第二十四章 圆测试卷（含答案）
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2024人教版九年级数学上学期单元测试卷
第二十四章 圆
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2022·北京通州区期末)如图,若 OA⊥OB,则∠C= ( )
A.22.5° B.67.5° C.90° D.45°
(第1题) (第2题)
2.(2022·江苏镇江润州区段考改编)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若点A,B,C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(2021·江苏常熟期中)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3,0),B(-1,2),C(3,2),则△ABC的外心的坐标是( )
A.(1,-2) B.(0,0)
C.(1,-1) D.(0,-1)
(第3题) (第4题)
4.(2021·山东寿光期中)如图,若正方形ABCD的边长为6,则其外接圆半径OA与内切圆半径OE的比值为 ( )
A. B. C.2 D.3
5.(2022·湖北十堰期末)如图,点A,B,C,D都在☉O上,OA⊥BC,∠OBC=40°,则∠ADC的度数为 ( )
A.40° B.30° C.25° D.50°
6.(2022·浙江金华期中改编)如图,☉O与正六边形OABCDE的边OA,OE分别交于点F,G,点M为劣弧FG的中点.连接FM,GM,若FM=2,则☉O的半径为 ( )
A.2 B. C.2 D.2
(第6题) (第7题)
7.(2022·浙江宁波江北区期末)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆上两点,连接CA,CD,AD.若∠ADC=120°,BC=1,则的长为 ( )
A. B. C. D.
8.(2022·江苏镇江期中)简易直尺、含60°角的直角三角板和量角器如图摆放(无重叠部分),A为三角板与直尺的交点,B为量角器与直尺的接触点,C为量角器与三角板的接触点.若点A处刻度为4,点B处刻度为6,则该量角器的直径长为( )
A.2 B.2 C.4 D.4
9.如图,四边形ABCD内接于☉O,AD∥BC,直线EF是☉O的切线,B是切点.若∠C=80°,∠ADB=54°,则∠CBF=( )
A.45° B.46° C.54° D.60°
10.如图(1),AB是半圆O的直径,点C是半圆O上异于A,B的一点,连接AC,BC.点P从点A出发,沿A→C→B以1 cm/s的速度运动到点B.图(2)是点P运动时,△PAB的面积y(cm2)随时间x(s)变化的图象,则点D的横坐标为 ( )
A.a+2 B.2 C.a+3 D.3
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2022·山东济南天桥区期末)如图,☉A,☉B,☉C两两相离,且半径都为2,则图中阴影部分的面积之和为 .(结果保留π)
(第11题) (第12题)
12.(2022·江苏苏州姑苏区期中)如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 .
13.(2022·河北唐山期末改编)如图,△ABC内接于☉O,过点A作直线EF,已知∠B=∠EAC,根据弦AB的位置变化,试探究直线EF与☉O的位置关系.
甲:如图(1),当弦AB过点O时,EF与☉O相切;
乙:如图(2),当弦AB不过点O时,EF也与☉O相切.
你认为 的判断正确.
14. 新风向 关注数学文化在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何 ”用现代语言表述为:如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,AE=1寸,CD=10寸,则直径AB的长为 寸.
(第14题) (第15题)
15.如图,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径向正方形内作半圆,P为半圆上一动点(不与点A,B重合),当PA= 时,△PAD为等腰三角形.
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(7分)(2022·北京四中期中改编)某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构,如图,摩天轮半径为44 m,中心O距离地面56 m,匀速运行一圈的时间为18 min.由于受到周边建筑物的影响,乘客与地面之间超过一定距离时,可视为最佳观赏位置.已知在运行的一圈里最佳观赏时长为12 min,求最佳观赏位置与地面的最小距离(即BD的长).
17.(8分)(2021·浙江温州模拟)如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,点M是☉O上一动点,∠M=∠D,连接BC.
(1)判断BC与MD的位置关系,并说明理由;
(2)若MD恰好经过圆心O,求∠D的度数.
18.(8分)(2022·山东临沂期末)如图,AB为☉O的直径,AC,DC为弦,∠ACD=60°,P为AB延长线上的点,连接PD,∠APD=30°.
(1)求证:DP是☉O的切线.
