绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高二期中考试模拟卷B
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ）。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由得，是必要条件，而“”不一定有，也可能，不是充分条件，
故选B。
2．已知、、，则过点且与线段平行的直线方程为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】∵直线的斜率为，∴过点且与线段平行的直线方程为，
即，故选C。
3．如果，那么直线与圆的位置关系是（ ）。
A、相离 B、相切 C、相交 D、相交或相切
【答案】A
【解析】∵，故可得，
又圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故选A。
4．直线过点且与直线垂直，则的方程为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】由题意可知的斜率为，又必过点，∴，即，故选C。
5．两平行直线：与：之间的距离为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】：，则两平行直线之间的距离为，
故选A。
6．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：
的交点情况是（ ）。
A、无论、、如何，总有唯一交点 B、存在、、使之有无穷多个交点
C、无论、、如何，总是无交点 D、存在、、使之无交点
【答案】A
【解析】∵与是直线（为常数）上两个不同的点，
∴且，
又：和：，∴既在直线上，也在直线上，
∵与是两个不同的点，∴、不重合，
∴无论、、如何，总有唯一交点，故选A。
7．已知直线：（）与圆相切，则满足条件的直线有（ ）条。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
即，（其中、），
∴或，
正弦值为的只有在轴正半轴，正弦值为可以在第三或者第四象限，∴有种可能，故选D。
8．在平面直角坐标系中，设、，沿轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的弧度数为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】在平面图中，分别作、轴，
将平面直角坐标系沿轴折起后，
在立体图中，分别作，，
由题意知，，，
∴平面，即平面，则，
∴，∴，∴，故选C。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．已知向量，向量，则下列说法正确的是（ ）。
A、向量是与向量方向相反的单位向量
B、
C、向量、的夹角的大小为
D、若向量（、为实数），则
【答案】AC
【解析】A选项，，且，对，
B选项，，，，错，
C选项，，则夹角的大小为，对，
D选项，∵，则，，，错，
故选AC。
10．下列说法中正确的是（ ）。
A、若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等
B、方程能表示平面内的任何直线
C、已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为
D、若直线不经过第二象限，则的取值范围是
【答案】BD
【解析】A选项，若两条直线均平行于轴，则两条直线斜率都不存在，错，
B选项，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为，为直线两点式方程，
当直线平行于轴，则原方程可化为，
当直线平行于轴，则原方程可化为，
综上所述，方程能表示平面内的任何直线，对，
C选项，∵，∴两条直线的斜率都存在，
∵直线与直线互相垂直，∴，
∴，当且仅当，即、时，取得最小值为，错，
D选项，若直线不经过第二象限，则，解得：，对，
故选BD。
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名。他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”。后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，、，点满足。设点的轨迹为，下列结论正确的是（ ）。
A、的方程为
B、在轴上存在异于、的两定点、，使得
C、当、、三点不共线时，射线是的平分线
D、在上存在点，使得
【答案】BC
【解析】A选项，设点，则，化简整理得，
∴，错，
B选项，根据对称性可知，当、时，，对，
C选项，、，
要证为的平分线，只需证明，
即证，化简整理即证，
设，则，
，
则证，对，
D选项，设，由可得，
整理得，而点在圆上，满足，
联立解得，而无实数解，错，
故选BC。
12．已知三棱锥的棱、、两两垂直，，，为的中点，在棱上，且平面，则下列说法正确的是（ ）。
A、
B、与平面所成的角为
C、三棱锥外接球的表面积为
D、点到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】∵平面，平面 ，平面平面，∴，
∵为的中点，∴为的中点，
则，A选项对，
∵、、两两垂直，，、平面，
∴平面，得与平面所成的角为，
又，∴，B选项对，
由题意可知三棱锥可补形得到一个以、、为相邻三条棱的长方体，
∵，，∴三棱锥外接球的半径，
∴三棱锥外接球的表面积为 ，C选项错，
∵、、两两垂直，，、平面，
∴平面，又，∴平面，平面，∴平面平面，
∵平面平面，∴点到平面的距离即点到的距离，
在中，、，∴，则边上的高为，
