1.2集合间的基本关系同步练习人教A版高中数学（2019）必修第一册（含解析）

1.2集合间的基本关系
一．选择题（共5小题）
1．定义：表示集合中元素的个数，．已知集合，，集合，集合，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．且
2．设是有理数，集合，，，在下列集合中；
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
与相同的集合有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．设，其中，3，，2022，则所有的交集为　　
A．， B．， C．， D．2
4．已知集合，、、为非零实数，则的子集个数是　　
A．2 B．3 C．4 D．8
5．设集合，，，，，，且，则，的值为　　
A．， B．， C．， D．，
二．填空题（共3小题）
6．设，1，2，3，4，5，6，7，8，，若，，则不同的有序集合组，，的总数是　　．
7．设集合，，它共有136个二元子集，如，，，等等．记这136个二元子集为，，，，设，定义，则　　．（结果用数字作答）
8．已知，集合，集合，若，则实数的取值范围是　　．
三．解答题（共3小题）
9．对于给定的非空集合，定义集合，，，，若，则称集合满足性质．
（Ⅰ）判断下列集合是否满足性质，并说明理由：
①，，②，1，
（Ⅱ）集合，2，，满足性质，求的最小值；
（Ⅲ）若非空集合，，且集合满足性质，求集合中的元素个数的最大值．
10．设集合，，，，若，求实数的取值范围．
11．已知，集合，．
（1）求证：；
（2）若集合，求集合；
（3）若集合，，求集合；
（4）若集合为空集，求证集合也是空集．
（进阶篇）2021-2022学年上学期高中数学人教新版高一同步分层作业1.2集合间的基本关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．定义：表示集合中元素的个数，．已知集合，，集合，集合，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．且
【分析】由，，可得，结合知或，由方程的解知或或，从而转化为只需要排除；转化为方程有相同的根或方程的根有一个与，0，1中的一个数相同，另一个根与，0，1不同，从而解得．
【解答】解：，，
，，，，，
，
又，
或，
方程的解为，0，1；
方程可能有0个解，2个相同的解，2个不同的解，
或或，
故只需要排除，
若，
①当△，即时，
，0，1，或，0，1，，成立，
②若是方程的根，则，
，0，1，，成立，
③若1是方程的根，则，
，0，1，，成立，
0不可能是方程的根，
综上所述，
当且仅当或时，，
故的取值范围是且，
故选：．
【点评】本题考查了集合与集合之间的关系、方程的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
2．设是有理数，集合，，，在下列集合中；
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
与相同的集合有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】将，分别代入（1），（2），（3），化简并判断，与，是否一一对应，再举反例判断（4）．
【解答】解：对于（1）由，可得，，一一对应，则，，故（1）符合；
对于（2）由，可得，，一一对应，则，，故（2）符合；
对于（3）由，可得，，一一对应，则，，故（3）符合；
对于（4），但方程无解，则，与不相同．
故选：．
【点评】本题考查了函数的定义以及集合相等，考查了运算求解能力，属于基础题．
3．设，其中，3，，2022，则所有的交集为　　
A．， B．， C．， D．2
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：由题意可得：
，
，，，且在，上递增，
时，，
所有的交集是，，
故选：．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
4．已知集合，、、为非零实数，则的子集个数是　　
A．2 B．3 C．4 D．8
【分析】讨论、、的符号，得到集合的元素，然后根据子集的公式可得结论．
【解答】解：当、、都是正数时，；
当、、都是负数时，；
当、、中有一个是正数时，另外两个是负数或有两个是正数，另一个是负数时，；
故该集合中有3个元素，则其子集个数为．
故选：．
【点评】本题主要考查了集合子集的概念，以及分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于基础题．