(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
19.(10分)[与特殊平行四边形综合](2021·河南驻马店二模)如图,已知☉O的直径AB=2,C是上一个动点(不与点A,B重合),切线DC交AB的延长线于点D,连接AC,BC,OC.
(1)请添加一个条件使△BAC≌△ODC,并说明理由.
(2)若点C关于直线AB的对称点为E.
①当AD= 时,四边形OCDE为正方形.
②当∠CDB= °时,四边形ACDE为菱形.
20.(10分) 新风向 探究性试题如图,已知AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,CD与☉O相切于点D,连接AD,OC.
(1)求证:AD∥OC.
(2)小聪与小明在做这个题目的时候,对∠CDA+∠AOC的值进行了探究:
小聪说,∠CDA+∠AOC的值是一个固定值;
小明说,∠CDA+∠AOC的值随∠A的度数的变化而变化.
若∠CDA+∠AOC的值为y,∠A的度数为x,你认为他们之中谁的说法正确 若小聪的说法正确,请求出y;若小明的说法正确,请求出y与x之间的关系.
21.(12分) 新风向 探究性试题【问题呈现】阿基米德折弦定理:如图(1),AB和BC是☉O的两条弦(即折线是☉O的一条折弦),BC>AB,M是ABC的中点,则从点M向BC作垂线,垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的过程.
图(1) 图(2)
图(3) 图(4)
证明:如图(2),在CD上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.
∵M是的中点,∴MA=MC.①
∵∠A=∠C,②
∴△MAB≌△MCG,
∴MB=MG.
又MD⊥BC,∴BD=DG,
∴CD=CG+DG=AB+BD,即CD=AB+BD.
根据证明过程,分别写出步骤①,②的理由:
① .② .
【理解运用】在图(1)中,若AB=4,BC=6,则BD= .
【变式探究】如图(3),AB,BC是☉O的两条弦,点M是的中点,MD⊥BC于点D,请写出CD,DB,BA之间存在的数量关系: .
【实践应用】如图(4),△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,点D为圆周上一动点,满足∠DAC=45°.若AB=6,☉O的半径为5,求AD的长.
第二十四章 圆·B卷
1.D ∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠C=∠AOB=
45°.
2.B 连接BD,由勾股定理可得BD===5,由题意可知,33.A 如图,∵三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,∴线段BC,AB的垂直平分线的交点即为外心P,由图可知,点P的坐标为(1,-2).
4.B 由题意结合题图可知,内切圆直径等于正方形边长,则OE=3.由正方形的性质可得OA=3,则==.
5.C∵OA⊥BC,∴=.∵∠OBC=40°,∴∠AOB=50°,∴∠ADC=∠AOB=×50°=25°.
6.C 连接OM,由题意知∠FOG=120°.∵点M为劣弧FG的中点,∴∠FOM=60°.∵OM=OF,∴△OFM是等边三角形,∴OM=OF=FM=2,则☉O的半径为2,故选C.
7.A 如图,连接OC.∵∠ADC=120°,∴∠ABC=60°.
∵OB=OC,∴△OBC为等边三角形,∴∠COB=60°,OB=OC=BC=1,∴的长==.
8.D 如图,添加点D,连接OA,OB,由题意得AB=6-4=2,∵∠CAD=60°,∴∠BAC=120°.∵AB与半圆O相切于点B,AC与半圆O相切于C,∴∠BAO=60°,∠AOB=30°,∴OA=2AB=4,∴OB===2,∴量角器的直径长为4.
9.B 如图,连接OD,OB,则∠BOD=2∠C=160°.∵OB=OD,∴∠OBD==10°.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠A=180°-∠C=100°.∵AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180°,∴∠ABC=80°.在△ABD中,∠ADB=54°,∴∠ABD=180°-54°-100°=26°,∴∠OBC=80°-26°-10°=44°.∵EF是☉O的切线,∴∠OBF=90°,∴∠CBF=90°-∠OBC=90°-44°=46°.故选B.
∵AD∥BC,∴∠ADB+∠BDC+∠C=180°.∵∠C=80°,∠ADB=54°,∴∠BDC=46°.∵∠CBF是弦切角,∴∠CBF=∠BDC=46°.(弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角度数)
10.A 从题图(2)看,当x=a时,y取得最大值a,此时点P运动到点C处,即AC=a.∵∠ACB=90°,∴y=×AC×BC=BC×a=a,解得BC=2.当点P运动到点B处时,y=0,即AC+BC=OD,∵AC+BC=a+2,∴点D的横坐标为a+2.
