课件22张PPT。(第一课时)等差数列得到数列 1,2,3,4, … ,100问题情景一高斯是德国数学家,也是天文学家和物理学家,他和牛顿、阿基米德,被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一,在历史上影响之大, 可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列,有“数学王子”之称。得到数列:
6000,6500,7000,7500,
8000,8500,9000
问题情景二 匡威运动鞋(女)的尺码(鞋底长,单位是cm)问题情景三 姚明罚球个数的数列:
6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000观察:以上数列有什么共同特点?从第 2项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。高斯计算的数列:
1,2,3,4, … ,100观察归纳 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。一、等差数列定义②6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000公差d=1公差d=500①1,2,3,…,100;数学语言:an-an-1=d (d是常数,n≥2,n∈N*)或an+1- an = d( d是常数, n∈N*)2、常数列a,a,a,…是否为等差数列?若是,则公差
是多少?若不是,说明理由。 想一想公差是0 3、数列0,1,0,1,0,1是否为等差数列?若是,则
公差是多少?若不是,说明理由。 不是1、数列6,4,2,0,-2,-4…是否为等差数列?若是,
则公差是多少?若不是,说明理由。 公差是-2小结:
1、判断一个数列是不是等差数列,主要是由定义进行判断an+1-an 是不是同一个常数。
2、公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数,负数,也可以为0。 求出下列等差数列中的未知项.
(1) 3, a, 5 (2) 3 , b, c, -9 解:解得 a=4试一试 如果三个数a、A、b成等差数列 ,则A叫做a与b的等差中项。或 2A = a + b等差中项问题情景四观察数列:1,3,5,7,…思 考:
在数列中a100=?我们该如何求解呢?设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有:
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…
所以有:
a2=a1+d,
a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
……an=a1+(n-1)d问an=?
通过观察:a2, a3,a4都可以用a1与d 表示出来;an与d的系数有什么特点?当n=1时,上式也成立。归纳:等差数列的通项公式:首项为a1 ,公差为d的等差数列
{an}的通项公式:an = a1 + (n-1)d a1 、an、n、d知三求一an=am +(n-m)d(n,m∈N*)变形等差数列通 项 公 式 的 归纳例1(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果
是,是第几项,如果不是,说明理由。分析:
(1)由给出的等差数列前三项,先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式,就可以求出第20项a20。解:(1)由题意得:
a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是:
an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49分析:
(2)要想判断-401是否为这个数列中的项,关键是要求出通项公式,看是否存在正整数n,使得an=-401。(2)由题意得:
a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式是:
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1
令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。学以致用练一练1、求等差数列3,7,11…的第4项与第10项;
2、判断100是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项,如果不是,说明理由。解:(1)根据题意得:
a1=3,d=7-3=11-7=4,
∴这个数列的通项公式是:
an=a1+(n-1)d=4n-1
∴a4=4×4-1=15,
a10=4×10-1=39.(2)由题意得:
a1=2,d=9-2=16-9=7
∴这个数列的通项公式是:
an=2+ (n-1) × 7
=7n-5(n≥1)
令100=7n-5,得 n=15
∴100是这个数列的第15项。
反思:等差数列的通项公式 an = a1 + ( n-1) d中,a1,d,n, an这四个量,知道其中的任意三个量,就可以求出余下的一个量,即知三求一。 解:由题意可得 ∴ d = 2 ,a1 =2∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n 例2 、在等差数列{an}中 ,已知a6=12 ,a18=36 ,
求通项公式an分析:此题已知a6=12 ,n=6 ;a18=36, n=18分别代入通 项公式an = a1+(n-1)d中,可得两个方程,都含a1与d两个
未知数组成方程组,可解出a1与d 。求基本量a1和d :根据已知条件列方程,由此解出a1和d ,再代入通项公式。 像这样根据已知量和未知量之间的关系,列出方程求解的思想方法,称方程思想。
这是数学中的常用思想方法之一。题后点评求通项公式的关键步骤: 例2 、在等差数列{an}中 ,已知a6=12 ,a18=36 ,
求通项公式an思考:你还能想到解决该问题的其它解法吗?解法二:∵ a6=12 ,a18=36 ,a18=a6+(18-6)d
∴36=12+12d
∴d=2
∴ an=a6+(n-6)d
=12+(n-6) ×2
=2n你能独立完成吗?相信自己能行!3、在等差数列{an}中,已知a5=10 ,a12=31 ,求通项公式an。解法二:∵ a5=10,a12=31 ,a12=a5+(12-5)d
∴31=10+7d
∴d=3
∴ an=a5+(n-5)d
=10+(n-5) ×3
=3n-5 4、我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗。人分加三颗。问:五人各得几何?”古题今解分析:
已知a1+a2+a3+a4+a5=60,d=3,
∴ a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60, ∴ a1=6, a2=9, a3=12, a4=15, a5=18
即为五等诸侯分到橘子的颗数。 等差数列{an}中,已知
则n的值为( )
A.48 B.49 C.50 D.51接轨高考(此题为2003年全国高考题)C一个定义: an-an-1=d (d是常数,n≥2,n∈N*)
两个公式:an=a1+(n-1)d
an=am +(n-m)d (n, m∈N*)
一种思想:方程思想要点扫描本节课主要学习:你都掌握了吗?谢谢大家!
