1.3集合的基本运算同步练习人教A版高中数学（2019）必修第一册（含解析）

1.3集合的基本运算
一．选择题（共5小题）
1．若全集为，集合和集合的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为　　
A． B． C． D．
2．已知，，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
3．满足，，1，的集合共有　　个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．集合，，，则的范围是　　
A． B． C． D．
5．如图请用集合、、、表示图中阴影部分所表示的集合　　
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
6．设全集为小于20的非负奇数，若，7，，，17，，且，则　　．
7．已知是方程的解集，，3，7，，，4，7，且，，则　　．
8．今年中秋节，某班班主任准备给班上60名孩子买爱心月饼，月饼有水果和豆沙两种口味．经调查，该班喜欢水果口味的有45人，喜欢豆沙口味的有28人，两种口味都喜欢的人数比两种口味都不喜欢的人数的4倍少2人，问只喜欢豆沙口味的有 　　人．
三．解答题（共2小题）
9．已知集合为非空数集，定义：，，，，，．
（1）若集合，，直接写出集合、；
（2）若集合，，，，且，写出一个满足条件的集合，并说明理由；
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
10．（1）已知全集，1，2，3，4，，集合集合，1，2，，集合，3，4，，集合是的子集，且既不是的子集也不是的子集，请问集合有多少种可能情况．
（2）一般地，已知全集，，，，中有个元素，集合、都是的子集，且满足以下条件：①；②集合中有个元素，集合中有个元素；③中有个元素，，，若存在集合是的子集，但不是的子集也不是的子集，请问这样的集合有多少种情况．
（3）更进一步，已知全集，，，，中有个元素，集合、、都是的子集，且满足以下条件：①；②集合中有个元素，集合中有个元素，集合中有个元素；③中有个元素，中有个元素，中有个元素，中有个元素（以上涉及数量的字母均为正整数），若存在集合是的子集，但不是的子集也不是的子集，也不是的子集，请问这样的集合有多少种情况．
（进阶篇）2021-2022学年上学期高中数学人教新版高一同步分层作业1.3集合的基本运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．若全集为，集合和集合的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为　　
A． B． C． D．
【分析】由阴影部分表示的集合由集合与集合在全集下的补集的公共部分组成，可得答案．
【解答】解：阴影部分表示的集合由集合与集合在全集下的补集中的公共部分元素组成，
故选：．
【点评】本题考查了集合的关系及运算，属于基础题．
2．已知，，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】由，可得，再利用集合的运算性质即可得出．
【解答】解：由，解得，
，
，可得，
．
则的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查了集合的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．满足，，1，的集合共有　　个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用列举法能求出满足，，1，的集合的个数．
【解答】解：满足，，1，的集合有：
，，，，，，1，，共4个．
故选：．
【点评】本题考查满足条件的集合个数的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．集合，，，则的范围是　　
A． B． C． D．
【分析】先解一元二次不等式求出集合，从而得到或，再由集合的运算求出的取值范围．
【解答】解：集合，
或，
，，
，故的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查集合的补集、并集运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．
5．如图请用集合、、、表示图中阴影部分所表示的集合　　
A． B． C． D．
【分析】利用韦恩图数形结合直接求解．
【解答】解：由韦恩图得：
图中阴影部分所表示的集合为：
．
故选：．
【点评】本题考查集合的求法，考查集合的补集、并集、交集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．填空题（共3小题）
6．设全集为小于20的非负奇数，若，7，，，17，，且，则　，5，9，　．
【分析】求出，结合图，求出答案即可．
【解答】解：全集为小于20的非负奇数，3，5，7，9，11，13，15，17，，
若，7，，，17，，且，
画出图，如图示：
则，5，9，，
故答案为：，5，9，．
【点评】本题考查了图的应用，考查集合的关系，是基础题．
7．已知是方程的解集，，3，7，，，4，7，且，，则　26　．
【分析】根据题意可知，方程有两个不相等的实数根，也就是集合含两个元素，再根据，即可得出，，最后利用韦达定理，即可求出，的值，进一步求出的值．
【解答】解：对于方程，△，
方程有两个不相等的实数根，即集合中含两个元素，
，，3，7，，
，3，7，，
又，，4，7，，
，，，即4和10是方程的根，
，，解得，，
．
故答案为：26．
【点评】本题考查了交集的定义及运算，韦达定理，考查了计算能力，属于基础题．
8．今年中秋节，某班班主任准备给班上60名孩子买爱心月饼，月饼有水果和豆沙两种口味．经调查，该班喜欢水果口味的有45人，喜欢豆沙口味的有28人，两种口味都喜欢的人数比两种口味都不喜欢的人数的4倍少2人，问只喜欢豆沙口味的有 　10　人．
【分析】设该班只喜欢水果口味的有人，只喜欢豆沙口味的有人，两种口味都喜欢的有人，两种口味都不喜欢的有人，则，解方程组即可．
【解答】解：设该班只喜欢水果口味的有人，只喜欢豆沙口味的有人，
两种口味都喜欢的有人，两种口味都不喜欢的有人，
则，
解得，，，，，
故答案为：10．
【点评】本题考查了集合的定义及方程组的解法，属于基础题．
三．解答题（共2小题）
9．已知集合为非空数集，定义：，，，，，．
（1）若集合，，直接写出集合、；
（2）若集合，，，，且，写出一个满足条件的集合，并说明理由；
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
【分析】（1）由集合的新定义，直接写出集合，即可，
（2）由集合的定义，写出即可，
（3）由题意设出集合，并由容斥原理，得出的范围，经证明得出的范围，再求最大值即可．
【解答】解：（1）根据题意，由集合，，计算集合，4，，，，
（2）由于集合，，，，，且，
所以中也只包含四个元素，
例，1，2，，
又，1，2，，
故满足题意．
（3）设，，满足题意，其中，
则，
，，
，
，
由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，
，
，
，
实际上当，675，676，，时满足题意，
证明如下：
，，，，，，
，，，，，
，1，2，，，
依题意有，即，
故的最小值为674，于是当时，中元素最多，
即，675，676，，时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347．
【点评】本题考查集合的新定义，及并集的综合应用，属于中档题．
10．（1）已知全集，1，2，3，4，，集合集合，1，2，，集合，3，4，，集合是的子集，且既不是的子集也不是的子集，请问集合有多少种可能情况．
（2）一般地，已知全集，，，，中有个元素，集合、都是的子集，且满足以下条件：①；②集合中有个元素，集合中有个元素；③中有个元素，，，若存在集合是的子集，但不是的子集也不是的子集，请问这样的集合有多少种情况．
（3）更进一步，已知全集，，，，中有个元素，集合、、都是的子集，且满足以下条件：①；②集合中有个元素，集合中有个元素，集合中有个元素；③中有个元素，中有个元素，中有个元素，中有个元素（以上涉及数量的字母均为正整数），若存在集合是的子集，但不是的子集也不是的子集，也不是的子集，请问这样的集合有多少种情况．
【分析】根据集合与集合之间的关系，以及子集的个数与元素之间的关系可得．
【解答】解：（1）集合是的子集，一共有种情况，减去的子集种，减去的子集种，
、的共同子集减重复了，要加上，共4种情况，最后可得种；
（2）集合是的子集，一共有种情况，减去的子集种，减去的子集种，
、的共同子集减重复了，要加上，共种情况，最后可得种；
（3）有种．
【点评】本题考查了集合与集合的关系以及子集个数的问题，属于基础题．
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