11.2π 因为∠A+∠B+∠C=180°,所以阴影部分的面积之和等于半径为2的半圆的面积,为2π.
12.10 如图,连接OA,OB,由题意知点A,B,C,D在以点O为圆心,OA的长为半径的同一个圆上.∵∠ADB=18°,∴∠AOB=2∠ADB=36°,∴这个正多边形的边数=360°÷36°=10.
13.甲、乙 题图(1)中,∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°,∴∠B+∠CAB=90°.∵∠EAC=∠B,∴∠EAC+∠CAB=90°,∴EF⊥AB.∵OA是半径,∴EF是☉O的切线,故甲的判断正确.如图,作直径AM,连接CM,则∠ACM=90°,∠B=∠M.∵∠EAC=∠B,∴∠EAC=∠M.∵∠CAM+∠M=90°,∴∠CAM+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线,故乙的判断正确.
14.26 连接OC.∵CD⊥AB,AB为☉O的直径,CD=10,∴CE=CD=5. 设OC=OA=x,则OE=x-1.由勾股定理得OE2+CE2=OC2,即(x-1)2+52=x2,解得x=13,∴AB=26寸.
15.2或
16.【参考答案】由题意得AB⊥OM,BO=44,
∠AOB=×360°=120°,
∴∠BOC=60°,∠OBC=30°,
∴OC=OB=22.
∵中心O距离地面56 m,
∴OM=56,
∴CM=OM-OC=34,
∴BD=34 m,
故最佳观赏位置与地面的最小距离为34 m. (7分)
17.【参考答案】(1)BC∥MD. (1分)
理由:∵∠MBC=∠D,∠M=∠D,
∴∠M=∠MBC,
∴BC∥MD. (4分)
(2)∵AB是☉O的直径,CD⊥AB于点E,
∴∠D+∠EOD =90°. (6分)
∵MD过圆心O,
∴∠BOD=2∠M =2∠D,
∴∠D+2∠D =90°,
∴∠D=30°. (8分)
18.【参考答案】(1)证明:如图,连接OD.
∵∠ACD=60°,
∴∠AOD=120°,∴∠BOD=60°.
∵∠APD=30°,
∴∠ODP=90°,即PD⊥OD.
∵OD是半径,
∴PD是☉O的切线. (4分)
(2)∵在Rt△POD中,OD=2,∠OPD=30°,
∴OP=4.
由勾股定理得PD=2.
∴S阴影部分=S△POD-S扇形ODB=×2×2-=2-. (8分)
19.【参考答案】(1)添加条件∠A=30°. (1分)
理由:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵DC是☉O的切线,∴∠DCO=90°,
∴∠ACB=∠DCO. (3分)
∵OA=OC,∴∠A=∠OCA=30°,
∴∠BOC=60°.
∵OC=OB,∴△BOC是等边三角形,
∴BC=OC,∠ABC=∠DOC=60°,
∴△BAC≌△ODC(ASA). (6分)
或添加条件BC=1. (1分)
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵DC是☉O的切线,∴∠DCO=90°,
∴∠ACB=∠DCO. (3分)
∵OC=OB=AB=1=BC,∴△BOC是等边三角形,
∴∠ABC=∠DOC=60°,
∴△BAC≌△ODC(ASA). (6分)
(答案不唯一,正确即可给分)
(2)①+1 (8分)
解法提示:∵AB=2,∴OA=OC=1.
连接OE,DE,若四边形OCDE是正方形,
则△OCD是等腰直角三角形,
易得OD=,
∴AD=OD+OA=+1.
②30 (10分)
解法提示:∵DC是☉O的切线,
∴∠DCO=90°,∴∠COD=90°-∠CDB.
∵OC=OA,∴∠CAB=∠COD=.
连接AE,若四边形ACDE是菱形,则CA=CD,
∴∠CAB=∠CDB,即=∠CDB,
解得∠CDB=30°,
∴当∠CDB=30°时,四边形ACDE是菱形.
