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辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高二期中考试模拟卷C
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）。
A、 B、 C、 D、
2．若三条直线、和交于一点，则实数的值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
3．直线：与直线：垂直，则直线在轴上的截距是（ ）。
A、 B、 C、 D、
4．已知向量，，，则与的夹角为（ ）。
A、 B、 C、 D、
5．在棱长为的正四面体中，（ ）。
A、 B、 C、 D、
6．已知点、点，若点、到直线的距离都为，则直线的方程不可能为（ ）。
A、 B、 C、 D、
7．已知圆：，直线：，点为上一动点，过点作圆的切线、（切点为、），当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）。
A、 B、 C、 D、
8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，、分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为（ ）。
A、 B、 C、 D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．已知圆：，则下列说法正确的是（ ）。
A、圆的半径为 B、圆截轴所得的弦长为
C、圆上的点到直线的最小距离为 D、圆与圆：相离
10．下列说法正确的有（ ）。
A、直线过定点
B、过点做圆的切线，则的一般方程为
C、圆上存在两个点到直线的距离为
D、若圆：与圆：有唯一公切线，则
11．如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，、、、为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，则下列说法不正确的是
（ ）。
A、该几何体是四棱台
B、该几何体是棱柱，平面是底面
C、
D、平面与平面的夹角为
12．如图所示，点是边长为的正方体的表面上一个动点，则（ ）。
A、当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值
B、存在这样的点，使得
C、当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D、当时，点的轨迹长度为
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．两条平行直线：与：之间的距离为 。
14．已知点在平面内，并且对不在平面内的任意一点，都有，则的值为 。
15．直线的倾斜角的取值范围为 。
16．底面为矩形的直四棱柱中，、，点在棱上且满足：，、分别为棱、的中点，是底面内一点，若直线与平面垂直，则点到平面的距离的大小是 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）已知点关于轴的对称点为，关于原点的对称点为，
（1）求中过、边上中点的直线方程；
（2）求的面积。
18．（本小题满分分）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点，
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线：交于、两点， ，求的值。从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①；条件②。
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分。
19．（本小题满分分）根据要求求下列直线方程。
（1）经过直线：与：的交点，且在轴上的截距为的直线的一般方程；
（2）过点的入射光线经直线：反射后经过点后的反射光线所在的直线的一般方程。
20．（本小题满分分）如图所示，在四棱锥中，，，是等边三角形，
，，。
（1）求的长度；
（2）求二面角的余弦值。
21．（本小题满分分）如图所示，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，。
（1）证明：平面；
（2）设点在线段上运动，平面与平面所成角的平面角为，求的取值范围。
22．（本小题满分分）如图所示，在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点，，点为线段上的动点（不包括线段的端点）。
（1）若平面，请确定点的位置；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值。绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高二期中考试模拟卷C
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】由题意可知直线的斜率为，设其倾角为（），
则，∴，故选C。
2．若三条直线、和交于一点，则实数的值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】联立得，把其代入得，故选D。
3．直线：与直线：垂直，则直线在轴上的截距是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】直线：与直线：垂直，
∴，解得，∴直线：，令，可得，故选B。
4．已知向量，，，则与的夹角为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】由题意知，
∴，∴与的夹角为，故选D。
5．在棱长为的正四面体中，（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】，故选C。
6．已知点、点，若点、到直线的距离都为，则直线的方程不可能为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】将点、代入A选项、B选项，可得到，
是平行于轴的直线，两点到直线距离即为，，，C选项对，
D选项中，点到的距离，不符合，故选D。
7．已知圆：，直线：，点为上一动点，过点作圆的切线、（切点为、），当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】∵四边形的面积为，
要使四边形面积最小，需最小，此时与垂直，直线的方程为，
联立，得，即，此时、，
则直线的方程为，故选D。
8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，、分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，
则、、、、、，
∴、，
∵点在平面上的射影是的重心，
∴平面，∴，解得，即，
则点到平面的距离为，是的中点，∴，故选C。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．已知圆：，则下列说法正确的是（ ）。
A、圆的半径为 B、圆截轴所得的弦长为
C、圆上的点到直线的最小距离为 D、圆与圆：相离
【答案】BC
【解析】把圆的方程转换为标准方程，圆心为，半径为，A错误，
截轴所得弦长为 ，B正确，
圆心到直线的距离为，
则圆上的点到直线的最小距离为，C正确，
圆：转换为，，则圆与圆相切，D错误，
故选BC。
10．下列说法正确的有（ ）。
A、直线过定点
B、过点做圆的切线，则的一般方程为