5．设集合，，，，，，且，则，的值为　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】利用集合相等，确定元素关系，建立等式，求解，．可先从集合中有0作为解题的突破口．
【解答】解：因为，，，又，．
①若则，解得，，则，1，，不成立；
或，，则，1，满足题意；
②若，解得，，，1，，不成立；
综上：，．
故选：．
【点评】本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．同时要注意分类讨论．
二．填空题（共3小题）
6．设，1，2，3，4，5，6，7，8，，若，，则不同的有序集合组，，的总数是　　．
【分析】按照中元素个数讨论可解决此题．
【解答】解：当集合中有10个元素时，不同的有序集合组，，有个；
当集合中有9个元素时，不同的有序集合组，，有个；
当集合中有0个元素时，不同的有序集合组，，有个；
总数为：．
【点评】本题考查组合应用、二项式定理，考查数学运算能力及数据分析能力，属于难题．
7．设集合，，它共有136个二元子集，如，，，等等．记这136个二元子集为，，，，设，定义，则　1835028　．（结果用数字作答）
【分析】由题意可得：，利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：由题意可得：
．
故答案为：1835028．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、集合与元素之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
8．已知，集合，集合，若，则实数的取值范围是　，　．
【分析】由题意可得，集合可化为，运用判别式法，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：已知，集合，集合，
由集合，有：，
集合：，可得：；即：；
若，
即：，与：对应为相同的不等式且解集相同．
可得：时，才有与集合相同的不等式，才有相同的解集；
则集合：；
且；
所以有：且；
解得：
解得：；
故答案为：，．
【点评】本题考查集合与不等式的解法，考查转化思想和运算能力，考查了集合的关系和运算，熟练掌握相等的定义和空集是解本题的关键．属于难题．
三．解答题（共3小题）
9．对于给定的非空集合，定义集合，，，，若，则称集合满足性质．
（Ⅰ）判断下列集合是否满足性质，并说明理由：
①，，②，1，
（Ⅱ）集合，2，，满足性质，求的最小值；
（Ⅲ）若非空集合，，且集合满足性质，求集合中的元素个数的最大值．
【分析】第一步利用新概念检验所给集合是否满足性质，后两步则是在满足性质的前提下，探究条件．较好的运用了归纳、分析的解题思想
【解答】解：（Ⅰ）由，可知，7，，，，
此时，，故满足性质；
由，1，可知，1，2，7，8，，，1，6，，
此时，，1，，
故不满足性质．
（Ⅱ）由，2，可知，
，3，4，，，，
，1，，，
欲使，须使，即，
故的最小值为7．
（Ⅲ）根据题意，要使集合中的元素个数的最大值，
则需中的元素连续且元素尽可能最大，
故，设，，，，，，
则，，，，，
，1，2，，，
欲使，
须使，即，
故最小取34，
此时，中元素个数最多为个．
【点评】本题考查的知识点是新定义，正确理解集合，的定义是解答的关键．
10．设集合，，，，若，求实数的取值范围．
【分析】求出集合、的元素，利用是的子集，即可求出实数的范围；
【解答】解：（1），
，，
，且．
故①时，△，即，满足；
②时，当，此时，满足；
当时，，4是方程的两个根，
此时不存在满足条件的值，
综上所述；
【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．
11．已知，集合，．
（1）求证：；
（2）若集合，求集合；
（3）若集合，，求集合；
（4）若集合为空集，求证集合也是空集．
【分析】（1）若，则成立，则必成立，进而根据集合包含关系的定义，得到结论；
（2）根据题意，分析可得，而方程可化为，即可得集合；
（3）若，，即有两根和2，分析可得，方程可化为，分析可得集合；
（4）将化为，若为空集，分析可得，分析方程的解的情况即可得
【解答】解：（1）根据题意，，
任取，则有，得，所以，
所以．
（2），所以，
方程可化为：，
所以．
（3），，即有两根和2，
所以，
方程可化为：，
所以，2，，；
（4）方程可化为：若集合为空集，即方程无解，有，
则对于，即，也有，
则方程无解，即也为空集日.
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