20.【思路导图】(1)连接ODRt△ODC≌Rt△OBC→∠DOC=∠BOC→∠DAO=∠BOC→AD∥CO
【参考答案】(1)如图,连接OD. (1分)
∵BC与☉O相切于点B,CD与☉O相切于点D,
∴∠ODC=∠OBC=90°. (2分)
在Rt△ODC和Rt△OBC中,
∴Rt△ODC≌Rt△OBC,
∴∠DOC=∠BOC. (4分)
∵∠DAO=∠DOB,
∴∠DAO=∠BOC,
∴AD∥CO. (5分)
(2)小聪的说法正确. (6分)
∵∠CDA+∠AOC=y,∠A=x,
∴∠ODC+∠ODA+∠AOC=y,∠ODA=∠OAD=x.
∵∠ODC=90°,
∴90°+x+∠AOC=y.
由(1)得AD∥CO,
∴∠OAD+∠AOC=180°,
即x+∠AOC=180°,
∴y=90°+x+∠AOC=90°+180°=270°.(10分)
21.【参考答案】【问题呈现】①在同圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的弦相等
②同弧所对的圆周角相等 (4分)
【理解运用】1 (6分)
解法提示:∵CD=AB+BD,∴CD=(AB+BC)=×(4+6)=5,∴BD=BC-CD=6-5=1.
【变式探究】DB=AB+CD (8分)
解法提示:如图,在DB上截取BG=BA,连接MA,MB,MC,MG.
∵M是的中点,∴AM=MC,∠MBA=∠MBG.
又MB=MB,∴△MAB≌△MGB,
∴MA=MG,∴MC=MG.
又DM⊥BC,∴DC=DG,
∴AB+DC=BG+DG,
即DB=AB+CD.
【实践应用】∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°.
∵AB=6,☉O的半径为5,∴易得AC=8.
(分类讨论思想)如图,连接AD,当∠DAC=45°时,有两种情况.
①∠D1AC=45°,则D1是的中点.
过点D1作D1G1⊥AC于点G1,则CG1+AB=AG1.
∴AG1=(6+8)=7,∴AD1=7.
②∠D2AC=45°,过点D2作D2G2⊥AC于点G2,同理易得CG2=AB+AG2,
∴CG2=7,AG2=1,∴AD2=.
综上,AD的长为7或. (12分)
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第二十四章 圆
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2022·北京通州区期末)如图,若 OA⊥OB,则∠C= ( )
A.22.5° B.67.5° C.90° D.45°
(第1题) (第2题)
2.(2022·江苏镇江润州区段考改编)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若点A,B,C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(2021·江苏常熟期中)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3,0),B(-1,2),C(3,2),则△ABC的外心的坐标是( )
A.(1,-2) B.(0,0)
C.(1,-1) D.(0,-1)
(第3题) (第4题)
4.(2021·山东寿光期中)如图,若正方形ABCD的边长为6,则其外接圆半径OA与内切圆半径OE的比值为 ( )
A. B. C.2 D.3
5.(2022·湖北十堰期末)如图,点A,B,C,D都在☉O上,OA⊥BC,∠OBC=40°,则∠ADC的度数为 ( )
A.40° B.30° C.25° D.50°
6.(2022·浙江金华期中改编)如图,☉O与正六边形OABCDE的边OA,OE分别交于点F,G,点M为劣弧FG的中点.连接FM,GM,若FM=2,则☉O的半径为 ( )
A.2 B. C.2 D.2
(第6题) (第7题)
7.(2022·浙江宁波江北区期末)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆上两点,连接CA,CD,AD.若∠ADC=120°,BC=1,则的长为 ( )
A. B. C. D.
8.(2022·江苏镇江期中)简易直尺、含60°角的直角三角板和量角器如图摆放(无重叠部分),A为三角板与直尺的交点,B为量角器与直尺的接触点,C为量角器与三角板的接触点.若点A处刻度为4,点B处刻度为6,则该量角器的直径长为( )
A.2 B.2 C.4 D.4
9.如图,四边形ABCD内接于☉O,AD∥BC,直线EF是☉O的切线,B是切点.若∠C=80°,∠ADB=54°,则∠CBF=( )
A.45° B.46° C.54° D.60°
10.如图(1),AB是半圆O的直径,点C是半圆O上异于A,B的一点,连接AC,BC.点P从点A出发,沿A→C→B以1 cm/s的速度运动到点B.图(2)是点P运动时,△PAB的面积y(cm2)随时间x(s)变化的图象,则点D的横坐标为 ( )
A.a+2 B.2 C.a+3 D.3
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2022·山东济南天桥区期末)如图,☉A,☉B,☉C两两相离,且半径都为2,则图中阴影部分的面积之和为 .(结果保留π)
(第11题) (第12题)
12.(2022·江苏苏州姑苏区期中)如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 .