再见!好好学习
天天向上课件14张PPT。等差数列(2)1.等差数列的概念:①如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列。 ②如果数列{an},满足an-an-1=d(d为常数,n≥2,且n∈N*),则数列{an}叫做以d为公差的等差数列。 2、首项是a1,公差是d的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,在a1,d,n,an这四个量中可知三求一,体现方程思想;3、等差数列的通项公式的推导方法——归纳法(由特殊到一般)回顾等差数列与一次函数的关系探究:等差数列的图象1(1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,…●●●●●●●等差数列的图象2(2)数列:7,4,1,-2,…●●●●等差数列的图象3(3)数列:4,4,4,4,4,4,4,…●●●●●●●●●●直线的一般形式:等差数列的通项公式为:等差数列的图象为相应直线上的点。等差数列的有关性质探究:判断等差数列的常用方法1、定义法:2、递推法:3、通项法:等差数列有关性质的应用300< 83+5×(n-1)500巩固练习2. 在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10= .(-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 )提示:提示:d=an+1- an=-43. 在等差数列{an}中a1=83,a4=98,则这个数列有
多少项在300到500之间? -35提示:n=45,46,…,8440课件9张PPT。2.2 等差数列的前n项和 回顾:等差数列的{an}前n项和的公式:2. 由前n项和求通项例2:如果等差数列的前4项和是4,前9项和是-6求前n项和
的公式 (1)(2)令从第n项开始小于0练习:能力提升 课堂练习
1. 在等差数列{an}中,a1-a5-a9-a13+a17=-6,则S17= .
2. 在等差数列{an}中,a5+a10+a15+a20 =20,则S24= .
3. 在等差数列{an}中,S6=65,a7+a8+a9+a10+a11+a12=-15,
则a13+a14+ a15+a16+a17+a18= .102120-95课件18张PPT。一.复习回顾:等差数列性质:(1) 等差数列8,5,2,…,的第20项是 ;
(2)等差数列-5,-9,-13,…的第n项是 ;
(3) 已知{an}为等差数列,若a1=3,d= ,an=21,
则n = ;
(4) 已知{an}为等差数列,若a10= ,d= ,则
a3= .-4913(5)在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10= .-35复习巩固an = -5+(n-1).(-4)一、填空题:an=-4n-1CC 复习巩固二、选择题:问题1:怎样才能快速地计算出一堆钢管有多少根?5+9=146+8=147+7=148+6=149+5=14先算出每层的根数------每层都是14根!再计算层数------共5层!所以共(14 ×5)/2=35根.问题2: 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?问题就是 求“1+2+3+4+…+100=?”S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100 S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100
∴S=5050.问题3:求和:1+2+3+4+…+n=?记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1上述求解过程带给我们什么启示?(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示;
(2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。问题4:设等差数列 {an} 的首项为a1,公差为d,如何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?解:因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 两式左右分别相加,得倒序相加S=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+anS=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a12Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)an=a1+(n-1)d说明:两个等差数列的求和公式及通项公式,一共涉及到5个量,通常已知其中3个,可求另外2个。
等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为n,第n项为an,前n项和为Sn,请填写下表: 9550010022150.7604.5解:求和 (1) 1+3+5+ ··· +(2n-1) 例2 :(1)原式==n2解:
(2)-10,-6,-2, 2, ···, (4n-14)-10-6-2 + 2 + ··· +(4n-14)(2)原式=注意在运用公式时,
要看清等差数列的项数。 例3:等差数列-10,-6,-2,2,··· 前9项的和多少?
解:设题中的等差数列为{an}则 a1=-10,能用公式(1)计算吗? 应用公式时,要根据题目的具体条件,灵活选取这两个公式 。d=4,n=9 变式:等差数列-10,-6,-2,2,·······前多少项和是54 ? 解: 设题中的等差数列为{an}, 得 n2-6n-27=0
??????? 故 n1=9, n2=-3(舍去)。 在等差数列的求和公式中,含有四个量,运用方程的思想,知三可求一. d= -4 设 Sn= 54,则 a1= -10, 因此,等差数列 -10,-6,-2,2······· 前9项和是54。例4.在等差数列{an}中,
(1)已知d=3,an=20,Sn=65,
求a1和n以及此数列的后6项和;
(2) 已知an=11-3n,求Sn.
(3)已知a11=-1,求S21.备用:例5. 已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,求其前n项和的公式. 例6 求集合 的元素个数,并求这些元素的和.解:即 7,14,21,28,…,98答:集合M共有14个元素,它们的和等于735.例7:若一个等差数列前3项和为34,最后三项和为146,且所有项的和为390,则这个数列共有______项。 例8 一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和
为10,求它的前110项的和.