1.5全称量词与存在量词人教A版高中数学（2019）必修第一册（含解析）

1.5全称量词与存在量词
一．选择题（共5小题）
1．若命题“，使得不等式”成立，则实数的取值集合是　　
A． B．，，
C．， D．，，
2．若命题“，”是真命题，则实数的范围是　　
A．或 B． C． D．
3．若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
4．下列语句是特称命题的是　　
A．整数是2和7的倍数 B．存在整数，使能被11整除
C．若，则 D．，成立
5．已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是　　
A．， B．，
C．， D．，
二．填空题（共3小题）
6．若，为假，则实数的取值范围为　　．
7．已知函数，若存在，，使，则实数的取值范围为　　．
8．若函数，，若，都，，使得成立，则实数的取值范围是　　．
三．解答题（共3小题）
9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，分别用符号“”或“”表示，并判断真假．
（1）存在实数，，使；
（2）对于实数，；
（3）有些实数，使得．
10．已知命题，成立，命题，不成立，若假真．求实数的取值范围．
11．设、，，．若命题“对一切实数”成立时，命题“对一切实数，”也成立，求实数的取值范围．
（进阶篇）2021-2022学年上学期高中数学人教新版高一同步分层作业1.5全称量词与存在量词
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．若命题“，使得不等式”成立，则实数的取值集合是　　
A． B．，，
C．， D．，，
【分析】根据的值分类讨论，根据二次不等式与二次函数的关系求解即可．
【解答】解：当时，不等式可化为，
故命题成立；
当时，开口向下，
故不等式一定有解，
故命题成立；
当时，△，
即，
解得，或，
综上所述，实数的取值集合是，，，
故选：．
【点评】本题考查了命题的真假性的应用及二次函数与二次不等式的关系，属于中档题．
2．若命题“，”是真命题，则实数的范围是　　
A．或 B． C． D．
【分析】根据二次函数与对应不等式的关系，利用判别式△，求出实数的取值范围．
【解答】解：命题“，”是真命题，
时，不等式为，不满足题意；
时，应满足，解得，
所以实数的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数与对应不等式的关系以及判别式的应用问题，是基础题．
3．若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】不等式化为，先求对任意，都有；
作出函数图象，由数形结合求实数的取值范围．
【解答】解：不等式可化为：
；
若对任意，都有，
作函数与的图象如下，
结合图象可知，
当或时，对任意，都有；
所以实数的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查了函数图象的作法以及函数与不等式的应用问题，也考查了数形结合的思想应用，是综合题．
4．下列语句是特称命题的是　　
A．整数是2和7的倍数 B．存在整数，使能被11整除
C．若，则 D．，成立
【分析】判断命题是否含有特称量词即可．
【解答】解：命题：存在整数，使能被11整除，含有特称量词存在，
故是特此命题，
故选：．
【点评】本题主要考查特称命题的判断，根据特称量词是解决本题的关键．比较基础．
5．已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是　　
A．， B．，
C．， D．，
【分析】由满足关于的方程得出是二次函数的对称轴，由可知二次函数有最小值．
【解答】解：满足关于的方程，
，函数在处取到最小值是
等价于，，所以命题错误．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，全称命题和特称命题真假的判断，注意对符号和的区分和理解．
二．填空题（共3小题）
6．若，为假，则实数的取值范围为　，　．
【分析】若，为假，则其否定命题为真，
利用分离常数法和基本不等式求出的取值范围．
【解答】解：若，为假，
则其否定命题为真，即，为真，
所以对任意实数恒成立；
设，；
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以实数的取值范围是．
故答案为：，．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了转化思想，是中档题．
7．已知函数，若存在，，使，则实数的取值范围为　，，　．
【分析】求导可得故当时，函数取极大值，分类讨论满足存在，，使的实数的取值范围，综合可得答案．
【解答】解：函数，，
当或时，，当时，，
故当时，函数取极大值，
若，若存在，，使，则（a），
解得，，
若，若存在，，使，则，或（a），
解得：，，
综上可得：，，，
故答案为：，，．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，特称命题，难度中档．
8．若函数，，若，都，，使得成立，则实数的取值范围是　，　．
【分析】结合二次函数及指数函数的性质先求出相应的值域，然后结合已知转化为集合的包含关系，即可求解．
【解答】解：当，时，，，
，，，，
令，，，，
若，都，，使得成立，
则，
故，
解得，．
故的范围，．
故答案为：，．
【点评】本题以量词为载体，考查了集合包含关系的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
三．解答题（共3小题）
9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，分别用符号“”或“”表示，并判断真假．
（1）存在实数，，使；
（2）对于实数，；
（3）有些实数，使得．
【分析】由全称命题与特称命题的定义判断三个命题哪个是全称命题，哪个是特称命题，然后用“”或“”表示，进一步判断真假．
【解答】解：（1）（3）为特称命题，（2）为全称命题；
（1）实数，，使，为真命题，当时成立；
（2）实数，，为假命题，原因是0的0次幂无意义；
（3），使得，为真命题，如成立．
【点评】本题考查全称量词与全称命题，存在量词与特称命题，考查命题的真假判断，是基础题．
10．已知命题，成立，命题，不成立，若假真．求实数的取值范围．
【分析】求出命题，为真命题时，的范围，据假真．求实数的取值范围．
【解答】解：命题，成立，则△，可得；
命题，不成立，
所以，成立，
当时，成立；
当时，△，
即，解得，
，
假真，，，
的取值范围为，．
【点评】本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围．
11．设、，，．若命题“对一切实数”成立时，命题“对一切实数，”也成立，求实数的取值范围．
【分析】先根据条件求出的取值范围，对进行分类，当时，，对一切实数，不成立，当时，△，即，解得即可．
【解答】解：对一切实数，
△，
解得，
，对一切实数，成立，
当时，，对一切实数，不成立，
当时，，
，
，
故实数的取值范围，．
【点评】本题主要考查命题的真假的判断和应用，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。
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