13.(2022·河北唐山期末改编)如图,△ABC内接于☉O,过点A作直线EF,已知∠B=∠EAC,根据弦AB的位置变化,试探究直线EF与☉O的位置关系.
甲:如图(1),当弦AB过点O时,EF与☉O相切;
乙:如图(2),当弦AB不过点O时,EF也与☉O相切.
你认为 的判断正确.
14. 新风向 关注数学文化在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何 ”用现代语言表述为:如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,AE=1寸,CD=10寸,则直径AB的长为 寸.
(第14题) (第15题)
15.如图,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径向正方形内作半圆,P为半圆上一动点(不与点A,B重合),当PA= 时,△PAD为等腰三角形.
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(7分)(2022·北京四中期中改编)某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构,如图,摩天轮半径为44 m,中心O距离地面56 m,匀速运行一圈的时间为18 min.由于受到周边建筑物的影响,乘客与地面之间超过一定距离时,可视为最佳观赏位置.已知在运行的一圈里最佳观赏时长为12 min,求最佳观赏位置与地面的最小距离(即BD的长).
17.(8分)(2021·浙江温州模拟)如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,点M是☉O上一动点,∠M=∠D,连接BC.
(1)判断BC与MD的位置关系,并说明理由;
(2)若MD恰好经过圆心O,求∠D的度数.
18.(8分)(2022·山东临沂期末)如图,AB为☉O的直径,AC,DC为弦,∠ACD=60°,P为AB延长线上的点,连接PD,∠APD=30°.
(1)求证:DP是☉O的切线.
(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
19.(10分)[与特殊平行四边形综合](2021·河南驻马店二模)如图,已知☉O的直径AB=2,C是上一个动点(不与点A,B重合),切线DC交AB的延长线于点D,连接AC,BC,OC.
(1)请添加一个条件使△BAC≌△ODC,并说明理由.
(2)若点C关于直线AB的对称点为E.
①当AD= 时,四边形OCDE为正方形.
②当∠CDB= °时,四边形ACDE为菱形.
20.(10分) 新风向 探究性试题如图,已知AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,CD与☉O相切于点D,连接AD,OC.
(1)求证:AD∥OC.
(2)小聪与小明在做这个题目的时候,对∠CDA+∠AOC的值进行了探究:
小聪说,∠CDA+∠AOC的值是一个固定值;
小明说,∠CDA+∠AOC的值随∠A的度数的变化而变化.
若∠CDA+∠AOC的值为y,∠A的度数为x,你认为他们之中谁的说法正确 若小聪的说法正确,请求出y;若小明的说法正确,请求出y与x之间的关系.
21.(12分) 新风向 探究性试题【问题呈现】阿基米德折弦定理:如图(1),AB和BC是☉O的两条弦(即折线是☉O的一条折弦),BC>AB,M是ABC的中点,则从点M向BC作垂线,垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的过程.
图(1) 图(2)
图(3) 图(4)
证明:如图(2),在CD上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.
∵M是的中点,∴MA=MC.①
∵∠A=∠C,②
∴△MAB≌△MCG,
∴MB=MG.
又MD⊥BC,∴BD=DG,
∴CD=CG+DG=AB+BD,即CD=AB+BD.
根据证明过程,分别写出步骤①,②的理由:
① .② .
【理解运用】在图(1)中,若AB=4,BC=6,则BD= .
【变式探究】如图(3),AB,BC是☉O的两条弦,点M是的中点,MD⊥BC于点D,请写出CD,DB,BA之间存在的数量关系: .
【实践应用】如图(4),△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,点D为圆周上一动点,满足∠DAC=45°.若AB=6,☉O的半径为5,求AD的长.
第二十四章 圆·B卷
1.D ∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠C=∠AOB=
45°.
