣4x+3，则其函数图象与x轴交点的情况是（　　）
A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．以上都不对
6、已知二次函数的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），则当时，二次函数的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
4．函数 和 （ 是常数，且 ）在同一直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
5．抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为（　　）
A． B． C． D．
6．点 ， ， 均在二次函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．其图象关于直线x=-1对称
B．函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为4
C．1和-3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
D．当x＜-1时，y随x的增大而减小
8．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：
①；②；③；④；⑤.
正确的是（　　）
A．①③⑤ B．①③④ C．①②③④⑤ D．①②③⑤
二、填空题
9．将抛物线y=x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为　 　．
10．若二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为　 　．
11．定义{a，b，c}为关于x的函数y＝ax2+bx+c的“特征数”，如：函数y＝x2﹣2x+3的“特征数”是{1，﹣2，3}.在平面直角坐标系中，将“特征数”是（﹣4，0，1}的函数的图象向下平移2个单位长度，得到一个新的图象，这个新图象的函数解析式是　 　.
12． 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．
13．如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞ ﹣1；以上结论中正确结论的序号为　 　．
三、解答题
14．已知二次函数有最小值为0，求m的值．
15．已知抛物线的顶点是（－2，3），且经过点（－1，4），求这条抛物线的函数表达式.
16．已知：二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．请你根据图象提供的信息，求出这条抛物线的表达式．
17．在平面直角坐标系中，设二次函数（a是常数）
（1）当a＝2时，求函数y1图象的顶点坐标和对称轴；
（2）若函数y1图象经过点（1，p），（﹣1，q），求证：pq≤4；
（3）若a＜0，y2＝x﹣3a+1，y1，y2的图象交于点（x1，m）（x2，n），（x1＜x2），设（x3，n）为y1图象上一点（x3≠x2），求x3﹣x1的值．
18．如图，二次函数y=- +bx+c的图象经过A(2，0)、B(0，-4)两点，
（1）求二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
19．如图，抛物线y=x2﹣3x+ 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求A、B的坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
参考答案
1．A
2．A
3．C
4．C
5．B
6．D
7．D
8．C
9．y=x2+1
10．3
11．y＝﹣4x2﹣1
12．（1，0）
13．①④
14．解：∵有最小值0，
∴且，
解得或（舍去）．
经检验：是该方程的解．
即m的值为1．
15．解：∵抛物线的顶点是（－2，3），
∴抛物线解析式可设为 ，
把（－1，4）代入上式得
a(-1＋2)2＋3=4
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x＋2)2＋3
16．解：由图象可知：抛物线的对称轴为x=1，
设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+k
∵抛物线经过点（﹣1，0）和（0，﹣3）
∴ 解得 ，
∴抛物线的表达式为：y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3
17．（1）解：当a＝2时，二次函数为，
∵
＝x2﹣6x+9﹣9+1
＝（x﹣3）2﹣8，
∴对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，﹣8）；
（2）证明：∵函数y1的图象经过点（1，p），（﹣1，q），
∴1﹣3a+1＝p，1+3a+1＝q，
∴p＝2﹣3a，q＝2+3a，
∴pq＝（2﹣3a）（2+3a）＝4﹣9a2，
∵a2≥0，
∴9a2≥0，
∴4﹣9a2≤4，
即pq≤4；
（3）解：令y1＝y2，则x2﹣3ax+1＝x﹣3a+1，
整理得x2﹣（3a+1）x+3a＝0，
∴（x﹣3a）（x﹣1）＝0，
∵a＜0，x1＜x2，
∴x1＝3a，x2＝1，
∴n＝2﹣3a，
∵（x2，n），（x3，n）（x2≠x3）在二次函数图象上，
∴这两个点关于二次函数的对称轴对称，
∵二次函数的对称轴是，
∴，
∴，
∴x3＝3a﹣1，
∴x3﹣x1＝3a﹣1﹣3a＝﹣1．
18．（1）解：分别把点A(2，0)、B(0，-4)代入 得，
，
解得： ，
∴这个二次函数的解析式为：
（2）解：由（1）中抛物线对称轴为直线，
∴点C的坐标为： ，
∴ ，
∴ 的面积为： ，
19．（1）解：当y=0时，x2﹣3x+ =0，解得x1= ，x2= ，
∴A（ ，0），B（ ，0）
（2）解：当x=0，则y=x2﹣3x+ = ，
∴C点坐标为（0， ），
设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为：y=﹣ x+
（3）解：设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m，m2﹣3m+ ），则E点的坐标为（m，﹣ m+ ），
DE=﹣ m+ ﹣（m2﹣3m+ ）=﹣m2+ m，
∵DE=﹣（m﹣ ）2+
∴m= 时，DE的长最大，
∴D点的坐标为（ ，﹣ ）