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辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高二期中考试模拟卷D
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过点且与直线平行的直线方程是（ ）。
A、 B、 C、 D、
2．已知直线：与：平行，则实数的值是（ ）。
A、或 B、或 C、或 D、或
3．如图所示，空间四边形中，、分别是、的中点，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
4．过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是（ ）。
A、 B、或
C、 D、或
5．如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）。
A、 B、
C、 D、
6．如图所示，已知、，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程为（ ）。
A、
B、
C、
D、
7．圆关于直线（，）对称，则的最小值是（ ）。
A、 B、 C、 D、
8．设平面向量、，其中，则下列判断错误的是（ ）。
A、向量与轴正方向的夹角为 B、的最大值为
C、与的夹角的最大值为 D、的最大值为
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．已知直线：，：，，下面结论正确的有（ ）。
A、不论为何值时，与都互相垂直 B、当变化时，与分别经过和
C、不论为何值时，与都关于直线对称 D、如果与交于，则的最大值是
10．已知正四面体的棱长为，、分别为、的中点。下列说法正确的有（ ）。
A、该正四面体的体积为 B、异面直线与所成角的余弦值为
C、 D、该正四面体的内切球体积为
11．在平面直角坐标系中，过直线上任一点作圆：的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（ ）。
A、当四边形为正方形时，点的坐标为 B、的取值范围为
C、不可能为钝角 D、当为等边三角形时，点的坐标为
12．在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，且同时满足下列两个条件：①
，，且、和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②的模（表示向量、的夹角）。在正方体中，有以下四个结论，正确的有（ ）。
A、
B、
C、与共线
D、与正方体体积数值相等
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．直线：与直线：的交点坐标为 。
14．过圆与直线的两个交点，且面积最小的圆的方程为 。
15．在平面直角坐标系中，已知为等腰三角形，，，点在轴的正半轴上，则直线的方程为 。
16．如图所示，是正四棱锥，是正方体，其中，，则点到平面的距离为 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）己知的顶点为、、。
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求边上的高线所在直线的方程。
18．（本小题满分分）已知直线：。
（1）若直线的斜率小于，求实数的取值范围；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，求面积最大值及此时的方程。
19．（本小题满分分）已知、是实数，且满足：，
（1）求的最值；
（2）求的取值范围；
（3）求的最值。
20．（本小题满分分）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，、、、，、分别为、的中点，。
（1）证明：平面平面；
（2）若与所成角为，求二面角的余弦值。
21．（本小题满分分）已知四边形为直角梯形，其中，，，。现将沿直线折起，使得。
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值。
22．（本小题满分分）已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中是坐标原点。
（1）已知、是一组“共轭线对”，求、的夹角的最小值；
（2）已知点、点和点分别是三条直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；
（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围。绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高二期中考试模拟卷D
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过点且与直线平行的直线方程是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】设直线方程为，∵过点，代入可得，即，故选C。
2．已知直线：与：平行，则实数的值是（ ）。
A、或 B、或 C、或 D、或
【答案】B
【解析】当时，直线的斜率不存在，直线的斜率存在，两直线不平行，
当时，两直线平行的一个必要条件是，解得或，
但必须满足截距不相等，经检验知或时两直线的截距都不相等，故选B。
3．如图所示，空间四边形中，、分别是、的中点，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】原式，故选C。
4．过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是（ ）。
A、 B、或 C、 D、或
【答案】D
【解析】当直线不过原点时，设所求直线方程为，
将代入所设方程，解得，∴直线方程为，
当直线过原点时，设直线方程为，
将代入所设方程，解得，∴直线方程为，即，
∴所求直线方程为或，故选D。
5．如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】以为原点，以、、为轴、轴、轴建系，设，
由题意得、，设与所成角的平面角为，
则其余弦值为，正弦值为，故选A。
6．如图所示，已知、，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程为（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】D
【解析】由题意可知点关于轴对称的点，
由题意可知直线的方程为：，即，
设点关于直线对称的点，
又直线的斜率与直线的斜率相乘等于，点与点的中点一定在直线上，
∴，解得，∴，∴，故选D。
7．圆关于直线（，）对称，则的最小值是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由圆知其标准方程为，
∵圆关于直线对称，∴该直线经过圆心，即，
∴（，），∴，
当且仅当，即时取等号，故选A。
8．设平面向量、，其中，则下列判断错误的是（ ）。
A、向量与轴正方向的夹角为 B、的最大值为
C、与的夹角的最大值为 D、的最大值为
【答案】B
【解析】A选项，设轴正方向的方向向量（），
则向量与轴正方向的夹角的余弦值为：
，
∵，∴，
∴向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关），对，
B选项，，