2.B 连接BD,由勾股定理可得BD===5,由题意可知,3
4.B 由题意结合题图可知,内切圆直径等于正方形边长,则OE=3.由正方形的性质可得OA=3,则==.
5.C∵OA⊥BC,∴=.∵∠OBC=40°,∴∠AOB=50°,∴∠ADC=∠AOB=×50°=25°.
6.C 连接OM,由题意知∠FOG=120°.∵点M为劣弧FG的中点,∴∠FOM=60°.∵OM=OF,∴△OFM是等边三角形,∴OM=OF=FM=2,则☉O的半径为2,故选C.
7.A 如图,连接OC.∵∠ADC=120°,∴∠ABC=60°.
∵OB=OC,∴△OBC为等边三角形,∴∠COB=60°,OB=OC=BC=1,∴的长==.
8.D 如图,添加点D,连接OA,OB,由题意得AB=6-4=2,∵∠CAD=60°,∴∠BAC=120°.∵AB与半圆O相切于点B,AC与半圆O相切于C,∴∠BAO=60°,∠AOB=30°,∴OA=2AB=4,∴OB===2,∴量角器的直径长为4.
9.B 如图,连接OD,OB,则∠BOD=2∠C=160°.∵OB=OD,∴∠OBD==10°.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠A=180°-∠C=100°.∵AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180°,∴∠ABC=80°.在△ABD中,∠ADB=54°,∴∠ABD=180°-54°-100°=26°,∴∠OBC=80°-26°-10°=44°.∵EF是☉O的切线,∴∠OBF=90°,∴∠CBF=90°-∠OBC=90°-44°=46°.故选B.
∵AD∥BC,∴∠ADB+∠BDC+∠C=180°.∵∠C=80°,∠ADB=54°,∴∠BDC=46°.∵∠CBF是弦切角,∴∠CBF=∠BDC=46°.(弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角度数)
10.A 从题图(2)看,当x=a时,y取得最大值a,此时点P运动到点C处,即AC=a.∵∠ACB=90°,∴y=×AC×BC=BC×a=a,解得BC=2.当点P运动到点B处时,y=0,即AC+BC=OD,∵AC+BC=a+2,∴点D的横坐标为a+2.
11.2π 因为∠A+∠B+∠C=180°,所以阴影部分的面积之和等于半径为2的半圆的面积,为2π.
12.10 如图,连接OA,OB,由题意知点A,B,C,D在以点O为圆心,OA的长为半径的同一个圆上.∵∠ADB=18°,∴∠AOB=2∠ADB=36°,∴这个正多边形的边数=360°÷36°=10.
13.甲、乙 题图(1)中,∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°,∴∠B+∠CAB=90°.∵∠EAC=∠B,∴∠EAC+∠CAB=90°,∴EF⊥AB.∵OA是半径,∴EF是☉O的切线,故甲的判断正确.如图,作直径AM,连接CM,则∠ACM=90°,∠B=∠M.∵∠EAC=∠B,∴∠EAC=∠M.∵∠CAM+∠M=90°,∴∠CAM+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线,故乙的判断正确.
14.26 连接OC.∵CD⊥AB,AB为☉O的直径,CD=10,∴CE=CD=5. 设OC=OA=x,则OE=x-1.由勾股定理得OE2+CE2=OC2,即(x-1)2+52=x2,解得x=13,∴AB=26寸.
15.2或
16.【参考答案】由题意得AB⊥OM,BO=44,
∠AOB=×360°=120°,
∴∠BOC=60°,∠OBC=30°,
∴OC=OB=22.
∵中心O距离地面56 m,
∴OM=56,
∴CM=OM-OC=34,
∴BD=34 m,
故最佳观赏位置与地面的最小距离为34 m. (7分)
17.【参考答案】(1)BC∥MD. (1分)
理由:∵∠MBC=∠D,∠M=∠D,
∴∠M=∠MBC,
∴BC∥MD. (4分)
(2)∵AB是☉O的直径,CD⊥AB于点E,
∴∠D+∠EOD =90°. (6分)
∵MD过圆心O,
∴∠BOD=2∠M =2∠D,
∴∠D+2∠D =90°,
∴∠D=30°. (8分)
18.【参考答案】(1)证明:如图,连接OD.
