绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高二期中考试模拟卷A
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为（ ）。
A、 B、 C、 D、
2．无论为何值，直线所过定点的坐标为（ ）。
A、 B、 C、 D、
3．如图所示，在正三棱柱中，若，则与的夹角为（ ）。
A、 B、
C、 D、
4．已知直线：，：，则它们的图像可能为（ ）。
A、 B、 C、 D、
5．设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）。
A、 B、 C、 D、
6．若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则半径的取值范围是（ ）。
A、 B、 C、 D、
7．已知点在经过、两点的直线上，则取最小值时点的坐标为（ ）。
A、 B、 C、 D、
8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为
。阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．已知直线：，直线：，若，则实数可能的取值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
10．已知空间内不同的四点、、、，空间内不共线的三个向量、、，、，则下列命题正确的是（ ）。
A、“”是“、、、共面”的充分且必要条件
B、“”是“与、共面”的充分且必要条件
C、若，则
D、一定存在一组实数、，使得成立
11．在平面内，已知线段的长度为，则满足下列条件的点的轨迹为圆的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
12．如图所示，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（ ）。
A、直线与直线垂直 B、直线与平面平行
C、平面截正方体所得的截面面积为 D、点与点到平面的距离相等
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 。
14．已知在空间直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称，则 。
15．已知直线：、：，当时，直线、与两坐标轴围成一个四边形，则四边形面积的最小值为 ，此时实数 。（本小题第一个空3分，第二个空2分）
16．如图所示，在平行六面体中，与交于点，在底面的射影为点，与底面所成的角为，，，则对角线的长为 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）已知点，求满足下列条件的直线的一般方程。
（1）经过点，且在轴上的截距是轴上的截距的倍；
（2）经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为。
18．（本小题满分分）的一个顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线方程为。
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程。
19．（本小题满分分）如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，点在上，且平面。
（1）求的值；
（2）若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值。
20．（本小题满分分）已知点及圆：。
（1）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程；
（2）求过点的圆的弦的中点的轨迹方程。
21．（本小题满分分）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，、分别是棱、的中点，且。
（1）求证：平面；
（2）若点在平面内的射影恰为的中点，设，求二面角的余弦值。
22．（本小题满分分）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，、分别为、中点，。
（1）求证：平面；
（2）若求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由。绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高二期中考试模拟卷A
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即，
直线的斜率为，解得，故选D。
2．无论为何值，直线所过定点的坐标为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】，过定点，故选B。
3．如图所示，在正三棱柱中，若，则与的夹角为（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】C
【解析】以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则、、、，
∴、，∴，
∴，故选C。
4．已知直线：，：，则它们的图像可能为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】列表如下：
A B C D
， ， ， ，
， ， ， ，
由上表排除A、B、D，故选C。
5．设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】入射光线和反射光线关于直线对称，设入射光线上任意两点、，
则关于直线对称的两个点的坐标分别为、且这两个点在反射光线上，
由两点式可求出反射光线所在的直线方程为，故选A。
6．若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则半径的取值范围是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由题意可知圆心为，圆心到距离为：，
设与直线距离是，根据平行线间距离公式可得：，
解得或，
∴与直线距离是的直线有两条：和，
又∵圆心到距离：，
圆心到距离：，
∵如果圆与相交，那么圆也肯定与相交，
交点个数多于两个，于是圆上点到的距离等于的点不止两个，
∴圆与不相交，
∵如果圆与的距离小于等于，
那么圆与和交点个数和至多为个，
∴圆只能与相交，与相离，∴，
故选B。
7．已知点在经过、两点的直线上，则取最小值时点的坐标为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】直线的方程为：，即，
∴（当且仅当、时取“”），故选C。
8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为
。阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵平面的方程为，∴平面的法向量可取，
平面的法向量为，平面的法向量为，
设两平面的交线的方向向量为，
由，令，则、，∴，
设直线与平面所成角的大小为，则，故选B。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．已知直线：，直线：，若，则实数可能的取值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】BC
【解析】∵，若，则：，：，可使，
若，：，：，
当时，，即，解得，
故选BC。
10．已知空间内不同的四点、、、，空间内不共线的三个向量、、，、，则下列命题正确的是（ ）。
A、“”是“、、、共面”的充分且必要条件
B、“”是“与、共面”的充分且必要条件
C、若，则
D、一定存在一组实数、，使得成立
【答案】ABC
【解析】A选项，若，则、、、四点一定共面，
∵、、、为空间内不同的四点，∴、、均为非零向量，
∴若、、、共面，则，
∴“”是“、、、共面”的充分且必要条件，对，
B选项，若，则与、一定共面，
