数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.4椭圆中弦长问题（共24张ppt）

(共24张PPT)
我们知道，当直线被圆所截时，求弦长有两种方法：一是代数法求弦长，二是几何法求弦长。
当直线被椭圆所截时，弦长如何求呢？
椭圆中弦长问题
1.会求直线被椭圆所截的弦长.(重点)
2.掌握有关椭圆的最值问题.(难点)
3.掌握有关椭圆的定点、定值问题.(难点)
学习目标
直线与椭圆相交时如何求其弦长？
思考
一、弦长问题
提示　当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为
＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.
当直线斜率不存在时，可代入直接求得.
弦长公式：当直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆 ＝1(a>b>0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，
|AB|＝
或|AB|＝ .
注意点：
(1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
(2)不确定直线斜率的情况下，要分类讨论.
k存在且k≠0
k存在
例1　已知斜率为2的直线l经过椭圆 ＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长.
由题知直线l的方程为y＝2(x－1),即2x－y－2＝0.
消去y得3x2－5x＝0，则
Δ＝(－5)2＝25>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
反思：求解弦长直接利用弦长公式求解.
跟踪训练1　已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的一个顶点
为A(2,0)，离心率为 ，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
例2　在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C： ＝1(a>b>0)的离心率e＝ 且点P(2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
二、与弦长有关的最值、范围问题
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值.
设直线AB的方程为y＝－x＋m，
得3x2－4mx＋2m2－6＝0，
由Δ＝(－4m)2－4×3(2m2－6)>0即－3设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)则
求与弦长有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解.
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围.
跟踪训练2　已知椭圆C： ＋y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，下、上顶点分别为B1，B2.记四边形A1B1A2B2的内切圆为E.(1)求E的方程；
(2)过点M(m,0)(m>0)作E的切线l交C于A，B两点，求|AB|的最大值.
（1）因为A2，B2分别为椭圆的右顶点和上顶点，则A2( ，0)，B2(0,1)，
可设直线l的方程为x＝ty＋m，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
你还能想到其他做法吗？
三、定值、定点问题
（2）①当直线AB斜率不存在时，即
由 得
又 在椭圆上
所以
②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b


则Δ＝4k2b2－4(k2+4)(b2-4)>0
于是 ， 代入
整理得

综上，三角形的面积为定值1。
跟踪训练3
（Ⅱ）设 ，联立

得 ，
则

又 ，
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），
当 直线过定点(2,0),与已知矛盾；
当
所以，直线l过定点，定点坐标为

B
·
猜想：若直线MN过定点B则
点D在以AB为直径的圆上
此时取Q为AB中点则|DQ|为定值
1.知识清单：
(1)弦长问题.
(2)与弦长有关的最值、范围问题.
(3)定点定值问题.
2. 方法归纳：数形结合.
3.常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况.