∵∠ACD=60°,
∴∠AOD=120°,∴∠BOD=60°.
∵∠APD=30°,
∴∠ODP=90°,即PD⊥OD.
∵OD是半径,
∴PD是☉O的切线. (4分)
(2)∵在Rt△POD中,OD=2,∠OPD=30°,
∴OP=4.
由勾股定理得PD=2.
∴S阴影部分=S△POD-S扇形ODB=×2×2-=2-. (8分)
19.【参考答案】(1)添加条件∠A=30°. (1分)
理由:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵DC是☉O的切线,∴∠DCO=90°,
∴∠ACB=∠DCO. (3分)
∵OA=OC,∴∠A=∠OCA=30°,
∴∠BOC=60°.
∵OC=OB,∴△BOC是等边三角形,
∴BC=OC,∠ABC=∠DOC=60°,
∴△BAC≌△ODC(ASA). (6分)
或添加条件BC=1. (1分)
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵DC是☉O的切线,∴∠DCO=90°,
∴∠ACB=∠DCO. (3分)
∵OC=OB=AB=1=BC,∴△BOC是等边三角形,
∴∠ABC=∠DOC=60°,
∴△BAC≌△ODC(ASA). (6分)
(答案不唯一,正确即可给分)
(2)①+1 (8分)
解法提示:∵AB=2,∴OA=OC=1.
连接OE,DE,若四边形OCDE是正方形,
则△OCD是等腰直角三角形,
易得OD=,
∴AD=OD+OA=+1.
②30 (10分)
解法提示:∵DC是☉O的切线,
∴∠DCO=90°,∴∠COD=90°-∠CDB.
∵OC=OA,∴∠CAB=∠COD=.
连接AE,若四边形ACDE是菱形,则CA=CD,
∴∠CAB=∠CDB,即=∠CDB,
解得∠CDB=30°,
∴当∠CDB=30°时,四边形ACDE是菱形.
20.【思路导图】(1)连接ODRt△ODC≌Rt△OBC→∠DOC=∠BOC→∠DAO=∠BOC→AD∥CO
【参考答案】(1)如图,连接OD. (1分)
∵BC与☉O相切于点B,CD与☉O相切于点D,
∴∠ODC=∠OBC=90°. (2分)
在Rt△ODC和Rt△OBC中,
∴Rt△ODC≌Rt△OBC,
∴∠DOC=∠BOC. (4分)
∵∠DAO=∠DOB,
∴∠DAO=∠BOC,
∴AD∥CO. (5分)
(2)小聪的说法正确. (6分)
∵∠CDA+∠AOC=y,∠A=x,
∴∠ODC+∠ODA+∠AOC=y,∠ODA=∠OAD=x.
∵∠ODC=90°,
∴90°+x+∠AOC=y.
由(1)得AD∥CO,
∴∠OAD+∠AOC=180°,
即x+∠AOC=180°,
∴y=90°+x+∠AOC=90°+180°=270°.(10分)
21.【参考答案】【问题呈现】①在同圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的弦相等
②同弧所对的圆周角相等 (4分)
【理解运用】1 (6分)
解法提示:∵CD=AB+BD,∴CD=(AB+BC)=×(4+6)=5,∴BD=BC-CD=6-5=1.
【变式探究】DB=AB+CD (8分)
解法提示:如图,在DB上截取BG=BA,连接MA,MB,MC,MG.
∵M是的中点,∴AM=MC,∠MBA=∠MBG.
又MB=MB,∴△MAB≌△MGB,
∴MA=MG,∴MC=MG.
又DM⊥BC,∴DC=DG,
∴AB+DC=BG+DG,
即DB=AB+CD.
【实践应用】∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°.
∵AB=6,☉O的半径为5,∴易得AC=8.
(分类讨论思想)如图,连接AD,当∠DAC=45°时,有两种情况.
①∠D1AC=45°,则D1是的中点.
过点D1作D1G1⊥AC于点G1,则CG1+AB=AG1.
∴AG1=(6+8)=7,∴AD1=7.
②∠D2AC=45°,过点D2作D2G2⊥AC于点G2,同理易得CG2=AB+AG2,
∴CG2=7,AG2=1,∴AD2=.
综上,AD的长为7或. (12分)
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