高中数学解题思路大全—再谈解题切入点的找寻

再谈解题切入点的找寻
求解数学题的关键在于准确快速地找到解题的切入点，那么，如何寻找解题的切入点呢？文［1］做出了一些有益的探索，本文结合实例再谈一些具体做法。
1. 紧扣定义
理解定义、掌握定义、活用定义是解题的一把金钥匙，也是寻找解题切入点的一条重要途径。
例1. 若点M（x，y）满足，则点M的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
解：由，
得
此式可以看成是动点M（x，y）到定点（-3，1）与到定直线距离之比为的点的轨迹，根据圆锥曲线的定义，此轨迹为双曲线，故选C。
注：本题若移项再平方，可进行化简，但表达式中会出现xy项，对曲线的形状的判断有点难度，通过对原式的合理变形，利用圆锥曲线的定义则能很快解决。
2. 深挖隐含
隐含条件是指隐而不显，含而不露的已知条件，它们常常巧妙地隐藏在题目的背后，极易被解题者忽视，从而造成错解或繁解，甚至无法解决。优先考虑隐含条件往往能减少运算量，简化或避免复杂的变化与讨论，找到解题切入点，使问题简捷获解。
例2. 已知x，y是实数，且满足，，则_________。
分析：按常规思路是解方程分别求出x和y，而x，y无法求出，思维受阻。若观察题目条件，发现与具有对称性。
若令，则
，。这样使两方程联系起来。
解：令
则
又易知在R上是奇函数，则
，又在R上是增函数，故，即。
例3. 解方程组
分析：此题按常规方法，需要分四种情况，讨论去掉绝对值符号，然后解方程组。但我们观察（2）式可以挖掘出一个隐含条件，利用这个隐含条件可以避免讨论。
解：由（2）知，（1）式可以变形为
由（2），（3）解得
，分别代入（2）得原方程组的解为
3. 展开联想
对于某些数学问题，从结构上的特点出发，在寻求命题的条件和结论间的逻辑联系时，由此及彼地联想（联想定义、定理或解决过的类似问题等），常常能启发思维，找到解题的切入点。
例4. 已知是定义在R上的函数，且，，，求的值。
分析：由且，
联想到三角公式
。由的周期为
，猜想可能为周期函数，是它的一个周期。
解：
因此是以8为周期的周期函数。
4. 把握转化
化归与转化的思想方法无处不在，它是寻求问题解决过程中最重要、最活跃的一个环节，是分析、解决问题的有效途径，是数学中最基本、最常用、最重要的思想方法，也是寻找解题切入点的常用方法。
例5. 两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线中，成异面直线的共有多少对？
分析：如果以其中一条棱进行分类的话，很难搞清“重”和“漏”，然而我们对以下两题很熟悉：①以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少？②如果两条异面直线称为“一对”的话，一个三棱锥中有多少对异面直线？故可把本题分解成两个熟悉的问题，即考虑一种对应，由于①的答案是个；②的答案是3对，故本题答案为对。
点评：若直接寻找异面直线的对数很繁且易漏，而引入三棱锥通过计算三棱锥的个数，使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应，从而使问题转化为我们所熟悉的问题。
5. 数形结合
数形结合是寻找解题切入点的一条重要途径，它是把已知或要求的式子与图形结合起来。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。
例6. 已知（其中），且是方程的两根（），则实数a、b、、的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
解析：a，b是方程的两根，在同一坐标系中作出函数的图象如图所示：
答案：A
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