即点到平面的距离为，D选项对，
故选ABD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．已知直线：，直线：，若，则实数的值为 。
【答案】
【解析】时，：，：，与不平行，
时，∵，则且，解得。
14．已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为 。
【答案】
【解析】圆：的圆心坐标为，半径为，
圆：，其圆心坐标为，半径为，
由题意，，解得，
∴圆的圆心为，则与的中点为，直线的斜率为，
∴直线的方程为，即。
15．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是 。
【答案】
【解析】直线的必过点为，直线的必过点为，
又∵，∴两条直线相互垂直，
∴，
又由基本不等式得：，
即，当且仅当时取等号，故填。
16．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为、、、，则该四面体外接球的表面积是 。
【答案】
【解析】如图所示，设长方体底面四边形为正方形，边长为，高为，
根据图形得到为直角三角形，，
∴四面体外接球的球心在平面上的投影为斜边的中点，
其中，设外接球球心为，则平面，
过点作平面，垂足为，则轴，且，
过点作，交于点，则，
设外接球半径为，连接、，则，
设，则，∴，
由勾股定理得：、，
∴，解得，∴，
∴该四面体外接球的表面积为。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）如图所示，射线、分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交、于、两点，当线段的中点恰好落在直线上时，求直线的方程。
【解析】由题意可知射线所在的直线方程为，射线所在的直线方程为， 2分
①当直线的斜率不存在时，可知的方程为，
则、，则的中点，不符合， 4分
②当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，解得，联立，解得，
则的中点，
又在直线上，∴，解得，
则直线方程为，即。 10分
18．（本小题满分分）如图所示，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，，。
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值。
【解析】（1）连接，在中，∵，∴， 1分
∵、，∴，， 2分
∴，∴， 3分
又∵，、平面，∴平面； 4分
（2）以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
∴、，则，
∴、、、， 5分
设平面法向量为，则，
令，则、，即， 8分
设平面法向量为，则，
∴，令，则，即， 11分
设平面与平面所成角的平面角为，∴。 12分
19．（本小题满分分）已知圆的方程为。
（1）若圆与直线相交于、两点，且，（为坐标原点），求的值；
（2）在（1）的条件下，求以为直径的圆的方程。
【解析】（1）由得，由可得， 2分
∴由题意联立得：， 4分
设、，∴，， 5分
∵，∴，又，
∴，∴，∴，符合，可取； 7分
（2）设圆心为，则，， 9分
半径， 11分
∴圆的方程。 12分
20．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为的中点。
（1）证明：；
（2）若是边长为的等边三角形，且三棱锥的体积为，若点在棱上，且二面角的大小为，求的值。
【解析】（1）证明：∵，为的中点，∴， 1分
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面， 2分
∵平面，∴， 3分
（2）做的中点，连接，∵为等边三角形，∴，
过作，交于，则，由（1）可知平面，
∵、平面，∴、，∴、、两两垂直， 5分
以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
∵是边长为的等边三角形，为的中点，∴，
∵三棱锥的体积为，∴，∴，
∴、、、， 7分
设（），设，则，
∴、、，∴， 8分
由题意可知平面的一个法向量为， 9分
设平面的一个法向量为，、，
∴，即，
令，则，，∴， 11分
∵二面角的大小为，∴，
解得（可取）或（舍去），∴，∴。 12分
21．（本小题满分分）直线过点，且与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，为坐标原点，求：
（1）当的面积取最小值时，直线的方程；
（2）当在两坐标轴上截距之和取最小值时，直线的方程；
（3）当取最小值时，直线的方程；
（4）当取最小值时，直线的方程。
【解析】设直线：（，），∵直线经过点，∴， 1分
（1），∴，当且仅当即、时等号成立，
∴取最小值为，此时直线的方程为，即； 3分
（2）∵，，，
∴，
当且仅当即、时等号成立，∴取最小值时为，
此时直线的方程为，即； 6分
（3）过做轴的垂线，垂足为，过做轴的垂线，垂足为，
设（），
则，，则，
当时，取得最小值为，
此时直线的倾斜角为，斜率为，其方程为，即； 9分
（4）由（3）可知
，
当且仅当即时等号成立，∴取最小值为，
此时直线的斜率为，其方程为，
即。 12分
22．（本小题满分分）如图所示，以为直径的半圆所在平面与所在平面垂直，点、在半圆弧上，且弧弧弧，。
（1）证明：平面平面；
（2）若，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值。
【解析】（1）证明：∵，为的中点，∴，
又平面平面，交平面平面，
∴平面，∵平面，∴， 2分
∵弧弧弧，∴，∴为等边三角形，