C、圆上存在两个点到直线的距离为
D、若圆：与圆：有唯一公切线，则
【答案】AC
【解析】A选项，直线即，必过定点，对，
B选项，当斜率不存在时，的一般方程为，
当斜率存在时，设的方程为，又与圆相切，
则圆心到：的距离，解得，
即的一般方程为或，错，
C选项，的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
∴圆上存在两个点到直线的距离为，对，
D选项，圆：，即，圆心，半径，
圆：，即，
圆心，半径（），
由圆与圆有唯一公切线，则两圆内切，则，解得，错，
故选AC。
11．如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，、、、为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，则下列说法不正确的是
（ ）。
A、该几何体是四棱台
B、该几何体是棱柱，平面是底面
C、
D、平面与平面的夹角为
【答案】ABC
【解析】∵四边形和为直角梯形，、、、为直角顶点，其他四个面均为矩形，
∴这个六面体是四棱柱，平面和平面是底面，∴A选项错，B选项错错，
由题意可知，，两两垂直，如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则、、、，∴、，
则，∴与不垂直，∴C选项错，
根据题意可知平面，∴为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，、
则有，即，令，则、，∴，
设平面与平面的夹角为（），则，
∴平面与平面的夹角为，D选项对，
故选ABC。
12．如图所示，点是边长为的正方体的表面上一个动点，则（ ）。
A、当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值
B、存在这样的点，使得
C、当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D、当时，点的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】A选项，当点在侧面上时，四棱锥是以正方形为底，以为高的四棱锥，
体积为定值，对，
B选项，、、为正方体上两两垂直的三条棱，若，
则在体对角线上，不在正方体表面上，错，
C选项，由题意易知当在平面和平面上时，
与即为直线与平面所成角的平面角，
当直线与两平面的对角线重合时，线面角为，此时点的轨迹长度为，
当点在平面上时，点在以为半径，以为圆心在平面上画弧，
所得即为线面角为的点的轨迹，轨迹长为，则总长为，对，
D选项，∵，∴当时，
点的轨迹为在平面、平面、平面上以为半径的圆弧，
又∵，∴，则圆弧圆心角为，
在平面、平面、平面上以为半径的圆弧，
又∵，则圆弧圆心角为，
则轨迹总长为，对，
故选ACD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．两条平行直线：与：之间的距离为 。
【答案】
【解析】∵，∴，∴，∴：，即，
∴与的距离。
14．已知点在平面内，并且对不在平面内的任意一点，都有，则的值为 。
【答案】
【解析】，
∵、、、共面，∴当时，对平面外任意一点都满足，∴。
15．直线的倾斜角的取值范围为 。
【答案】
【解析】直线，即斜率，
当时，，当时，，
若，，即，
若，，即，
综上所述，的取值范围为，则倾角的取值范围为。
16．底面为矩形的直四棱柱中，、，点在棱上且满足：，、分别为棱、的中点，是底面内一点，若直线与平面垂直，则点到平面的距离的大小是 。
【答案】
【解析】如图所示以为中心建立空间直角坐标系，
设、、、、，
∴、、，
∵直线与平面垂直，
∴，∴，解得，即，
设点到平面的距离为，
则，解得。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）已知点关于轴的对称点为，关于原点的对称点为，
（1）求中过、边上中点的直线方程；
（2）求的面积。
【解析】（1）点关于轴的对称点，关于原点的对称点， 2分
∴的中点，中点是，过、的直线方程为， 4分
整理得：； 5分
（2），，，∴。 10分
18．（本小题满分分）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点，
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线：交于、两点， ，求的值。从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①；条件②。
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分。
【解析】（1）圆心在上，设圆心、半径为，则圆为：，
∵与轴相切于，∴，∴解出、，圆；6分
（2）若选①，∵，∴，
过作于，则，∴，
∴或。 12分
若选②，由垂径定理：，∴，∴，
∴或。 12分
19．（本小题满分分）根据要求求下列直线方程。
（1）经过直线：与：的交点，且在轴上的截距为的直线的一般方程；
（2）过点的入射光线经直线：反射后经过点后的反射光线所在的直线的一般方程。
【解析】（1）联立解得，∴与的交点，
由题意可知直线一定有斜率且截距为，设其方程为，
代入点得，∴直线的一般方程为； 5分
（2）设点关于直线：对称的点，
则的中点一定在直线上，即，∴，
又直线一定与直线垂直，则，∴，
联立解得，∴，
由折射光线性质可知直线一定过点，又过点，
∴：，即。 12分
20．（本小题满分分）如图所示，在四棱锥中，，，是等边三角形，
，，。
（1）求的长度；
（2）求二面角的余弦值。
【解析】（1）如图所示，取中点，连接、，∵是等边三角形，∴， 2分
又∵，，、平面，∴平面，
∵平面，∴，∴，∴是等边三角形，∴，
∵，，∴，，∴，； 5分
（2）由题意可知、，∴，∴，
∴以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴，如图建系，
则、、、、， 7分
由题意可知平面的一个法向量为， 8分
设平面的法向量为，、
则，即，
令，则、，∴， 10分
设二面角的平面角为，经观察为钝角，
∴。 12分
21．（本小题满分分）如图所示，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，。
（1）证明：平面；
（2）设点在线段上运动，平面与平面所成角的平面角为，求的取值范围。
【解析】（1）证明：在梯形中，∵，，，
∴，∴，
∴，∴， 2分
∵平面平面，平面平面，
∵平面，∴平面； 4分
（2）解：由（1）可建立分别以直线、、为轴、轴、轴的如图所示的空间直角坐标系，
令()，则、、、， 5分
设平面的法向量为，
、，则，即，
取，则、，∴， 7分
又平面的一个法向量为， 8分
∴， 10分
∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值，
∴。 12分
22．（本小题满分分）如图所示，在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点，，点为线段上的动点（不包括线段的端点）。
（1）若平面，请确定点的位置；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值。
【解析】以、、为、、轴如图建系，设， 1分
则、、、、、、
、、、， 2分
设，（），
则，∴、、，∴， 3分
（1）设平面的法向量为，、、，
则，令，则、，∴， 6分
又∵平面，∴，∴，解得，
∴点在线段的中点上； 7分
（2）（），由（1）可知平面的法向量为， 8分
设直线与平面所成角的平面角为，
则
，
设，则，，
则
， 11分
当且仅当时，即时，即时，取最小值，∴最小值为。 12分