当且仅当、时取等号，∴的最大值为，错，
C选项，由B选项可知，∴，
∴，
∴与的夹角的最大值为，对，
D选项，由，
当且仅当、时取等号，因此的最大值为，对，
故选B。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．已知直线：，：，，下面结论正确的有（ ）。
A、不论为何值时，与都互相垂直 B、当变化时，与分别经过和
C、不论为何值时，与都关于直线对称 D、如果与交于，则的最大值是
【答案】ABD
【解析】恒成立，与互相垂直恒成立，A选项对，
当变化时，：，恒成立，：，恒成立，
∴与分别经过和，B选项对，
在上任取点，关于直线对称的点坐标为，
不满足方程，C选项错，
联立，解得，，
∴的最大值是，D选项对，
故选ABD。
10．已知正四面体的棱长为，、分别为、的中点。下列说法正确的有（ ）。
A、该正四面体的体积为 B、异面直线与所成角的余弦值为
C、 D、该正四面体的内切球体积为
【答案】BCD
【解析】该四面体底面面积为，
设为底面重心，则底面，且，
由勾股定理得，则，A选项错，
设与所成角为，则，B选项对，
∵、分别为、的中点，∴，∴，C选项对，
设内切球半径为，外接球半径为，则，且，解得，
则内切球体积为，D选项对，
故选BCD。
11．在平面直角坐标系中，过直线上任一点作圆：的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（ ）。
A、当四边形为正方形时，点的坐标为 B、的取值范围为
C、不可能为钝角 D、当为等边三角形时，点的坐标为
【答案】ABC
【解析】A选项，由题意知，原点到直线的距离为，
∵当四边形为正方形时，，，
∴此时直线，即：，联立两直线得此时点的坐标为，对，
B选项，∵，当点的坐标为时，此时最短为，
则的取值范围为，对，
C选项，当点的坐标为时，此时，当点的坐标不为时，
由B可知，的取值范围为，，
∵大边对大角，∴，∴，对，
D选项，当时，存在两个点使得为等边三角形，错，
故选ABC。
12．在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，且同时满足下列两个条件：①
，，且、和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②的模（表示向量、的夹角）。在正方体中，有以下四个结论，正确的有（ ）。
A、
B、
C、与共线
D、与正方体体积数值相等
【答案】ACD
【解析】设正方体棱长为，
A选项，，
，
∴，对，
B选项，由、和构成右手系知，与方向相反，即，
∴，错，
C选项，∵、，∴平面，
∵平面，∴，，
再由右手系知，与共线，对，
D选项，，而正方体体积为，
∴与正方体体积数值相等，对，
故选ACD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．直线：与直线：的交点坐标为 。
【答案】
【解析】联立，解得、，∴与的交点坐标为。
14．过圆与直线的两个交点，且面积最小的圆的方程为 。
【答案】
【解析】圆与直线的两个交点为、，
则，解得、，
则过这两个交点且面积最小的圆是以为直径的圆，
则圆心坐标为，半径为，∴此圆方程为。
15．在平面直角坐标系中，已知为等腰三角形，，，点在轴的正半轴上，则直线的方程为 。
【答案】
【解析】∵，∴，即，
∴直线的方程为，即。
16．如图所示，是正四棱锥，是正方体，其中，，则点到平面的距离为 。
【答案】
【解析】利用等体积法求点到平面距离：，
又，
，
即，解得，以为原点，、、为、、轴建系，
则、、、，∴，，，
设平面的法向量为，则，即，
设，解得，，则，
又点到平面的距离。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）己知的顶点为、、。
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求边上的高线所在直线的方程。
【解析】（1）由题意可知直线的中点，则，
∴中线所在直线的方程为，即； 5分
（2）∵，∴，
∴高线所在直线的方程为，即。 10分
18．（本小题满分分）已知直线：。
（1）若直线的斜率小于，求实数的取值范围；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，求面积最大值及此时的方程。
【解析】（1）∵直线过点和，（且），
∴斜率，，等同于且且， 4分
解得且或，
∴实数的取值范围是； 6分
（2）由题意可知且，解得，
则的面积， 10分
∴当时，面积取最大值，此时直线的方程为。 12分
19．（本小题满分分）已知、是实数，且满足：，
（1）求的最值；
（2）求的取值范围；
（3）求的最值。
【解析】（1）令、，
∴，∴的最大值为，最小值为； 4分
（2）设，则，结合图形可知，当直线与圆相切时，斜率取得极值，
则圆心到直线的距离为，解得或，
则； 8分
（3）即圆上的点到原点的距离的最值，设距离为，
则，。 12分
20．（本小题满分分）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，、、、，、分别为、的中点，。
（1）证明：平面平面；
（2）若与所成角为，求二面角的余弦值。
【解析】（1）证明：∵，是的中点，∴， 1分
又，，、平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面； 3分
（2）解：∵、、，∴，
以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示， 5分
连接，∵、，∴四边形为平行四边形，∴，
∴是异面直线与所成的角，则，∴，
则、、、，∴， 7分
设平面的法向量为，又、，
∴，令，则、，∴， 9分
又平面的法向量， 10分
设二面角的平面角为，经观察为钝角，
∴。 12分
21．（本小题满分分）已知四边形为直角梯形，其中，，，。现将沿直线折起，使得。
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值。
【解析】（1）设，则、，由题意可知， 1分
取中点，连接、，则， 2分
∵，∴，又，，
∴，∴， 3分
又∵，、平面，∴平面， 4分
又∵平面，∴平面平面； 5分
（2）过做，垂足为，过做的平行线交于点，
则为的中点，且，以、、为原点如图建系，
则、、、，
∴、、， 7分
设平面的法向量为，则，
令，则、，∴， 9分
设平面的法向量为，，
令，则、，∴， 11分
设二面角的平面角为，经观察为钝角，
∴。 12分
22．（本小题满分分）已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中是坐标原点。
（1）已知、是一组“共轭线对”，求、的夹角的最小值；
（2）已知点、点和点分别是三条直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；
（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围。
【解析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 1分
则，
当且仅当，即时取得最小值，∴的最小值为， 3分
则两直线的夹角的最小值为； 4分
（2）设直线、、的斜率分别为、、，则、、，
解得、、或、、， 6分
当、、时，直线的方程为，直线的方程为，
联立得、，∴， 7分
当、、时，直线的方程为，直线的方程为，
联立得得、，∴， 8分
（3）由题意可设：，即，
：，即，其中， 9分
∴
， 11分
∵（当且仅当，即时等号成立），
∴，∴。 12分