∴，同理可得，，
∴四边形为菱形，∴， 3分
又，、平面，∴平面，
又平面，∴平面平面； 5分
（2）由（1）知，平面，取的中点，连结，则，
∴、、两两垂直，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则、、、、， 6分
设，，∴、，
设平面的法向量，则，即，
令，则，，∴， 8分
又平面的一个法向量为，
∵二面角的大小为，∴，解得，9分
∴、、，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，∴， 11分
设直线与平面所成角的平面角为，
∴。 12分绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高二期中考试模拟卷B
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ）。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2．已知、、，则过点且与线段平行的直线方程为（ ）。
A、 B、 C、 D、
3．如果，那么直线与圆的位置关系是（ ）。
A、相离 B、相切 C、相交 D、相交或相切
4．直线过点且与直线垂直，则的方程为（ ）。
A、 B、 C、 D、
5．两平行直线：与：之间的距离为（ ）。
A、 B、 C、 D、
6．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：
的交点情况是（ ）。
A、无论、、如何，总有唯一交点 B、存在、、使之有无穷多个交点
C、无论、、如何，总是无交点 D、存在、、使之无交点
7．已知直线：（）与圆相切，则满足条件的直线有（ ）条。
A、 B、 C、 D、
8．在平面直角坐标系中，设、，沿轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的弧度数为（ ）。
A、 B、 C、 D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．已知向量，向量，则下列说法正确的是（ ）。
A、向量是与向量方向相反的单位向量
B、
C、向量、的夹角的大小为
D、若向量（、为实数），则
10．下列说法中正确的是（ ）。
A、若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等
B、方程能表示平面内的任何直线
C、已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为
D、若直线不经过第二象限，则的取值范围是
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名。他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”。后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，、，点满足。设点的轨迹为，下列结论正确的是（ ）。
A、的方程为
B、在轴上存在异于、的两定点、，使得
C、当、、三点不共线时，射线是的平分线
D、在上存在点，使得
12．已知三棱锥的棱、、两两垂直，，，为的中点，在棱上，且平面，则下列说法正确的是（ ）。
A、 B、与平面所成的角为
C、三棱锥外接球的表面积为 D、点到平面的距离为
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．已知直线：，直线：，若，则实数的值为 。
14．已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为 。
15．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是 。
16．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为、、、，则该四面体外接球的表面积是 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）如图所示，射线、分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交、于、两点，当线段的中点恰好落在直线上时，求直线的方程。
18．（本小题满分分）如图所示，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，，。
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值。
19．（本小题满分分）已知圆的方程为。
（1）若圆与直线相交于、两点，且，（为坐标原点），求的值；
（2）在（1）的条件下，求以为直径的圆的方程。
20．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为的中点。
（1）证明：；
（2）若是边长为的等边三角形，且三棱锥的体积为，若点在棱上，且二面角的大小为，求的值。
21．（本小题满分分）直线过点，且与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，为坐标原点，求：
（1）当的面积取最小值时，直线的方程；
（2）当在两坐标轴上截距之和取最小值时，直线的方程；
（3）当取最小值时，直线的方程；
（4）当取最小值时，直线的方程。
22．（本小题满分分）如图所示，以为直径的半圆所在平面与所在平面垂直，点、在半圆弧上，且弧弧弧，。
（1）证明：平面平面；
（2）若，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值。