∵、、为空间内不共线的三个向量，∴、、均为非零向量，
∴若与、共面，则，
∴“”是“与、共面”的充分且必要条件，对，
C选项，∵与不共线，∴若，则，对，
D选项，∵与不共线，∴当与、所在的平面垂直时，不成立，
故选ABC。
11．在平面内，已知线段的长度为，则满足下列条件的点的轨迹为圆的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】BD
【解析】以线段所在直线为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，
设，则，，
A选项，若，则点的轨迹是以为直径的圆不包含、两点，错，
B选项，若，则，即，
∴点的轨迹为圆，对，
C选项，、，∴，即，
显然不存在，错误，
D选项，由得，即，
整理得，是表示以为圆心，为半径的圆，对，
故选BD。
12．如图所示，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（ ）。
A、直线与直线垂直
B、直线与平面平行
C、平面截正方体所得的截面面积为
D、点与点到平面的距离相等
【答案】BCD
【解析】在棱长为的正方体中，建立以为原点，
以、、所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示，
、、分别为、、的中点，则、、、，
A选项，、，∴，错，
B选项，连接、，∵，∴、、、四点共面，
∵、，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面，对，
C选项，连接、，∵，∴四边形为平面截正方体所得的截面，
、、，
∴四边形为等腰梯形，高为，
则四边形的面积为，对，
D选项，连接交于点，则是的中点，且是线段与平面的交点，
∴点和点到平面的距离相等，对，
故选BCD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 。
【答案】
【解析】∵，∴，又，∴。
14．已知在空间直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称，则 。
【答案】
【解析】∵、，又∵点与点关于轴对称，∴，则，
∴。
15．已知直线：、：，当时，直线、与两坐标轴围成一个四边形，则四边形面积的最小值为 ，此时实数 。（本小题第一个空3分，第二个空2分）
【答案】
【解析】直线的必过点为，斜率为，
在轴上的截距为，且
直线的必过点也为，斜率为，
在轴上的截距为，且
∴四边形的面积，
∴四边形面积的最小值为，此时。
16．如图所示，在平行六面体中，与交于点，在底面的射影为点，与底面所成的角为，，，则对角线的长为 。
【答案】
【解析】由题意知底面，且，
，∴，
在平行六面体中，四边形是平行四边形，且与交于点，
则为中点，且，则，，，，
∴。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）已知点，求满足下列条件的直线的一般方程。
（1）经过点，且在轴上的截距是轴上的截距的倍；
（2）经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为。
【解析】（1）当直线过原点和时，在轴上的截距是轴上的截距的倍，
故，即：， 2分
当直线不过原点时，设在轴上的截距为，则轴上的截距为，
则，解得，整理得：； 4分
（2）经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为，
设在轴上的截距为，则轴上的截距为， 5分
由题意可知，若经过一、二、四象限，则与均为正数， 6分
若经过二、三、四象限，则与均为负数，即与同号， 7分
则，，解得或，
∴直线：或。 10分
18．（本小题满分分）的一个顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线方程为。
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程。
【解析】（1）设，则的中点在直线上， 1分
∴，即， 3分
又点在直线上，在，联立可得，，
即点的坐标为； 5分
（2）设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上， 6分
由题意可知，解得，即， 9分
∴，∴直线的方程为，即。 12分
19．（本小题满分分）如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，点在上，且平面。
（1）求的值；
（2）若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值。
【解析】（1）连接，设，连接，∵底面为菱形，为的中点，
∴，∴∽，∴， 2分
∵平面平面，平面，平面，∴， 3分
∴在中，； 4分
（2）∵底面为菱形，为的中点，，∴，
∵平面，、，∴以为坐标原点，如图建系， 6分
∴、、、，设（），则，
∴，
∵，∴，∴，解得，
∴，∴、、， 9分
设平面的法向量为，则，即，
令，则、，∴， 11分
设直线与平面所成角的平面角为，∴。 12分
20．（本小题满分分）已知点及圆：。
（1）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程；
（2）求过点的圆的弦的中点的轨迹方程。
【解析】（1）圆的方程配方得标准方程为，
∴圆心为，半径， 1分
∵直线被圆截得的线段长为，∴圆心到直线的距离， 2分
①直线斜率不存在，则直线方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 3分
②直线斜率存在，设斜率为，则直线的方程为，即，
∴，解得，∴直线的方程为，即， 5分
综上，直线的方程为或； 6分
（2）设过点的圆的弦的中点为，连接，则，则， 8分
又、，
则，整理得，
即， 10分
∴过点的圆弦的中点的轨迹为圆心为、半径为的圆，
其方程为：。 12分
21．（本小题满分分）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，、分别是棱、的中点，且。
（1）求证：平面；
（2）若点在平面内的射影恰为的中点，设，求二面角的余弦值。
【解析】（1）∵是的中点，∴，∵，，∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵、分别是棱、的中点，∴， 2分
又，、平面，，、平面，
∴平面平面， 3分
又平面，∴平面； 4分
（2）连接、、，∵点在平面内的射影恰为的中点，
∴平面，∴，，
由，是的中点，，
∴，，，
∴，∴， 6分
∴以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、， 7分
设平面的法向量，∵、，
∴，即，令，得，∴， 9分
∵平面平面，∴平面的一个法向量为， 10分
设二面角的平面角为，经观察为锐角，则。 12分
22．（本小题满分分）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，、分别为、中点，。
（1）求证：平面；
（2）若求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由。
【解析】（1）连接，∵底面是正方形，∴与互相平分，
又∵是中点，∴是中点，在中，是中点，是中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面； 3分
（2）取中点，在中，∵，∴，
∵平面平面，且平面平面，∴平面，
∵平面，∴，又∵是中点，∴， 5分
如图所示，以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，
∵，∴，
则、、、、、、、，
于是、、， 6分
∵平面，∴是平面的一个法向量，
设平面是一个法向量是，
∵，∴，即，令，则，
设二面角的平面角为，经观察为锐角，
∴； 9分
（3）假设在棱上存在一点，使面，设，则，
由（2）可知平面的一个法向量是，
∵平面，∴，∴，
即，，， 10分
又∵点在棱上，∴与共线，
∵，，
∴，∴，无解， 11分
∴在棱上不存在一点，使得平面成立。 12分
